数学人教A版（2019）必修一2.1 等式性质与不等式性质（共33张ppt）

(共33张PPT)
2.1 等式性质与不等式性质
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等. 类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等. 相等用等式表示，不等用不等式表示.
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中不等关系吗？
(1) 某段路限速40km/h；
(2) 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％，蛋白质的含量p应不少于2.3％；
(3) 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
(4) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
解：(1) 设该路段速度为vkm/h，则不等关系为0(2) .
(3) 设三角形三边为a,b,c，则有a+b>c，a-b(4) 设点A为直线l外任意一点，过点A作AB⊥l，垂直为B，取点C为直线l上异于B的任意一点，则有AB· A
B
C
常见的刻画不等关系的数学语言及对应的符号有：
文字语言 数学符号
大于 >
小于 <
大于等于 ≥
小于等于 ≤
不少于（不低于） ≥
不多于（不超过） ≤
P39练习1 用不等式或不等式组表示下面的不等关系：
（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4m；
（2）a与b的和是非负实数；
（3）如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.
仓 库
绿地
- 5m-
- 5m-
-5m-
-5m-
解：
问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本. 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
解：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为
求出上述不等式的解集，就能知道满足条件的杂志定价范围.
思考 如何上述不等式？
解此类不等式时要用到不等式的性质，接下来我们研究不等式的性质.
在初中我们已经归纳出了一些不等式的性质：
比如数轴上的点与实数是一一对应，故可利用数轴上的点的位置来规定实数的大小.
设实数a,b在数轴上对于的点分别为A,B.
则当点A在B的左边时，ab.
A
·
B
·
a
b
ax
B
·
A
·
b
a
bx
再比如实数a,b大小比较，有以下基本事实：
如果a-b是正数，那么a>b；
如果a-b等于0，那么a=b；
如果a-b是负数，那么a反之也成立.
由此基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.
例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
解：∵ (x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)
=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)
=2>0
∴ (x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)
这种利用作差比较两个实数或代数式的大小的方法叫做比较法. 以后的不等式证明也常用这种方法.
若两个实数是正数，还可以作商比较它们的大小，作商法是利用两的正实数的商与1比较，若商大于1，则分子大于分母；若商小于1大于0，则分子小于分母. 即
P40练习2 比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.
解：∵ (x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)
=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)
=-3<0
∴ (x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).
P40练习3 已知a>b，证明：
证明：
P43综合运用10
已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了. 请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.
b克糖水中有a克糖(b>a>0)，则糖水的浓度为： ，若再添加m克糖(m>0)，则糖水的浓度变为： . 生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，即可得到不等式： ，此不等式称为“糖水不等式”.
接下来我们证明此糖水不等式.
P39探究 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使得它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
H
G
F
E
D
C
B
A
a
b
由图可知，4个直角三角形面积和为2ab，正方形的面积为a2+b2. 由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，由此我们得到了一个不等式
a2+b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形，a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有
a2+b2=2ab.
于是就有 a2+b2≥2ab.
这是一个重要的不等式.
重要不等式：
一般地， a，b∈R，有
a2+b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
证明：∵ a，b∈R，有 a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，
∴ a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
如何证明上述不等式？
（比较法）
P40思考 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共线，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？
等式的基本性质：
性质1 如果a=b，那么b=a；
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c；
性质3 如果a=b，那么a+c=b+c；
性质4 如果a=b，那么ac=bc；
运算中的不变性就是性质.
性质5 如果a=b，c≠0，那么
P40探究 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？
等式的基本性质：
性质1 如果a=b，那么b=a；
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c；
性质3 如果a=b，那么a+c=b+c；
性质4 如果a=b，那么ac=bc；
不等式的基本性质：
性质1 如果a>b，那么b性质2 如果a>b，b>c，那么a>c；
性质3 如果a>b，那么a+c>b+c；
性质4 如果a>b, c>0，那么ac>bc,
如果a>b, c<0，那么ac性质5 如果a>b, c>d，那么a+c>b+d；
性质6 如果a>b>0, c>d>0，那么ac>bd；
性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N, n≥2).
不等式的性质：
性质1
（对称性）
性质2
（传递性）
性质3
（同加性）
性质4
（乘法法则）
性质6
性质7
性质8
（乘方法则）
（开方法则）
性质5
（同向可加性）
（同向可乘性）
证明：
说明：此推论可以推广到有限个同向不等式两边分别相加 .
性质5：
（同向可加性）
正确的是：
证明：
想一想：
成立吗？
说明：同向不等式只能相加，异向不等式只能相减！
不成立
证明：
说明：
此推论可以推广到有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘 .
性质6
（同向可乘性）
性质7
（乘方法则）
证明：
由性质6将这n个同向不等式相乘得：
证明1：
证明2：
P42例1
>
<
<
<
×
√
×
×
×
×
√
解：
错解
正确解法：
解得
小结：
不等式的性质：
性质1
（对称性）
性质2
（传递性）
性质3
（同加性）
性质4
（乘法法则）
性质6
性质7
性质8
（乘方法则）
（开方法则）
性质5
（同向可加性）
（同向可乘性）
重要不等式：
一般地， a,b∈R,有
a2+b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
作业：P42习题2.1