2022-2023初数北师大版八年级上册1.3 勾股定理的应用 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·毕节月考）梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（ ）
A．6米 B．7米 C．8米 D．9米
2．（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2021八上·嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2020 C．2021 D．2022
4．（2021八上·巴中期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
5．（2021八上·巴中期末）有长为5cm，12cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（ ）
A．10cm B．13cm C．18cm D．20cm
6．（2021八上·南阳月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
7．（2021八上·峄城期中）一个长方形抽屉长 ，宽 ，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021八上·峄城期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
9．（2021八上·寿阳期中）如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A．2m B．2.25m C．2.5m D．3m
10．（2021八上·揭阳月考）如图， ，过点P作 且 ，得 ；再过点P，作 ，且 ，得 ；又过点 作 且 ，得 依此法继续作下去，得 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八上·南海期末）如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 m．
12．（2021八上·禅城期末）如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省 m的路．
13．（2021八上·农安期末）如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．
14．（2021八上·江阴期中）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
15．（2021八上·揭阳月考）如图，一木杆在离地面9米处断裂，木杆顶部落在离木杆底端12米处，则木杆折断之前高 米．
16．（2021八上·秦都月考）如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为 m.（结果保留根号）
三、解答题
17．（2021八上·紫金期末）如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．
18．（2021八上·广南期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
19．（2021八上·灵石期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
四、综合题
20．（2021八上·运城期中）一架长为 米的梯子 ，顶端 靠在墙上，梯子底端 到墙的距离 米．
（1）求 的长；
（2）如图梯子的顶端 沿墙向下滑动 米，问梯子的底端 向外移动了多少米？
21．（2021八上·江津期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝5千米，CA＝3千米，DB＝2千米，试问：
（1）图书室E应该建在距点A多少千米处，即AE＝ 千米，才能使它到两所学校的距离相等？
（2）证明上题中的结论.
22．（2020八上·宽城期末）如图，小明家在一条东西走向的公路 北侧 米的点A处，小红家位于小明家北 米（ 米）、东 米（ 米）点B处．
（1）求小明家离小红家的距离 ；
（2）现要在公路 上的点P处建一个快递驿站，使 最小，请确定点P的位置，并求 的最小值．
23．（2020八上·南丰期中）如图，地面上放着一个小凳子，点 距离墙面 ，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点 处， ．在图②中，木杆的一端与点 重合，另一端靠在墙上点 处．
（1）求小凳子的高度；
（2）若 ，木杆的长度比 长 ，求木杆的长度和小凳子坐板的宽 ．
24．（2019八上·沙坪坝月考）如图已知 ， 于点C， 于点D交HG于点K. ， ， .
（1）若 ，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；
（2）若 ，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
AB=10米，BC=6米，
由勾股定理得：=8米.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，由题意可得AB=10米，BC=6米，然后根据勾股定理求出AC的值即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：SA=1，
由勾股定理得：SB＋SC=1，
则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：
“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可证得SB＋SC=1，可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3；“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……，由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知.
，
，
由勾股定理得
，
故离门4米远的地方，灯刚好打开.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，据此解答.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
，
木条长度适合的是
.
故答案为：B.
【分析】直接利用勾股定理求解即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB=90°，
∴出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，
∴ 海里，
故答案为：D.
【分析】利用方位角的定义可知∠AOB=90°，利用两船的运动速度，可求出OA，OB的长，再利用勾股定理求出AB的长.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：这根木棒最长 (cm)，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求解即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，
根据勾股定理得： ，
解得： ．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故答案为：B．
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，根据勾股定理列出方程并求解即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据如图画简图
在直角△ABC中，AC＝1.5米．AB﹣BC＝0.5米．
设河水的深度BC＝x米，则AB＝0.5+x（米）．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2＝AB2
∴1.52+x2＝（x+0.5）2
解得：x＝2．
即河水的深度为2米，
故答案为：A．
【分析】设河水的深度BC＝x米，则AB＝0.5+x（米），再利用勾股定理列出方程1.52+x2＝（x+0.5）2，求解即可。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
，
，
，
，
依此类推可得：
，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】注意在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方
11．【答案】2.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
由平行线间距离处处相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而
设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
【分析】设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， 列式求解即可。
12．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，
∵四边形是长方形，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴AC+BC-AB=3+4-5=2（m），
故答案为：2．
【分析】利用勾股定理即可得出答案。
13．【答案】3cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm
在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，
则cm，
∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．
故答案为：3cm．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差计算BD=AD-AB即可。
14．【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，斜边长AB= = =10米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为8.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出斜边AB长，再求两条直角边之和与斜边之差，最后换算即可.
15．【答案】24
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作图如下，
∵一棵垂直于地面的大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处，
∴折断的部分长为 15，
∴折断前高度为15+9=24(米)．
故答案为：24．
【分析】图形是一个直角三角形，根据勾股定理两条直角边的平方和等于斜边的平方，此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可
16．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】利用勾股定理可求出AB、AB＇的长；再根据BB＇=AB-AB＇，代入计算可求解.
17．【答案】解：设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴杯子半径DF为6cm，
在Rt△DFE中，（x-2）2+62=x2，
即x2-4x+4+36=x2，
解得：x=10，
答：筷子GE的长度是10cm．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm，利用勾股定理列出方程（x-2）2+62=x2，求出x的值即可。
18．【答案】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：x2+16=(8-x)2，
解得：，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可设BC长为x米，则AC长为（）米，在Rt△CBA中，利用勾股定理列出方程，求解即可。
19．【答案】解：如图，出发3秒钟时， 米， 米，
∵AC=40米，AB=30米，
∴AC1=28米，AB1=21米，
∴在 中， 米＞25米，
∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意求得 米， 米， 得出 AC1=28米，AB1=21米， ，根据勾股定理即可得出结论。
20．【答案】（1）解： 一架长 米的梯子 ，顶端 靠在墙上，梯子底端 到墙的距离 米，∠C=90°，
．
答： 的长为 米．
（2）解： ， ，
，
又∠C=90°，
，
．
答：梯子的底端 向外移动了 米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求出CE的长，再利用CE-AC即可得到答案。
21．【答案】（1）2
（2）方法一：
当 则 而
由勾股定理可得：
方法二： CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）设 则
CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
CA＝3千米，DB＝2千米，
解得：
所以当 千米时，它到两所学校的距离相等.
故答案为：2；
【分析】（1）设 则 根据勾股定理可得据此建立关于x方程，求出x值即可；
（2）方法一：当 则 而 利用勾股定理分别求出CE、DE的长，即可验证；方法二：利用SAS证明△AEC≌△BDE，根据全等三角形对应边相等即可解决问题.
22．【答案】（1）解：如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）解：如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先求出 AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， 再根据AB＞0求解即可；
（2）根据题意求出A'C= 900米，再利用勾股定理计算求解即可。
23．【答案】（1）解：如图①，过 作 垂直于墙面，垂足于点 ，
根据题意可得： ，
在 中，
，
即凳子的高度为 ；
（2）解：如图②，延长 交墙面于点 ，可得 ，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
，
，
．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）过 作 垂直于墙面，垂足于点 ，根据勾股定理求解即可；
（2）延长BA交墙面于点N，根据勾股定理解答即可。
24．【答案】（1）解：如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM.设DM=x.
在Rt△ACM中，AM2=AC2+CM2=32+（6-x）2，
在Rt△BDM中，BM2=DM2+BD2=x2+62，
∵AM=MB，
∴32+（6-x）2=x2+62，
解得x= ，
∴CM=CD-MD=6- = .
（2）解：如图2中，如图，作点A故直线GH 的对称点A′，点B关于直线EF的对称点B′，连接A′B′交GH于点P，交EF于点Q，作B′H⊥CA交CA的延长线于H.
则此时AP+PQ+QB的值最小.
根据对称的性质可知：PA=PA′，QB=QB′，
∴PA+PQ+QB=PA′+PQ+QB′=A′B′，
∴PA+PQ+PB的最小值为线段A′B′的长，
在Rt△A′B′H中，∵HB′=CD= ，
HA′=DB′+CA′=7+6=13，
∴A′B′= ，
∴AP+PQ+QB的最小值为 .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM.设DM=x.根据MA=MB构建方程即可解决问题；（2）如图2中，如图，作点A故直线GH 的对称点A′，点B关于直线EF的对称点B′，连接A′B′交GH于点P，交EF于点Q，作B′H⊥CA交CA的延长线于H.则此时AP+PQ+QB的值最小.最小值为线段A′B′的长；
1 / 12022-2023初数北师大版八年级上册1.3 勾股定理的应用 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·毕节月考）梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（ ）
A．6米 B．7米 C．8米 D．9米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
AB=10米，BC=6米，
由勾股定理得：=8米.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，由题意可得AB=10米，BC=6米，然后根据勾股定理求出AC的值即可.
2．（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
3．（2021八上·嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：SA=1，
由勾股定理得：SB＋SC=1，
则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：
“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可证得SB＋SC=1，可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3；“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……，由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和.
4．（2021八上·巴中期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知.
，
，
由勾股定理得
，
故离门4米远的地方，灯刚好打开.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，据此解答.
5．（2021八上·巴中期末）有长为5cm，12cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（ ）
A．10cm B．13cm C．18cm D．20cm
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
，
木条长度适合的是
.
故答案为：B.
【分析】直接利用勾股定理求解即可.
6．（2021八上·南阳月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB=90°，
∴出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，
∴ 海里，
故答案为：D.
【分析】利用方位角的定义可知∠AOB=90°，利用两船的运动速度，可求出OA，OB的长，再利用勾股定理求出AB的长.
7．（2021八上·峄城期中）一个长方形抽屉长 ，宽 ，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：这根木棒最长 (cm)，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求解即可.
8．（2021八上·峄城期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，
根据勾股定理得： ，
解得： ．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故答案为：B．
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，根据勾股定理列出方程并求解即可.
9．（2021八上·寿阳期中）如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A．2m B．2.25m C．2.5m D．3m
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据如图画简图
在直角△ABC中，AC＝1.5米．AB﹣BC＝0.5米．
设河水的深度BC＝x米，则AB＝0.5+x（米）．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2＝AB2
∴1.52+x2＝（x+0.5）2
解得：x＝2．
即河水的深度为2米，
故答案为：A．
【分析】设河水的深度BC＝x米，则AB＝0.5+x（米），再利用勾股定理列出方程1.52+x2＝（x+0.5）2，求解即可。
10．（2021八上·揭阳月考）如图， ，过点P作 且 ，得 ；再过点P，作 ，且 ，得 ；又过点 作 且 ，得 依此法继续作下去，得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
，
，
，
，
依此类推可得：
，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】注意在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方
二、填空题
11．（2021八上·南海期末）如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 m．
【答案】2.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
由平行线间距离处处相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而
设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
【分析】设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， 列式求解即可。
12．（2021八上·禅城期末）如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省 m的路．
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，
∵四边形是长方形，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴AC+BC-AB=3+4-5=2（m），
故答案为：2．
【分析】利用勾股定理即可得出答案。
13．（2021八上·农安期末）如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．
【答案】3cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm
在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，
则cm，
∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．
故答案为：3cm．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差计算BD=AD-AB即可。
14．（2021八上·江阴期中）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，斜边长AB= = =10米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为8.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出斜边AB长，再求两条直角边之和与斜边之差，最后换算即可.
15．（2021八上·揭阳月考）如图，一木杆在离地面9米处断裂，木杆顶部落在离木杆底端12米处，则木杆折断之前高 米．
【答案】24
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作图如下，
∵一棵垂直于地面的大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处，
∴折断的部分长为 15，
∴折断前高度为15+9=24(米)．
故答案为：24．
【分析】图形是一个直角三角形，根据勾股定理两条直角边的平方和等于斜边的平方，此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可
16．（2021八上·秦都月考）如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为 m.（结果保留根号）
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】利用勾股定理可求出AB、AB＇的长；再根据BB＇=AB-AB＇，代入计算可求解.
三、解答题
17．（2021八上·紫金期末）如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．
【答案】解：设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴杯子半径DF为6cm，
在Rt△DFE中，（x-2）2+62=x2，
即x2-4x+4+36=x2，
解得：x=10，
答：筷子GE的长度是10cm．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm，利用勾股定理列出方程（x-2）2+62=x2，求出x的值即可。
18．（2021八上·广南期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
【答案】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：x2+16=(8-x)2，
解得：，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可设BC长为x米，则AC长为（）米，在Rt△CBA中，利用勾股定理列出方程，求解即可。
19．（2021八上·灵石期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】解：如图，出发3秒钟时， 米， 米，
∵AC=40米，AB=30米，
∴AC1=28米，AB1=21米，
∴在 中， 米＞25米，
∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意求得 米， 米， 得出 AC1=28米，AB1=21米， ，根据勾股定理即可得出结论。
四、综合题
20．（2021八上·运城期中）一架长为 米的梯子 ，顶端 靠在墙上，梯子底端 到墙的距离 米．
（1）求 的长；
（2）如图梯子的顶端 沿墙向下滑动 米，问梯子的底端 向外移动了多少米？
【答案】（1）解： 一架长 米的梯子 ，顶端 靠在墙上，梯子底端 到墙的距离 米，∠C=90°，
．
答： 的长为 米．
（2）解： ， ，
，
又∠C=90°，
，
．
答：梯子的底端 向外移动了 米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求出CE的长，再利用CE-AC即可得到答案。
21．（2021八上·江津期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝5千米，CA＝3千米，DB＝2千米，试问：
（1）图书室E应该建在距点A多少千米处，即AE＝ 千米，才能使它到两所学校的距离相等？
（2）证明上题中的结论.
【答案】（1）2
（2）方法一：
当 则 而
由勾股定理可得：
方法二： CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）设 则
CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
CA＝3千米，DB＝2千米，
解得：
所以当 千米时，它到两所学校的距离相等.
故答案为：2；
【分析】（1）设 则 根据勾股定理可得据此建立关于x方程，求出x值即可；
（2）方法一：当 则 而 利用勾股定理分别求出CE、DE的长，即可验证；方法二：利用SAS证明△AEC≌△BDE，根据全等三角形对应边相等即可解决问题.
22．（2020八上·宽城期末）如图，小明家在一条东西走向的公路 北侧 米的点A处，小红家位于小明家北 米（ 米）、东 米（ 米）点B处．
（1）求小明家离小红家的距离 ；
（2）现要在公路 上的点P处建一个快递驿站，使 最小，请确定点P的位置，并求 的最小值．
【答案】（1）解：如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）解：如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先求出 AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， 再根据AB＞0求解即可；
（2）根据题意求出A'C= 900米，再利用勾股定理计算求解即可。
23．（2020八上·南丰期中）如图，地面上放着一个小凳子，点 距离墙面 ，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点 处， ．在图②中，木杆的一端与点 重合，另一端靠在墙上点 处．
（1）求小凳子的高度；
（2）若 ，木杆的长度比 长 ，求木杆的长度和小凳子坐板的宽 ．
【答案】（1）解：如图①，过 作 垂直于墙面，垂足于点 ，
根据题意可得： ，
在 中，
，
即凳子的高度为 ；
（2）解：如图②，延长 交墙面于点 ，可得 ，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
，
，
．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）过 作 垂直于墙面，垂足于点 ，根据勾股定理求解即可；
（2）延长BA交墙面于点N，根据勾股定理解答即可。
24．（2019八上·沙坪坝月考）如图已知 ， 于点C， 于点D交HG于点K. ， ， .
（1）若 ，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；
（2）若 ，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求 的最小值.
【答案】（1）解：如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM.设DM=x.
在Rt△ACM中，AM2=AC2+CM2=32+（6-x）2，
在Rt△BDM中，BM2=DM2+BD2=x2+62，
∵AM=MB，
∴32+（6-x）2=x2+62，
解得x= ，
∴CM=CD-MD=6- = .
（2）解：如图2中，如图，作点A故直线GH 的对称点A′，点B关于直线EF的对称点B′，连接A′B′交GH于点P，交EF于点Q，作B′H⊥CA交CA的延长线于H.
则此时AP+PQ+QB的值最小.
根据对称的性质可知：PA=PA′，QB=QB′，
∴PA+PQ+QB=PA′+PQ+QB′=A′B′，
∴PA+PQ+PB的最小值为线段A′B′的长，
在Rt△A′B′H中，∵HB′=CD= ，
HA′=DB′+CA′=7+6=13，
∴A′B′= ，
∴AP+PQ+QB的最小值为 .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM.设DM=x.根据MA=MB构建方程即可解决问题；（2）如图2中，如图，作点A故直线GH 的对称点A′，点B关于直线EF的对称点B′，连接A′B′交GH于点P，交EF于点Q，作B′H⊥CA交CA的延长线于H.则此时AP+PQ+QB的值最小.最小值为线段A′B′的长；
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