2022-2023初数北师大版八年级上册第一章勾股定理 章末检测
一、单选题
1．（2021八上·丹东期末）在中，，如果，，那么的长是（ ）．
A．10 B． C．10或 D．7
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，，，
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出AC的长即可。
2．（2021八上·槐荫期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C． D．1
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，该直角三角形的斜边长为：
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理进行计算即可.
3．（2021八上·承德期末）如图，在RtABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点重合，AE为折痕，则E长为（ ）
A．3cm B．2.5cm C．1.5cm D．1cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，
设BE＝EB′＝x，则EC＝4－x，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝ ，
∴B′C＝5－3＝2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2＋22＝（4－x）2，
解得x＝1.5，
故答案为：C．
【分析】利用折叠得出得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，设BE＝EB′＝x，则EC＝4－x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出AC的值，在Rt△B′EC中，由勾股定理得出答案。
4．（2021八上·峄城期中）如图，点A，B都在格点上，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知：
AB= = ，
∵BC= ，
∴AC=AB-BC= = ，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用AC=AB-BC计算即得结论.
5．（2021八上·驻马店期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1， ， C．4，5，6 D．12，15，20
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，
不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、 ，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系定理排除选项A；再利用勾股定理的逆定理分别求出选项B，C，D中的较小两条线段的平方和和最大线段的平方，然后根据若较小两条线段的平方和=最大线段的平方，就能能构成直角三角形，可得答案.
6．（2021八上·宜宾期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，满足下列条件的三角形中，不能判定△ABC为直角三角形是的（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、
∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
故A选项符合题意；
B、
则
故B选项不符合题意；
C、
a：b：c＝5：12：13，设
则
所以能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、
∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理求出三角形中最大内角的度数，据此判断A、B、D；设a=5k，则b=12k，c=13k，利用勾股定理逆定理可判断C.
7．（2021八上·铁西期末）在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接
由勾股定理得：
故答案为：C
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC、BC和AB，再利用勾股定理求出。
8．（2021八上·鹿城期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠C＝∠A﹣∠B，④a：b：c＝3：4：5中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，故△ABC不是直角三角形；
③∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，据此判断①；根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5结合内角和定理求出∠C的度数，据此判断②；由∠C＝∠A-∠B结合内角和定理可得∠B＝90°，据此判断③；根据勾股定理逆定理可判断④.
9．（2021八上·禅城期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，由题意得：
，
解得：，
所以．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故答案为：C．
【分析】根据题意，设水池的深度为尺，列出方程解答即可。
10．（2021八上·义乌期中）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．7 B．10 C．13 D．15
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为a，较大的直角边为c，较短的直角边为a，
∴a2=b2+c2，
∴a2-c2-b2=0，
∴S阴影部分=a2-c2-（b2-S四边形DEFG），
=a2-c2-b2+S四边形DEFG=S四边形DEFG.
S四边形DEFG=S1+S2+S3=2+5+8=15.
故答案为：D.
【分析】设直角三角形的斜边长为a，较大的直角边为c，较短的直角边为a，利用勾股定理可证得a2-c2-b2=0，再证明S阴影部分=S四边形DEFG，代入计算可求出结果.
二、填空题
11．（2021八上·广南期末）△ABC中，AB＝，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则BC边长为 ．
【答案】10或26
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=，CD=，
∴BC=BD+CD=18+8=26；
②如图2∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=，CD=，
∴BC=BD-CD=18-8=10，
综上所述，BC的长为26或10；
故答案为26或10．
【分析】有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，②如图2∵AD是△ABC的高，根据勾股定理得出BD的值，从而得出BC的值。
12．（2021八上·高陵月考）如图，在中，，，，D为边上一点，将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上的点E处，则的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上的点E处，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为.
【分析】首先由勾股定理求出AC，根据折叠的性质可得AE=AB=13，BD=DE，则CD=8，然后在Rt△CDE中，应用勾股定理求解即可.
13．（2022八上·柯桥期末）定义：在平面直角坐标系中，把从点P出发沿横或纵方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”.如图，若 ， ，则P，Q的“实际距离”为5，即 或 .环保低碳的公共自行车，逐渐成为市民出行喜欢的交通工具.设A，B，C三个小区的坐标分别为 ， ， ，若点M表示公共自行车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标是 .
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；线段的中点；定义新运算
【解析】【解答】解：设M（x，y），
∵M到A，B，C的“实际距离”相等， ， ， ，
∴AC实际距离为|1+3|+|5+1|=4+6=10，BC实际距离为|1+5|+|3-1|=6+2=8，
AB实际距离为|-5+3|+|3+1|=2+4=6，
∵62+82=102，
∴△ABC三边的实际距离构成直角三角形，
∴M（x，y）为AC中点，
∴x= ，y= ，
∴CM=|1+1|+|5-2|=2+3=5，BK=|-1+5|+|3-2|=4+1=5，MA=|-1+3|+|2+1|=2+3=5，
∴M（-1，2）.
故答案为：（-1，2）.
【分析】设M（x，y），则AC=10，BC=8，AB=6，根据勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，利用中点坐标公式可得点M的坐标，然后求出CM、BK、MA.
14．（2020八上·青岛期末）如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝ °．
【答案】135
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
由勾股定理得： ，
∵
∴
∴ 为等腰直角三角形，
∴
∴
故答案为135°
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理可以得到，，求得，即可证明 为等腰直角三角形，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论。
15．（2021八上·房山期末）如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒注意．下图是房山某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角（），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC” ．已知米，米，他们踩坏了 米的草坪，只为少走 米的路．
【答案】50；20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】∵，，，
∴AC==50（米），
∴AB+BC-AC=30+40-50=20（米），
故答案为：50，20．
【分析】利用勾股定理先求出AC=50米，再计算求解即可。
16．（2021八上·灌云期中）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得 ， ，则M，C两点间的距离为 km.
【答案】2.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵ ， ，
在Rt△ABC中，
根据勾股定理AB= km
∵M为AB的中点，
∴CM＝ km，
即M，C两点间的距离为2.5km，
故答案为：2.5.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB长，再根据三角形斜边中线的性质，即可作答.
三、解答题
17．（2021八上·槐荫期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，阴影部分是一个长方形，AE=1，求阴影部分的面积．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=3cm，
由勾股定理得AB +BC =AC ，
即4 +3 =AC
∴AC=（cm），
∵AE=1cm，
∴长方形ACDE的面积为5×1＝5（cm2）
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】 在Rt△ABC中， 利用勾股定理求出AC=5，根据长方形的面积=长×宽即可求解.
18．（2021八上·金台期末）如图， ， ， ， ， .求该图形的面积.
【答案】解：连接 .
∵在 中， ， ，
∴ .
在 中，
∵ ，
∴ 为直角三角形.
∴该图形的面积为 .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理得出△ADC为直角三角形， 由 该图形的面积为，利用三角形的面积公式计算即得.
19．（2021八上·太原月考）如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.
【答案】解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得
DE＝ ＝ ＝150.
h＝220－150＝70（cm）．
∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先利用勾股定理求出DE的长，再利用h＝220－150＝70计算即可。
四、综合题
20．（2021八上·大埔期末）在中，，点D是线段上一点，连接，在右侧作，且，连接，已知．
（1）求的度数；
（2）求的长；
【答案】（1）解：∵，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
，
由勾股定理得：，
∵，且，
由勾股定理得：，
即，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后求出∠CAE的度数即可；
（2）利用勾股定理先求出AB=4，再求出DE的值，最后利用勾股定理求出CD的值即可。
21．（2021八上·普宁期中）如图，在 ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．现将 ABC进行折叠，使点A恰好与点B重合．
（1）判断 ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕DE的长．
【答案】（1）解： 是直角三角形，
理由是：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 是直角三角形；
（2）由折叠可知 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）根据折叠的性质得出 ， ，求得 ，设 ，则 ，根据勾股定理即可得出结论。
22．（2021八上·榆林期末）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以 米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以 米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于 米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米，
（1）出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距A点的距离之和为 米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】（1）解：出发3秒钟时， 米， 米
米， 米
米， 米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰
（2）解：设出发t秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得， ，解得
此时AC1=20，AB1=15，
此时
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰
答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）出发3秒钟时，CC1=12米，BB1=9米，根据AC、AB的值求出AC1、AB1，然后利用勾股定理求出B1C1，最后与25进行比较即可判断；
（2）设出发t秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，由题意可得40-4t+30-3t=35，求出t的值，进而得到AC1，AB1的值，利用勾股定理求出B1C1，据此判断.
23．（2021八上·青岛期中）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
【答案】（1）解：根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO 米；
（2）解：梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，
根据勾股定理：OB′＝2米，
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子顶端水平方向向上滑行的距离。
24．（2020八上·南山月考）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
（2）如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若 ，试求线段CD的长度．
（3）深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
（4）推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中 ，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若 ，试求线段DE的长度．
【答案】（1）是
（2）设
根据勾股定理可得： ，
于是 ，
∴ ；
（3）证明：
由 可得： ，而 ，
∴ ，即 ；
（4）解：过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且 ，
∴只能是 ，由上问可知 ．
又ED∥BC，∴ ．
而 ，
∴△AGD≌△CDB（AAS），于是 ．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知 ．
又 ∴ ，
∴ ．
【知识点】勾股定理的应用；定义新运算
【解析】【分析】特例感知：①根据勾股高三角形的定义进行判断即可.②设 根据勾股定理可得： ，根据勾股高三角形的定义列出方程，解方程即可.深入探究：根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系.推广应用：运用探究的结果进行运算即可.
1 / 12022-2023初数北师大版八年级上册第一章勾股定理 章末检测
一、单选题
1．（2021八上·丹东期末）在中，，如果，，那么的长是（ ）．
A．10 B． C．10或 D．7
2．（2021八上·槐荫期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C． D．1
3．（2021八上·承德期末）如图，在RtABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点重合，AE为折痕，则E长为（ ）
A．3cm B．2.5cm C．1.5cm D．1cm
4．（2021八上·峄城期中）如图，点A，B都在格点上，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·驻马店期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1， ， C．4，5，6 D．12，15，20
6．（2021八上·宜宾期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，满足下列条件的三角形中，不能判定△ABC为直角三角形是的（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
7．（2021八上·铁西期末）在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021八上·鹿城期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠C＝∠A﹣∠B，④a：b：c＝3：4：5中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021八上·禅城期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
10．（2021八上·义乌期中）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．7 B．10 C．13 D．15
二、填空题
11．（2021八上·广南期末）△ABC中，AB＝，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则BC边长为 ．
12．（2021八上·高陵月考）如图，在中，，，，D为边上一点，将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上的点E处，则的长为 .
13．（2022八上·柯桥期末）定义：在平面直角坐标系中，把从点P出发沿横或纵方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”.如图，若 ， ，则P，Q的“实际距离”为5，即 或 .环保低碳的公共自行车，逐渐成为市民出行喜欢的交通工具.设A，B，C三个小区的坐标分别为 ， ， ，若点M表示公共自行车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标是 .
14．（2020八上·青岛期末）如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝ °．
15．（2021八上·房山期末）如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒注意．下图是房山某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角（），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC” ．已知米，米，他们踩坏了 米的草坪，只为少走 米的路．
16．（2021八上·灌云期中）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得 ， ，则M，C两点间的距离为 km.
三、解答题
17．（2021八上·槐荫期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，阴影部分是一个长方形，AE=1，求阴影部分的面积．
18．（2021八上·金台期末）如图， ， ， ， ， .求该图形的面积.
19．（2021八上·太原月考）如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.
四、综合题
20．（2021八上·大埔期末）在中，，点D是线段上一点，连接，在右侧作，且，连接，已知．
（1）求的度数；
（2）求的长；
21．（2021八上·普宁期中）如图，在 ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．现将 ABC进行折叠，使点A恰好与点B重合．
（1）判断 ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕DE的长．
22．（2021八上·榆林期末）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以 米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以 米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于 米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米，
（1）出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距A点的距离之和为 米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
23．（2021八上·青岛期中）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
24．（2020八上·南山月考）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
（2）如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若 ，试求线段CD的长度．
（3）深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
（4）推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中 ，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若 ，试求线段DE的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，，，
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出AC的长即可。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，该直角三角形的斜边长为：
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理进行计算即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，
设BE＝EB′＝x，则EC＝4－x，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝ ，
∴B′C＝5－3＝2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2＋22＝（4－x）2，
解得x＝1.5，
故答案为：C．
【分析】利用折叠得出得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，设BE＝EB′＝x，则EC＝4－x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出AC的值，在Rt△B′EC中，由勾股定理得出答案。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知：
AB= = ，
∵BC= ，
∴AC=AB-BC= = ，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用AC=AB-BC计算即得结论.
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，
不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、 ，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系定理排除选项A；再利用勾股定理的逆定理分别求出选项B，C，D中的较小两条线段的平方和和最大线段的平方，然后根据若较小两条线段的平方和=最大线段的平方，就能能构成直角三角形，可得答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、
∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
故A选项符合题意；
B、
则
故B选项不符合题意；
C、
a：b：c＝5：12：13，设
则
所以能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、
∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理求出三角形中最大内角的度数，据此判断A、B、D；设a=5k，则b=12k，c=13k，利用勾股定理逆定理可判断C.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接
由勾股定理得：
故答案为：C
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC、BC和AB，再利用勾股定理求出。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，故△ABC不是直角三角形；
③∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，据此判断①；根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5结合内角和定理求出∠C的度数，据此判断②；由∠C＝∠A-∠B结合内角和定理可得∠B＝90°，据此判断③；根据勾股定理逆定理可判断④.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，由题意得：
，
解得：，
所以．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故答案为：C．
【分析】根据题意，设水池的深度为尺，列出方程解答即可。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为a，较大的直角边为c，较短的直角边为a，
∴a2=b2+c2，
∴a2-c2-b2=0，
∴S阴影部分=a2-c2-（b2-S四边形DEFG），
=a2-c2-b2+S四边形DEFG=S四边形DEFG.
S四边形DEFG=S1+S2+S3=2+5+8=15.
故答案为：D.
【分析】设直角三角形的斜边长为a，较大的直角边为c，较短的直角边为a，利用勾股定理可证得a2-c2-b2=0，再证明S阴影部分=S四边形DEFG，代入计算可求出结果.
11．【答案】10或26
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=，CD=，
∴BC=BD+CD=18+8=26；
②如图2∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=，CD=，
∴BC=BD-CD=18-8=10，
综上所述，BC的长为26或10；
故答案为26或10．
【分析】有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，②如图2∵AD是△ABC的高，根据勾股定理得出BD的值，从而得出BC的值。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上的点E处，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为.
【分析】首先由勾股定理求出AC，根据折叠的性质可得AE=AB=13，BD=DE，则CD=8，然后在Rt△CDE中，应用勾股定理求解即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；线段的中点；定义新运算
【解析】【解答】解：设M（x，y），
∵M到A，B，C的“实际距离”相等， ， ， ，
∴AC实际距离为|1+3|+|5+1|=4+6=10，BC实际距离为|1+5|+|3-1|=6+2=8，
AB实际距离为|-5+3|+|3+1|=2+4=6，
∵62+82=102，
∴△ABC三边的实际距离构成直角三角形，
∴M（x，y）为AC中点，
∴x= ，y= ，
∴CM=|1+1|+|5-2|=2+3=5，BK=|-1+5|+|3-2|=4+1=5，MA=|-1+3|+|2+1|=2+3=5，
∴M（-1，2）.
故答案为：（-1，2）.
【分析】设M（x，y），则AC=10，BC=8，AB=6，根据勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，利用中点坐标公式可得点M的坐标，然后求出CM、BK、MA.
14．【答案】135
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
由勾股定理得： ，
∵
∴
∴ 为等腰直角三角形，
∴
∴
故答案为135°
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理可以得到，，求得，即可证明 为等腰直角三角形，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论。
15．【答案】50；20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】∵，，，
∴AC==50（米），
∴AB+BC-AC=30+40-50=20（米），
故答案为：50，20．
【分析】利用勾股定理先求出AC=50米，再计算求解即可。
16．【答案】2.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵ ， ，
在Rt△ABC中，
根据勾股定理AB= km
∵M为AB的中点，
∴CM＝ km，
即M，C两点间的距离为2.5km，
故答案为：2.5.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB长，再根据三角形斜边中线的性质，即可作答.
17．【答案】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=3cm，
由勾股定理得AB +BC =AC ，
即4 +3 =AC
∴AC=（cm），
∵AE=1cm，
∴长方形ACDE的面积为5×1＝5（cm2）
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】 在Rt△ABC中， 利用勾股定理求出AC=5，根据长方形的面积=长×宽即可求解.
18．【答案】解：连接 .
∵在 中， ， ，
∴ .
在 中，
∵ ，
∴ 为直角三角形.
∴该图形的面积为 .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理得出△ADC为直角三角形， 由 该图形的面积为，利用三角形的面积公式计算即得.
19．【答案】解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得
DE＝ ＝ ＝150.
h＝220－150＝70（cm）．
∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先利用勾股定理求出DE的长，再利用h＝220－150＝70计算即可。
20．【答案】（1）解：∵，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
，
由勾股定理得：，
∵，且，
由勾股定理得：，
即，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后求出∠CAE的度数即可；
（2）利用勾股定理先求出AB=4，再求出DE的值，最后利用勾股定理求出CD的值即可。
21．【答案】（1）解： 是直角三角形，
理由是：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 是直角三角形；
（2）由折叠可知 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）根据折叠的性质得出 ， ，求得 ，设 ，则 ，根据勾股定理即可得出结论。
22．【答案】（1）解：出发3秒钟时， 米， 米
米， 米
米， 米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰
（2）解：设出发t秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得， ，解得
此时AC1=20，AB1=15，
此时
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰
答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）出发3秒钟时，CC1=12米，BB1=9米，根据AC、AB的值求出AC1、AB1，然后利用勾股定理求出B1C1，最后与25进行比较即可判断；
（2）设出发t秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，由题意可得40-4t+30-3t=35，求出t的值，进而得到AC1，AB1的值，利用勾股定理求出B1C1，据此判断.
23．【答案】（1）解：根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO 米；
（2）解：梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，
根据勾股定理：OB′＝2米，
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子顶端水平方向向上滑行的距离。
24．【答案】（1）是
（2）设
根据勾股定理可得： ，
于是 ，
∴ ；
（3）证明：
由 可得： ，而 ，
∴ ，即 ；
（4）解：过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且 ，
∴只能是 ，由上问可知 ．
又ED∥BC，∴ ．
而 ，
∴△AGD≌△CDB（AAS），于是 ．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知 ．
又 ∴ ，
∴ ．
【知识点】勾股定理的应用；定义新运算
【解析】【分析】特例感知：①根据勾股高三角形的定义进行判断即可.②设 根据勾股定理可得： ，根据勾股高三角形的定义列出方程，解方程即可.深入探究：根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系.推广应用：运用探究的结果进行运算即可.
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