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2022-2023初数北师大版八年级上册2.4估算 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·南京期末）下列整数中，与 －1最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021八上·顺德期末）无理数的整数部分是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2021八上·肃州期末）估计
的值在（ ）
A．和
之间
B．和
之间
C．和
之间
D．和
之间
4．（2021八上·和平期末）若的整数部分为a，小数部分为b，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·承德期末）如图1，在中，，，M是的中点，设，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）所标四段中的（ ）
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
6．（2021八上·峄城期中）数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于 的是（ ）
A．点C和点D B．点B和点C C．点A和点C D．点A和点B
7．（2021八上·九台期中）若a＜ ＜b，且a与b为连续整数，则a与b的值分别为（ ）
A．1；2 B．2；3 C．3；4 D．4；5
8．（2021八上·运城期中）估计 的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
9．（2021八上·于洪期中）已知442＝1936，452＝2025，462＝2116，472＝2209，若n为整数且n＜ ＜n＋1，则n的值为（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
10．（2021八上·临漳期中）已知 ，若 ，则x的值约为（ ）
A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2021八上·本溪期末）若，且a，b是两个连续的整数，则的值为 ．
12．（2021八上·南京期末）与 最接近的整数为 .
13．（2021八上·丹东期末）3+的整数部分是a，3－ 的小数部分是b，则a+b等于 .
14．（2021八上·昌平期末）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116，若n为整数且n＜＜n＋1，则n的值是 ．
15．（2021八上·玉田期中）已知 是 的立方根， 是 的算术平方根， 是 的整数部分， 与 互为相反数．
（1） ， ， ， ；
（2）将 、 、 、 用“＜”按从小到大的顺序排列起来 ．
16．（2021八上·温岭竞赛）设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则 =
三、解答题（共8题，共50分）
17．（2020八上·宿迁期中）已知 的算术平方根是3， 的算术平方根是4，c是 的整数部分，求 的立方根.
18．（2019八上·常州期末）阅读理解：
，即 ， .
的整数部分为1.
的小数部分为
解决问题：已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的平方根.
19．（2020八上·新都月考） 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求：
（1）a+b的值．
（2）a-b的值．
（3） 的值．
20．（2020八上·成都月考）已知x是 的整数部分,y是 的小数部分,求 的平方根.
21．（2021八上·昌平期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为．
参考小燕同学的做法，解答下列问题：
（1）写出的小数部分为 ；
（2）已知与的小数部分分别为a和b，求a2＋2ab＋b2的值；
（3）如果，其中x是整数，0＜y＜1，那么＝
（4）设无理数（m为正整数）的整数部分为n，那么的小数部分为 （用含m，n的式子表示）．
22．（2021八上·隆昌月考）阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、 等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确.
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜ ＜3，是因为 ＜ ＜ ：根据上述信息，回答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 .
（2）10+ 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10+ ＜b则a+b＝ .
（3）若 ﹣3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数.
23．（2021八上·江油开学考）已知2a+3的立方根是3，a+b﹣1的算术平方根是4，c是 的整数部分.
（1）求a，b，c的值.
（2）求a﹣4b+3c的平方根.
24．（2021八上·会同期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙.你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试.
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数.
第二步：的个位数是9，.
能确定的个位数是9.
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得.
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39.
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤.
（2）填空： .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意，
∵ ，且 接近3，
∴ 最接近的是整数2；
故答案为：A.
【分析】被开方数大，算术平方根就大，据此可得，即得，根据不等式的性质得，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴无理数的整数部分是2，
故答案为：C．
【分析】利用估算计算无理数的大小。
3．【答案】D
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：D.
【分析】由有理数大小的比较可得16＜18＜25，根据被开方数越大，其算术平方根就越大得4＜
＜5，则
的范围可求解.
4．【答案】C
【知识点】估算无理数的大小；代数式求值
【解析】【解答】解：因为，即，
所以的整数部分是2，小数部分是，
即，，
所以，
故答案为：C．
【分析】根据求出，，再将a、b的值代入2a+b计算即可。
5．【答案】A
【知识点】估算无理数的大小；勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∵M是BC的中点，
∴BM=1，
过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，
∴∠ABH=60°，
∴AH=，HB=1，
∴HM=2，
在Rt△AHM中，AM=，
∵2.6＜＜2.7．
故答案为：A．
【分析】过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，可求出AH=，HB=1，HM=2，在Rt△AHM中，求得AM的值，再估算出2.6＜＜2.7，即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜ ＜3，
∴两点之间的距离最接近于 的是点C和点D．
故答案为：A．
【分析】根据被开方数大，算术平方根就大，可得2＜＜3，据此判断即可.
7．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴2＜ ＜3，
∴a与b的值分别为2，3．
故答案为：B．
【分析】根据 ＜ ＜ ，可得2＜ ＜3，即可得到a、b的值。
8．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据可得，即可得到。
9．【答案】C
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】
462＝2116，472＝2209，
若n为整数且n＜ ＜n＋1，
故答案为：C
【分析】先写出2021所在的范围，再写出的范围，即可得出n的值。
10．【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵68.82＝6.882×10，
∴x＝326×103＝326000，
故答案为：A．
【分析】根据68.82＝6.882×10，可得x＝326×103＝326000，即可得到答案。
11．【答案】7
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴a=3，b=4，
∴a+b=7．
故答案为：7．
【分析】由可得a=3，b=4，再将a、b的值代入计算即可。
12．【答案】5
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：
而
更接近的整数是
故答案为：5.
【分析】利用估算无理数的大小的方法，可知，由此可得答案.
13．【答案】6-
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】∵1＜＜2，
∴4＜3+＜5，
∴3+的整数部分a=4；
∵1＜＜2，
∴-2＜-＜-1，
∴1＜3-＜2，
设3-的整数部分为m，则m=1，
∴3-的小数部分b=3--m=2-，
∴a+b=4+2-=6-．
故答案为6-．
【分析】根据1＜＜2，可得3+的整数部分a=4；3-的小数部分b=3--m=2-，再将a、b的值代入计算即可。
14．【答案】44
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，
∴，
∴，
∴；
故答案为44．
【分析】先求出，再求出，最后作答即可。
15．【答案】（1）－2；；3；
（2）
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：（1）∵ 是-8的立方根， 是 的算术平方根， 是 的整数部分， 与 互为相反数，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是3，
∴ ，
故答案为：-2， ，3， ；
（2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ．
【分析】利用立方根、算术平方根可求出a、b的值，再估算，即可得到c的值，再利用相反数的定义求解即可。
16．【答案】60
【知识点】估算无理数的大小；定义新运算
【解析】【解答】解：1.52＝2.25，可得出有2个1；
2.52＝6.25，可得出有4个2；
3.52＝12.25，可得出有6个3；
4.52＝20.25，可得出有8个4；
∴.
故答案为：60.
【分析】分别求出1.52，2.52，3.52，4.52，可得到中分别有2个1，4个2，6个3，8个4，由此可求出的值.
17．【答案】解：∵ 的算术平方根是3，
∴ ，解得 ；
∵ 的算术平方根是4，
∴ ，解得： ；
∵ ，
∴ ，
∵c是 的整数部分，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的立方根为4.
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【分析】根据算术平方根的意义可得，据此求出a、b的值，由算出平方根根的性质根据 ，可得 ，从而求出c=5，然后代入求出a+3b-c的值，再求其立方根即可.
18．【答案】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
则25的平方根是 .
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】估算确定出a与b的值，代入原式计算即可求出平方根.
19．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵
∴ ，
∴ ，
；
故
（2）解：
（3）解：
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【分析】根据题意及算术平方根的性质易得 ，进而可求 、 的值，然后分别代入（1）（2）（3）进行求解即可．
20．【答案】由题意得：x=3,y= 3，
∴y = 3，x 1=2，
∴ =9，
∴ 的平方根是±3.
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】先估算出的取值范围，再作答即可。
21．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，，
∵与的小数部分分别为a和b，
∴，
∴；
（3）
（4）
【知识点】估算无理数的大小；代数式求值
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为；
故答案为；
（3）由可知，
∵，
∴的小数部分为，
∵x是整数，0＜y＜1，
∴，
∴；
故答案为；
（4）∵无理数（m为正整数）的整数部分为n，
∴的小数部分为，
∴的小数部分即为的小数部分加1，为；
故答案为．
【分析】（1）先求出的整数部分为3，再求解即可；
（2）先求出 ，， 再求出a和b的值，最后代入求解即可；
（3）先求出的小数部分为，再求出，最后计算求解即可；
（4）根据题意先求出的小数部分为，再计算求解即可。
22．【答案】（1）3； -3
（2）23
（3）解：∵25＜30＜36，
∴5＜ ＜6，
∴5-3＜ -3＜6-3，
即2＜ -3＜3，
∴ -3的整数部分为2，小数部分为 -3-2= -5，
∴x=2，y= -5，
∴x-y=2-( -5)=7- ，
∴x-y的相反数为 -7.
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：（1）∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 的整数部分为3，小数部分为 -3.
故答案为：3， -3；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴10+1＜ ＜10+2，
即11＜10+ ＜12，
∴a=11，b=12，
∴a+b=23.
故答案为：23；
【分析】（1）由9＜13＜16可得3＜＜4，据此可得的整数部分以及小数部分；
（2）由1＜3＜4可得的范围，进而根据不等式的性质可得的范围，得到a、b，据此计算a+b；
（3）同理求出 -3的范围，得到其整数部分以及小数部分，即x、y，然后求出x-y，接下来根据相反数的概念进行求解.
23．【答案】（1）解：∵2a+3的立方根是3，
∴2a+3＝27，
解得a＝12，
∵a+b﹣1的算术平方根是4，
∴a+b﹣1＝16，
解得b＝5，
∵3＜ ＜4，
∴ 的整数部分是3，
∴c＝3，
综上所述：a＝12，b＝5，c＝3
（2）解：∵a＝12，b＝5，c＝3.
∴a﹣4b+3c＝12﹣20+9＝1，
∵1的平方根是±1
∴a﹣4b+3c的平方根是±1.
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【分析】（1）由题意可得2a+3＝27，a+b-1＝16，求出a、b的值，然后根据估算无理数大小的方法可得c的值；
（2）首先根据a、b、c的值求出a-4b+3c的值，然后根据平方根的概念进行求解.
24．【答案】（1）解：第一步：，，，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数.
第二步：∵的个位数是2，，
∴能确定110592的立方根的个位数是8.
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）44
【知识点】立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：（2）第一步：∵，，，
∴，
∴能确定85184的立方根是个两位数.
第二步：∵的个位数是4，，
∴能确定85184的立方根的个位数是4.
第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85，
而，则，可得，
由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44，
即.
故答案为：44.
【分析】（1）根据材料中的步骤，可知第一步：根据1000<110592<1000000可得10<<100；第二步：由83=512可知110592的立方根的个位数是8；第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，可得4<<5，则40<<50，由此能确定110592的立方根的十位数字，据此解答；
（2）同理可得10<<100，由43=64可知85184的立方根的个位数是4，如果划去85184后面的三位184得到数85，则4<<5，据此可得85184的立方根的十位数，据此解答.
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2022-2023初数北师大版八年级上册2.4估算 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·南京期末）下列整数中，与 －1最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意，
∵ ，且 接近3，
∴ 最接近的是整数2；
故答案为：A.
【分析】被开方数大，算术平方根就大，据此可得，即得，根据不等式的性质得，据此判断即可.
2．（2021八上·顺德期末）无理数的整数部分是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴无理数的整数部分是2，
故答案为：C．
【分析】利用估算计算无理数的大小。
3．（2021八上·肃州期末）估计
的值在（ ）
A．和
之间
B．和
之间
C．和
之间
D．和
之间
【答案】D
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：D.
【分析】由有理数大小的比较可得16＜18＜25，根据被开方数越大，其算术平方根就越大得4＜
＜5，则
的范围可求解.
4．（2021八上·和平期末）若的整数部分为a，小数部分为b，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】估算无理数的大小；代数式求值
【解析】【解答】解：因为，即，
所以的整数部分是2，小数部分是，
即，，
所以，
故答案为：C．
【分析】根据求出，，再将a、b的值代入2a+b计算即可。
5．（2021八上·承德期末）如图1，在中，，，M是的中点，设，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）所标四段中的（ ）
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
【答案】A
【知识点】估算无理数的大小；勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∵M是BC的中点，
∴BM=1，
过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，
∴∠ABH=60°，
∴AH=，HB=1，
∴HM=2，
在Rt△AHM中，AM=，
∵2.6＜＜2.7．
故答案为：A．
【分析】过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，可求出AH=，HB=1，HM=2，在Rt△AHM中，求得AM的值，再估算出2.6＜＜2.7，即可得出答案。
6．（2021八上·峄城期中）数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于 的是（ ）
A．点C和点D B．点B和点C C．点A和点C D．点A和点B
【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜ ＜3，
∴两点之间的距离最接近于 的是点C和点D．
故答案为：A．
【分析】根据被开方数大，算术平方根就大，可得2＜＜3，据此判断即可.
7．（2021八上·九台期中）若a＜ ＜b，且a与b为连续整数，则a与b的值分别为（ ）
A．1；2 B．2；3 C．3；4 D．4；5
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴2＜ ＜3，
∴a与b的值分别为2，3．
故答案为：B．
【分析】根据 ＜ ＜ ，可得2＜ ＜3，即可得到a、b的值。
8．（2021八上·运城期中）估计 的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据可得，即可得到。
9．（2021八上·于洪期中）已知442＝1936，452＝2025，462＝2116，472＝2209，若n为整数且n＜ ＜n＋1，则n的值为（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
【答案】C
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】
462＝2116，472＝2209，
若n为整数且n＜ ＜n＋1，
故答案为：C
【分析】先写出2021所在的范围，再写出的范围，即可得出n的值。
10．（2021八上·临漳期中）已知 ，若 ，则x的值约为（ ）
A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326
【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵68.82＝6.882×10，
∴x＝326×103＝326000，
故答案为：A．
【分析】根据68.82＝6.882×10，可得x＝326×103＝326000，即可得到答案。
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2021八上·本溪期末）若，且a，b是两个连续的整数，则的值为 ．
【答案】7
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴a=3，b=4，
∴a+b=7．
故答案为：7．
【分析】由可得a=3，b=4，再将a、b的值代入计算即可。
12．（2021八上·南京期末）与 最接近的整数为 .
【答案】5
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：
而
更接近的整数是
故答案为：5.
【分析】利用估算无理数的大小的方法，可知，由此可得答案.
13．（2021八上·丹东期末）3+的整数部分是a，3－ 的小数部分是b，则a+b等于 .
【答案】6-
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】∵1＜＜2，
∴4＜3+＜5，
∴3+的整数部分a=4；
∵1＜＜2，
∴-2＜-＜-1，
∴1＜3-＜2，
设3-的整数部分为m，则m=1，
∴3-的小数部分b=3--m=2-，
∴a+b=4+2-=6-．
故答案为6-．
【分析】根据1＜＜2，可得3+的整数部分a=4；3-的小数部分b=3--m=2-，再将a、b的值代入计算即可。
14．（2021八上·昌平期末）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116，若n为整数且n＜＜n＋1，则n的值是 ．
【答案】44
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，
∴，
∴，
∴；
故答案为44．
【分析】先求出，再求出，最后作答即可。
15．（2021八上·玉田期中）已知 是 的立方根， 是 的算术平方根， 是 的整数部分， 与 互为相反数．
（1） ， ， ， ；
（2）将 、 、 、 用“＜”按从小到大的顺序排列起来 ．
【答案】（1）－2；；3；
（2）
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：（1）∵ 是-8的立方根， 是 的算术平方根， 是 的整数部分， 与 互为相反数，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是3，
∴ ，
故答案为：-2， ，3， ；
（2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ．
【分析】利用立方根、算术平方根可求出a、b的值，再估算，即可得到c的值，再利用相反数的定义求解即可。
16．（2021八上·温岭竞赛）设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则 =
【答案】60
【知识点】估算无理数的大小；定义新运算
【解析】【解答】解：1.52＝2.25，可得出有2个1；
2.52＝6.25，可得出有4个2；
3.52＝12.25，可得出有6个3；
4.52＝20.25，可得出有8个4；
∴.
故答案为：60.
【分析】分别求出1.52，2.52，3.52，4.52，可得到中分别有2个1，4个2，6个3，8个4，由此可求出的值.
三、解答题（共8题，共50分）
17．（2020八上·宿迁期中）已知 的算术平方根是3， 的算术平方根是4，c是 的整数部分，求 的立方根.
【答案】解：∵ 的算术平方根是3，
∴ ，解得 ；
∵ 的算术平方根是4，
∴ ，解得： ；
∵ ，
∴ ，
∵c是 的整数部分，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的立方根为4.
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【分析】根据算术平方根的意义可得，据此求出a、b的值，由算出平方根根的性质根据 ，可得 ，从而求出c=5，然后代入求出a+3b-c的值，再求其立方根即可.
18．（2019八上·常州期末）阅读理解：
，即 ， .
的整数部分为1.
的小数部分为
解决问题：已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的平方根.
【答案】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
则25的平方根是 .
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】估算确定出a与b的值，代入原式计算即可求出平方根.
19．（2020八上·新都月考） 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求：
（1）a+b的值．
（2）a-b的值．
（3） 的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵
∴ ，
∴ ，
；
故
（2）解：
（3）解：
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【分析】根据题意及算术平方根的性质易得 ，进而可求 、 的值，然后分别代入（1）（2）（3）进行求解即可．
20．（2020八上·成都月考）已知x是 的整数部分,y是 的小数部分,求 的平方根.
【答案】由题意得：x=3,y= 3，
∴y = 3，x 1=2，
∴ =9，
∴ 的平方根是±3.
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】先估算出的取值范围，再作答即可。
21．（2021八上·昌平期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为．
参考小燕同学的做法，解答下列问题：
（1）写出的小数部分为 ；
（2）已知与的小数部分分别为a和b，求a2＋2ab＋b2的值；
（3）如果，其中x是整数，0＜y＜1，那么＝
（4）设无理数（m为正整数）的整数部分为n，那么的小数部分为 （用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，，
∵与的小数部分分别为a和b，
∴，
∴；
（3）
（4）
【知识点】估算无理数的大小；代数式求值
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为；
故答案为；
（3）由可知，
∵，
∴的小数部分为，
∵x是整数，0＜y＜1，
∴，
∴；
故答案为；
（4）∵无理数（m为正整数）的整数部分为n，
∴的小数部分为，
∴的小数部分即为的小数部分加1，为；
故答案为．
【分析】（1）先求出的整数部分为3，再求解即可；
（2）先求出 ，， 再求出a和b的值，最后代入求解即可；
（3）先求出的小数部分为，再求出，最后计算求解即可；
（4）根据题意先求出的小数部分为，再计算求解即可。
22．（2021八上·隆昌月考）阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、 等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确.
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜ ＜3，是因为 ＜ ＜ ：根据上述信息，回答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 .
（2）10+ 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10+ ＜b则a+b＝ .
（3）若 ﹣3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数.
【答案】（1）3； -3
（2）23
（3）解：∵25＜30＜36，
∴5＜ ＜6，
∴5-3＜ -3＜6-3，
即2＜ -3＜3，
∴ -3的整数部分为2，小数部分为 -3-2= -5，
∴x=2，y= -5，
∴x-y=2-( -5)=7- ，
∴x-y的相反数为 -7.
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：（1）∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 的整数部分为3，小数部分为 -3.
故答案为：3， -3；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴10+1＜ ＜10+2，
即11＜10+ ＜12，
∴a=11，b=12，
∴a+b=23.
故答案为：23；
【分析】（1）由9＜13＜16可得3＜＜4，据此可得的整数部分以及小数部分；
（2）由1＜3＜4可得的范围，进而根据不等式的性质可得的范围，得到a、b，据此计算a+b；
（3）同理求出 -3的范围，得到其整数部分以及小数部分，即x、y，然后求出x-y，接下来根据相反数的概念进行求解.
23．（2021八上·江油开学考）已知2a+3的立方根是3，a+b﹣1的算术平方根是4，c是 的整数部分.
（1）求a，b，c的值.
（2）求a﹣4b+3c的平方根.
【答案】（1）解：∵2a+3的立方根是3，
∴2a+3＝27，
解得a＝12，
∵a+b﹣1的算术平方根是4，
∴a+b﹣1＝16，
解得b＝5，
∵3＜ ＜4，
∴ 的整数部分是3，
∴c＝3，
综上所述：a＝12，b＝5，c＝3
（2）解：∵a＝12，b＝5，c＝3.
∴a﹣4b+3c＝12﹣20+9＝1，
∵1的平方根是±1
∴a﹣4b+3c的平方根是±1.
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【分析】（1）由题意可得2a+3＝27，a+b-1＝16，求出a、b的值，然后根据估算无理数大小的方法可得c的值；
（2）首先根据a、b、c的值求出a-4b+3c的值，然后根据平方根的概念进行求解.
24．（2021八上·会同期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙.你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试.
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数.
第二步：的个位数是9，.
能确定的个位数是9.
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得.
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39.
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤.
（2）填空： .
【答案】（1）解：第一步：，，，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数.
第二步：∵的个位数是2，，
∴能确定110592的立方根的个位数是8.
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）44
【知识点】立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：（2）第一步：∵，，，
∴，
∴能确定85184的立方根是个两位数.
第二步：∵的个位数是4，，
∴能确定85184的立方根的个位数是4.
第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85，
而，则，可得，
由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44，
即.
故答案为：44.
【分析】（1）根据材料中的步骤，可知第一步：根据1000<110592<1000000可得10<<100；第二步：由83=512可知110592的立方根的个位数是8；第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，可得4<<5，则40<<50，由此能确定110592的立方根的十位数字，据此解答；
（2）同理可得10<<100，由43=64可知85184的立方根的个位数是4，如果划去85184后面的三位184得到数85，则4<<5，据此可得85184的立方根的十位数，据此解答.
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