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2022-2023初数北师大版八年级上册2.7 二次根式 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·凤县期末）下列各式是二次根式的个数有 ； ； ； （ ）； ； （ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：一般地，式子 叫做二次根式，
，
， ， 是二次根式，
当 时， ，
是二次根式，
，
没有意义，
是三次根式，不是二次根式，
综上，二次根式有 ， ， （ ）， ，共4个，
故答案为：B.
【分析】形如(a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可.
2．（2021八上·岳阳期末）二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
3．（2021八上·门头沟期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A、此选项计算正确，符合题意；
B、 此选项计算错误，不符合题意；
C、此选项计算错误，不符合题意；
D、此选项计算错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。
4．（2021八上·长沙期末）下列为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，故该选项符合题意；
B、 根号内含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C、 = ，被开方数是小数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、 = ，被开方数含有开方开得尽的因式，不是最简二次根式，故该选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式，据此判断即可.
5．（2021八上·毕节期末）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
与
不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】二次根式的加减，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并同类二次根式的时候，只需要将系数相加减，二次根式部分不变，据此即可判断A、B；二次根式的乘法，把系数与被开方数分别相乘，并将结果化为最简二次根式即可，据此即可判断C；分子分母同乘以分母的有理化因式
，将分母有理化，据此即可判断D.
6．（2021八上·承德期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】利用分母有理化解题即可。
7．（2021八上·滕州月考）计算： （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式 ．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
8．（2020八上·遵化月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解： ，
，
，
则原式 ．
故答案为：B．
【分析】先求出x+y与xy的值，将原式变形为，然后代入计算即可.
9．（2021八上·顺义期末）当时，化简二次根式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质与化简解答即可。
10．（2021八上·秦都月考）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方形面积公式求出AB长，然后根据线段间的和差关系求出BE，根据纸片的长和宽的差求出小正方形的边长，最后求其周长即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021八上·牡丹期中） 的倒数是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 的倒数为 ，
故答案为： ．
【分析】先利用倒数的定义求出该数的倒数，再利用分母有理化求解即可。
12．（2021八上·岳阳期末）当 ， 时，则 的值为 .
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】利用二次根式的性质将b化简，进而再合并同类二次根式即可.
13．（2021八上·峄城期末）若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵矩形的周长是，一边长是，
∴另一边长为：，
∴矩形的面积为：，
故答案为：．
【分析】先利用矩形的周长求出另一边的长，再利用矩形的面积公式列式求解即可。
14．（2021八上·沈阳期中）若y＝ + +4，则x2+y2的算术平方根是 ．
【答案】5
【知识点】算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，3-x≥0且x-3≥0，
解得x≤3且x≥3，
所以，x=3，
y=4，
所以，x2+y2=32+42=25，
∵25的算术平方根是5，
∴x2+y2的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式组3-x≥0且x-3≥0，求出x的值，再代入计算即可。
15．（2021八上·如皋月考）若x，y是实数，且，则的值为 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得：，，
解得：，则，
∴，
故答案为：.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式组，解不等式组，可求出x的值，同时可求出y的值；然后将x，y的值代入代数式进行计算，可求出结果.
16．（2021八上·运城期中）实数 在数轴上的位置如下图所示，化简 等于
【答案】0
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由图可知， ，
=
=0，
故答案为：0．
【分析】根据数轴可得：，再利用二次根式的性质：，可得==0.
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021八上·平阴期末）计算：
（1）÷－(π－1)0；
（2）(＋2)2＋(＋1)(－1)
【答案】（1）解：原式=
=
=
=3；
（2）解：原式=
=
【知识点】0指数幂的运算性质；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的除法法则、零指数幂先进行计算，再计算加减即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式先进行计算，再进行合并即可.
18．（2021八上·峄城期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=
=
=．
（2）解：
=
=．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质及分母有理化化简，再计算即可
（2）先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
19．（2021八上·松江期中）已知 ，求 的值．
【答案】∵
∴ = ．
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化化简，再将x的值代入计算即可。
20．（2021八上·奉贤期中）先化简，再求值：如果a＝2+ ，b＝ ，求 的值．
【答案】解：∵b= ，
∴a-b=2+ -(2- )=2 ，
∴ ．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先求出 a-b=2+ -(2- )=2 ， 再代入计算求解即可。
21．（2021八上·青羊月考）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简 .
【答案】解：根据数轴上点的位置得：a且|a|>|b|>|c|，
∴a b<0，c b>0，a+c<0，
则原式=|a b|+|c b| (a+c)=b a+c b a c= 2a.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据数轴上点的位置得：a|b|>|c|，然后判断出a b，c b的正负，接下来根据二次根式的性质、绝对值的性质以及立方根的概念进行化简，再合并同类项即可.
22．（2021八上·松桃期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.
例如：
.
解决问题：化简下列各式
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）模仿阅读材料将原式变形，再用二次根式的性质化简即可；
（2）模仿阅读材料将原式变形，再以二次根式的性质化简即可.
23．（2021八上·平阴期末）阅读下面问题：
＝＝－1；
1/＋＝1×(－)/ (＋)/ (－)＝－；
1/＋＝1×(－)/ (＋)/ (－)＝－；
试求：
（1）＝ ；
（2）当n为正整数时，＝ ；
（3）求＋＋＋…＋＋的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：；
(2)，
故答案为：；
【分析】（1）根据题目中的例题将分子分母同乘以，即可化简；
（2）根据题目中的例题将分子分母同乘以，即可化简；
（3）先将每一个式子进行分母有理化，然后计算加减即可.
24．（2021八上·三水期中）观察下列等式：
；
；
；
按照上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第6个等式： ；
（2）请写出第n个等式： ；
（3）求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）观察，如 的下标3，与 中被开方数，5和7得出：3×2-1=5，3×2+1=7，即7等于下标的2倍加1，5等于下标的2倍减1；
，
故答案是： ；
（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n-1，所以第n个等式
，
故答案是： ；
【分析】（1）观察，如 的下标3，与 中被开方数，5和7得出：3×2-1=5，3×2+1=7，即7等于下标的2倍加1，5等于下标的2倍减1，即可得出答案；
（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n-1，所以得出第n个等式；
（3）根据规律即可得出答案。
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2022-2023初数北师大版八年级上册2.7 二次根式 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·凤县期末）下列各式是二次根式的个数有 ； ； ； （ ）； ； （ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2021八上·岳阳期末）二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·门头沟期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·长沙期末）下列为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·毕节期末）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2021八上·承德期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·滕州月考）计算： （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（2020八上·遵化月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2021八上·顺义期末）当时，化简二次根式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八上·秦都月考）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021八上·牡丹期中） 的倒数是 ．
12．（2021八上·岳阳期末）当 ， 时，则 的值为 .
13．（2021八上·峄城期末）若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是 ．
14．（2021八上·沈阳期中）若y＝ + +4，则x2+y2的算术平方根是 ．
15．（2021八上·如皋月考）若x，y是实数，且，则的值为 .
16．（2021八上·运城期中）实数 在数轴上的位置如下图所示，化简 等于
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021八上·平阴期末）计算：
（1）÷－(π－1)0；
（2）(＋2)2＋(＋1)(－1)
18．（2021八上·峄城期末）计算：
（1）；
（2）．
19．（2021八上·松江期中）已知 ，求 的值．
20．（2021八上·奉贤期中）先化简，再求值：如果a＝2+ ，b＝ ，求 的值．
21．（2021八上·青羊月考）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简 .
22．（2021八上·松桃期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.
例如：
.
解决问题：化简下列各式
（1） ；
（2） .
23．（2021八上·平阴期末）阅读下面问题：
＝＝－1；
1/＋＝1×(－)/ (＋)/ (－)＝－；
1/＋＝1×(－)/ (＋)/ (－)＝－；
试求：
（1）＝ ；
（2）当n为正整数时，＝ ；
（3）求＋＋＋…＋＋的值．
24．（2021八上·三水期中）观察下列等式：
；
；
；
按照上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第6个等式： ；
（2）请写出第n个等式： ；
（3）求 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：一般地，式子 叫做二次根式，
，
， ， 是二次根式，
当 时， ，
是二次根式，
，
没有意义，
是三次根式，不是二次根式，
综上，二次根式有 ， ， （ ）， ，共4个，
故答案为：B.
【分析】形如(a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A、此选项计算正确，符合题意；
B、 此选项计算错误，不符合题意；
C、此选项计算错误，不符合题意；
D、此选项计算错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，故该选项符合题意；
B、 根号内含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C、 = ，被开方数是小数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、 = ，被开方数含有开方开得尽的因式，不是最简二次根式，故该选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式，据此判断即可.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
与
不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】二次根式的加减，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并同类二次根式的时候，只需要将系数相加减，二次根式部分不变，据此即可判断A、B；二次根式的乘法，把系数与被开方数分别相乘，并将结果化为最简二次根式即可，据此即可判断C；分子分母同乘以分母的有理化因式
，将分母有理化，据此即可判断D.
6．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】利用分母有理化解题即可。
7．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式 ．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解： ，
，
，
则原式 ．
故答案为：B．
【分析】先求出x+y与xy的值，将原式变形为，然后代入计算即可.
9．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质与化简解答即可。
10．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方形面积公式求出AB长，然后根据线段间的和差关系求出BE，根据纸片的长和宽的差求出小正方形的边长，最后求其周长即可.
11．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 的倒数为 ，
故答案为： ．
【分析】先利用倒数的定义求出该数的倒数，再利用分母有理化求解即可。
12．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】利用二次根式的性质将b化简，进而再合并同类二次根式即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵矩形的周长是，一边长是，
∴另一边长为：，
∴矩形的面积为：，
故答案为：．
【分析】先利用矩形的周长求出另一边的长，再利用矩形的面积公式列式求解即可。
14．【答案】5
【知识点】算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，3-x≥0且x-3≥0，
解得x≤3且x≥3，
所以，x=3，
y=4，
所以，x2+y2=32+42=25，
∵25的算术平方根是5，
∴x2+y2的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式组3-x≥0且x-3≥0，求出x的值，再代入计算即可。
15．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得：，，
解得：，则，
∴，
故答案为：.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式组，解不等式组，可求出x的值，同时可求出y的值；然后将x，y的值代入代数式进行计算，可求出结果.
16．【答案】0
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由图可知， ，
=
=0，
故答案为：0．
【分析】根据数轴可得：，再利用二次根式的性质：，可得==0.
17．【答案】（1）解：原式=
=
=
=3；
（2）解：原式=
=
【知识点】0指数幂的运算性质；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的除法法则、零指数幂先进行计算，再计算加减即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式先进行计算，再进行合并即可.
18．【答案】（1）解：
=
=
=．
（2）解：
=
=．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质及分母有理化化简，再计算即可
（2）先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
19．【答案】∵
∴ = ．
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化化简，再将x的值代入计算即可。
20．【答案】解：∵b= ，
∴a-b=2+ -(2- )=2 ，
∴ ．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先求出 a-b=2+ -(2- )=2 ， 再代入计算求解即可。
21．【答案】解：根据数轴上点的位置得：a且|a|>|b|>|c|，
∴a b<0，c b>0，a+c<0，
则原式=|a b|+|c b| (a+c)=b a+c b a c= 2a.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据数轴上点的位置得：a|b|>|c|，然后判断出a b，c b的正负，接下来根据二次根式的性质、绝对值的性质以及立方根的概念进行化简，再合并同类项即可.
22．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）模仿阅读材料将原式变形，再用二次根式的性质化简即可；
（2）模仿阅读材料将原式变形，再以二次根式的性质化简即可.
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：；
(2)，
故答案为：；
【分析】（1）根据题目中的例题将分子分母同乘以，即可化简；
（2）根据题目中的例题将分子分母同乘以，即可化简；
（3）先将每一个式子进行分母有理化，然后计算加减即可.
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）观察，如 的下标3，与 中被开方数，5和7得出：3×2-1=5，3×2+1=7，即7等于下标的2倍加1，5等于下标的2倍减1；
，
故答案是： ；
（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n-1，所以第n个等式
，
故答案是： ；
【分析】（1）观察，如 的下标3，与 中被开方数，5和7得出：3×2-1=5，3×2+1=7，即7等于下标的2倍加1，5等于下标的2倍减1，即可得出答案；
（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n-1，所以得出第n个等式；
（3）根据规律即可得出答案。
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