人教A版2019高中数学 必修1 第二章　一元二次函数、方程和不等式 章末复习课 学案（Word版含答案）

一、不等式及其性质
1．不等式及其性质贯穿整个高中数学教学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关，在高中数学中有着很高的地位．
2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养．
例1　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
答案　B
解析　∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)
＝2＋b2≥0，
∴A≥B.
(2)若a>b，x>y，则下列不等式正确的是(　　)
A．a＋xby
C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x<(a－b)y
答案　C
解析　当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，
故|a|x≥|a|y.
反思感悟　不等式及其性质的两个关注点
(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法．
(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法．
跟踪训练1　若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________________．
答案　{a－b|－1≤a－b≤6}
解析　∵－1≤b≤2，
∴－2≤－b≤1，
又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
二、利用基本不等式求最值
1．基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．
2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．
例2　(1)若0A．2 B. C．1 D.
答案　C
解析　因为0所以2－x>0，x(2－x)≤2＝1，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立．
所以x(2－x)的最大值为1.
(2)若x>0，则x＋－的最小值是____________________________________________．
答案　0
解析　x＋－＝x＋＋－2≥0，
当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立，
故x＋－的最小值是0.
反思感悟　基本不等式的关注点
(1)前提：“一正”、“二定”、“三相等”．
(2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法．
跟踪训练2　已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＝________；b＝________.
答案　2　1
解析　y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y≥2－5＝2×3－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
此时a＝2，b＝1.
三、一元二次不等式的解法
1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集．
2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．
3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例3　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求a的值；
(2)求不等式>a＋5的解集．
解　(1)依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，且a<0.
由根与系数的关系，得解得a＝－2.
(2)将a＝－2代入不等式，得>3，
即－3>0，
整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，
解得－2则不等式的解集为{x|－2反思感悟　(1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后分解因式变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集．
(2)一元二次不等式解集的端点值就是对应一元二次函数的零点，也是一元二次方程的根．
跟踪训练3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
解　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1；
②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1；
③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.
若＝1，即a＝1时，不等式无解；
若<1，即a>1时，解得若>1，即0综上可知，当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
四、不等式恒成立问题
1．熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件，理解不等式恒成立与最值的关系，对于含参的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．
2．掌握不等式恒成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例4　已知函数y＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，求x的取值范围．
解　(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}．
(2)将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数，
当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可，
即
解得x≤－3－或x≥－3＋，
故x的取值范围是{x|x≤－3－或x≥－3＋}．
反思感悟　解决不等式恒成立、能成立问题的方法
(1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合．
(2)分离参数法．
(3)转化为最大(小)值问题．
跟踪训练4　已知x>0，y>0，且＋＝2，若x＋2y>m2－3m－1恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－1或m≥4 B．m≤－4或m≥1
C．－1答案　C
解析　由＋＝2得2y＋x＋1＝2(x＋1)y，所以x＋1＝2xy，所以2y＝1＋，
所以x＋2y＝x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1，y＝1时，等号成立，
所以(x＋2y)min＝3，
所以x＋2y>m2－3m－1恒成立，可化为3>m2－3m－1，即m2－3m－4<0，
解得－1五、通过构造数学模型解决生活中的问题
1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键．
2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．
例5　某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成
(1成＝10%)，售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价．
(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解　(1)依题意得y＝100·100.
又售价不能低于成本价，
所以100－80≥0，解得x≤2，
所以y＝40(10－x)(25＋4x)(0≤x≤2)．
(2)40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
又0≤x≤2，
所以x的取值范围为.
反思感悟　解决实际问题的关注点
(1)审题要准，初步建模．
(2)设出变量，列出函数关系式．
(3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题．
跟踪训练5　某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图)．池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计．问净水池的长为多少时，可使总造价最低？
解　设水池的长为x m，则宽为 m.
总造价y＝400＋100·＋200×60＝800＋12 000≥800×2＋12 000＝36 000，
当且仅当x＝，即x＝15时，等号成立，即取得最小值36 000.
所以当净水池的长为15 m时，可使总造价最低．