2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 §2.1 .1 不等关系与不等式（学案+课时对点练 教师版含解析）

第1课时　不等关系与不等式
学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小．
导语
大家知道，相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系．比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；再比如说：新冠疫苗接种速度的快与慢的比较．正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．
一、用不等式(组)表示不等关系
问题1　生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
提示　①最低限速50 km/h，v≥50.②限制质量10 t，0<ω≤10.③限制高度3.5 m,0问题2　你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1)某社会团体成员要求，男性成员人数m应不多于50人，女性成员人数n不少于10人．
(2)某大学生应聘某公司，要求月薪不低于3 000；
(3)若小明的身高为x，小华的身高为y，小明比小华矮；
(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图)．
提示　(1)(2)设月薪为x元，则x≥3 000.(3)x知识梳理
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号语言 > < ≥ ≤
注意点：
(1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致．
(2)用适当的不等号连接．
(3)多个不等关系用不等式组表示．
例1　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．
解　设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
则
反思感悟　用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．
(2)适当地设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．
跟踪训练1　用不等式或不等式组表示下面的不等关系．
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；
(2)a与b的和是非负实数；
(3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍．
解　(1)0(3)
二、作差法比较大小
问题3　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
知识梳理
基本事实
依据 a>b a－b>0； a＝b a－b＝0； a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
注意点：
(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．
(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小．
(3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小．
例2　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝2＋.
∵2≥0，
∴2＋≥>0，
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，
∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
反思感悟　作差法比较两个实数大小的基本步骤
跟踪训练2　比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小．
解　因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)
＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，
所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6)．
三、重要不等式
问题4　如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？
提示　正方形的边长为.这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab.
于是就有a2＋b2≥2ab.
证明a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋b2－2ab≥0.
因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
例3　已知a>0，b>0.
(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；
(2)求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.
证明　(1)因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋3b2≥2b(a＋b)．
(2)因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，
因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
反思感悟　比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明．
跟踪训练3　设a＞0，b＞0，求证：a5＋b5≥a4b＋ab4.
证明　a5＋b5－(a4b＋ab4)
＝(a5－a4b)＋(b5－ab4)
＝a4(a－b)＋b4(b－a)
＝(a4－b4)(a－b)
＝(a2＋b2)(a2－b2)(a－b)
＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)2，
因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，a2＋b2＞0，(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
所以(a2＋b2)(a＋b)(a－b)2≥0.
所以a5＋b5≥a4b＋ab4.
1．知识清单：
(1)用不等式(组)表示不等关系．
(2)作差法比较大小．
(3)重要不等式．
2．方法归纳：作差法．
3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．
1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　)
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
答案　A
解析　v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m.
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是(　　)
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
答案　D
解析　依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M答案　A
解析　∵M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，∴M>N.
4．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)
答案　>
解析　因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，
又a>b，所以(a－b)2>0.
1．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(　　)
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C．a＋b≤0 D．a＋b≥0
答案　C
解析　a与b的和是非正数，即a＋b≤0.
2．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400
答案　B
3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
4．若x∈R，y∈R，则(　　)
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
答案　A
解析　因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1
＝(x－y)2＋1>0，
所以x2＋y2>2xy－1.
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．小明的体重x kg，小华的体重y kg，则小明比小华重表示为“x>y”
C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
答案　BCD
解析　对于A，x应满足x≤2 000，故A错；B，C，D正确．
6．已知0A．MN C．M＝N D．M≥N
答案　B
解析　∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，
∴M>N.
7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为________________________________________________________________________．
答案　499≤x≤501
解析　∵某商品包装上标有重量500±1克，
若用x表示商品的重量，则－1≤x－500≤1，
∴499≤x≤501.
8．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
答案　x解析　因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
所以x9．《铁路旅行常识》规定：旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……
设旅客身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系．
文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
解　由题意可获取以下主要信息：
(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；
(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．
身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，
身高超过1.5米可表示为h>1.5，
身高不足1.2米可表示为h<1.2，
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示．
文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示 1.2≤h≤1.5 h>1.5 h<1.2 P≤160
10．一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．
解　由题意知解得＜a＜.
又a∈N*，∴a＝5，
∴b＝7，∴所求的两位数为57.
11．足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满．则A队有出租车(　　)
A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆
答案　B
解析　设A队有出租车x辆，
则B队有出租车(x＋3)辆，由题意，得
解得
∴而x为正整数，故x＝10.
12．已知a1>1，a2>1，设P＝＋，Q＝＋1，则P与Q的大小关系为(　　)
A．P>Q B．PC．P＝Q D．不确定
答案　B
解析　P－Q＝－＝－＝＝.
因为a1>1，a2>1，
所以a1－1>0,1－a2<0，a1a2>0，
所以P－Q＝<0，所以P13．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　)
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
答案　A
解析　根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.
14．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值．
答案　2　±1
解析　根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立．
15．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为(　　)
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
答案　C
解析　依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子(78－x)根，每根单价为(m－1)钱，
所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，
即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)，
因为0≤x≤78，
所以 ，
根据选项m＝8，x＝30，
所以买大竹子30根，每根8钱．
16．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．
解　设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，得解得∵x∈N*，∴x＝10,11或12，学生人数分别为59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．