2021-2022学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（下）期中数学试卷（Word解析版)

2021-2022学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（下）期中数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
在数列，，，，，，，，，中，的值是( )
A. B. C. D.
设，则( )
A. B. C. D.
已知甲袋中有只红球，只白球；乙袋中有只红球，只白球，则随机取一袋，再以该袋中随机取一球，该球是红球的概率为( )
A. B. C. D.
网络是一种先进的高频传输技术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司于年月初推出了一款手机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率单位：的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴代表年月，代表年月，代表年月，根据数据得出关于的线性回归方程为若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则该款手机市场占有率能超过的最早时间是精确到月( )
A. 年月 B. 年月 C. 年月 D. 年月
在等比数列中中，若，则的值为( )
A. B. C. D.
良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级名学生的睡眠时间单位：小时，经调查发现，这名学生每天的睡眠时间，则每天的睡眠时间为小时的学生人数约为结果四舍五入保留整数( )
附：若，则，，
A. B. C. D.
在数列中，，，且，则( )
A. B. C. D.
若、、为任意实数，若，则最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分）
已知，若，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D. 当时，
甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 事件与事件相互独立 D. ，，是两两互斥的事件
若对任意的，，且，都有，则的值可能是( )
注为自然对数的底数
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
设随机变量的分布列为，则 ______ ．
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以：获胜的概率是 ．
若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
数列满足：，其中为数列的前项和，则 ，若不等式对恒成立，则实数的最小值为
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
从下列三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答．
，，
，，
问题：已知数列的前项和为，，且_____．
求数列的通项公式；
已知是，的等比中项，求数列的前项和．
年月日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛．某机构将每天收看相关比赛的时间在小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了人进行分析，得到如表单位：人：
冰雪运动爱好者 非冰雪运动爱好者 合计
女性
男性
合计
将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？
将频率视为概率，现从参与调查的女性人群中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次，记被抽取的人中“冰雪运动爱好者”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、数学期望和方差．
附：，其中．
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在处的切线方程；
Ⅱ求函数的单调区间．
已知数列的前项和，数列的前项和为．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和；
证明：．
某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：
质量指标值
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图频率分布直方图：
若将频率作为概率，从这件产品中随机抽取件产品，记“抽出的产品中至少有件不是废品”为事件，求事件发生的概率；
若从质量指标值不低于的样本中利用分层抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中任取件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；
若每件产品的质量指标值与利润单位：元的关系如表：
质量指标值
利润元
判断该产品的平均利润变化情况并试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大参考数值：，．
已知函数．
若函数在处的切线也是函数图象的一条切线，求实数的值；
若，且，判断与的大小关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，该数列中，有，，
则有，
故选：．
根据题意，分析数列的规律，由此分析可得答案．
本题考查数列的表示方法，注意分析数列的规律，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
3.【答案】
【解析】解：设事件表示“选中甲袋”，事件表示“选中乙袋”，事件表示“取到红球”，
则，，，，
则取到的球是红球的概率为：，
故选：．
设事件表示“选中甲袋”事件表示“选中乙袋”，事件表示“取到红球”，利用全概率计算公式能求出取到的球是红球的概率．
本题主要考查全概率计算公式，属于常考题型．
4.【答案】
【解析】解：根据表中数据，得，，
，，
所以线性回归方程为，
由，得，
预计上市个月时，即最早在年月，市场占有率能超过，
故选：．
根据表中数据求出，，求出线性回归方程，求出时，即最早在年月，市场占有率能超过．
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目．
5.【答案】
【解析】解：
故选D
利用等比中项的性质可知，，，代入题设等式求得，进而利用等比中项的性质求得的值．
本题主要考查了等比数列的性质．解题过程充分利用等比中项的性质中的性质．等比中项的性质根据数列的项数有关．
6.【答案】
【解析】解：，
，，
，
高三年级有名学生，
每天的睡眠时间为小时的学生人数约为．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：奇数项：，
偶数项：
所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为
，
．
故选：．
奇数项：，偶数项：，所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为，由此能求出奇数项：，故能求出．
本题考查数列的递推式，解题时要注意分类思想的合理运用．
8.【答案】
【解析】解：可理解为以为圆心，为半径的圆上的任意一点，是函数上任意一点，
表示点与点的距离的平方，
设过点的切线与过的法线垂直，则，即，
设，，得，则函数在上单调递增，
又，则，可得切点为，
圆心与切点之间的距离为，
的最小值为．
故选：．
依题意，可理解为以为圆心，为半径的圆上的任意一点，是函数上任意一点，表示点与点的距离的平方，结合图象，利用导数的几何意义及两点间的距离公式即可得解．
本题考查两点间距离公式的运用，同时还考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
，，
，，故AC正确，BD错误．
故选：．
结合二项分布的期望与方差公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，等差数列中，若，即，变形可得，整理得，A错误；
对于，等差数列中，，B正确；
对于，由于，则，，
又由，故，C正确；
对于，当时，，D正确；
故选：．
根据题意，由等差数列的性质和前项和公式，依次分析选项，即可得答案．
本题考查等差数列的前项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查概率的综合问题，掌握条件概率的基本运算是解决问题的关键，属于中档题．
本题在，，是两两互斥的事件，把事件的概率进行转化，可知事件的概率是确定的．
【解答】
解：因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，
因为，
所以，
，
．
，
所以，于是事件与事件不相互独立．
故选：．

12.【答案】
【解析】解：由于，则等价于，即，
设，则在上单调递减，
又，令，解得，
函数在上单调递减，
故选：．
根据题意，可变形为，设，利用导数判断函数的单调性即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及构造思想，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：随机变量的分布列为，
可得：，解得，
．
故答案为：．
利用概率分布列求出，然后求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列，概率的求法，考查计算能力．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查运算求解能力，是一般题．
甲队以：获胜包含的情况有：前场比赛中，第一场负，另外场全胜，前场比赛中，第二场负，另外场全胜，前场比赛中，第三场负，另外场全胜，前场比赛中，第四场负，另外场全胜，由此能求出甲队以：获胜的概率．
【解答】
解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，
甲队以：获胜，则第五场一定是甲胜，
甲队以：获胜包含的情况有：
前场比赛中，第一场负，另外场全胜，其概率为：，
前场比赛中，第二场负，另外场全胜，其概率为：，
前场比赛中，第三场负，另外场全胜，其概率为：，
前场比赛中，第四场负，另外场全胜，其概率为：，
则甲队以：获胜的概率为：
．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：由题意可得，在区间上恒成立，
故在区间上恒成立，
结合正弦函数的性质可知，当时，的最大值，
．
故答案为
由题意可知，在区间上恒成立，分离可得，在区间上恒成立，结合正弦函数的性质可求．
本题主要考查了函数的单调性与导数关系的应用，属于基础试题．
16.【答案】


【解析】解：数列满足：，
当时，，
得：，
整理得常数，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，
解得．
不等式对恒成立，
所以，
由于，
所以，
即，
设，
则，
当，，即数列单调递增，
当时，，
当时，，即数列单调递减．
所以当时，取得最大值为．
即，
所以，
故的最小值为．
故答案为：．
首先利用关系式的变换求出数列是以为首项，为公差的等差数列，进一步利用函数的恒成立问题的应用和数列的单调性的应用求出参数的最小值．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，恒成立问题的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
17.【答案】解：选条件时，，，
整理得，
故常数，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
故首项符合通项，故．
选条件时，，，
整理得，
故，
故数列是等差数列，公差，
故首项符合通项，
选条件时，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
则时，．
又，所以，
由得：，
由于是，的等比中项，所以，
则，
故：．
【解析】选，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
选，可推导出，可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
选，分析可知数列为等差数列数列，确定该数列的首项和公差，可求得，再由可求得数列的通项公式；
求得，可得出，利用裂项求和法可求得．
本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．
18.【答案】解：列联表：
冰雪运动爱好者 非冰雪运动爱好者 合计
女性
男性
合计
所以，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与“冰雪运动爱好者”有关．
由题意可得：，
的所有可能取值为，，，，
所以；
，
所以的分布列为：


从而．
【解析】直接完成列联表，套公式求出，对着参数下结论；
由题意分析出，求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望和方差．
本题考查了独立性检验以及离散型随机变量的分布列，期望与方差，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ时，，
则，，，
故切线方程为：，即．
Ⅱ函数的定义域为，，
当时，，
则函数在上单调递增，
当时，时，，
则函数在上单调递增，
时，，
则函数在上单调递减，
综上所述，
当时，函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
【解析】Ⅰ代入的值，求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
Ⅱ求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可．
本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，考查分类讨论思想，是中档题．
20.【答案】解：当时，，，
两式相减：；
当时，，也适合，
故数列的通项公式为；
由题意知：，，
，
，
两式相减可得：，
即，，
．
，显然，
即，；
另一方面，，
即，，，，
，
即：．
【解析】本题考查数列递推式的应用，突出考查错位相减法求和与累加法求和的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题．
当时，利用可得，再验证的情况，即可求得数列的通项公式；
由题意知：，利用错位相减法即可求得数列的前项和；
利用基本不等式可得，可得；再由，累加可，
于是可证明：．
21.【答案】解：设事件的概率为，抽取到的非废品数为，
则由频率分布直方图可得，任取件产品是废品的概率为：，
不是废品的概率为：，
则，
则；
由频率分布直方图得指标值大于或等于的产品中，
的频率为，
的频率为，
的频率为，
利用分层抽样抽取的件产品中，的有件，的有件，的有件，
从这件产品中，任取件，质量指标值的产品件数的所有可能取值为，，，则：
，
，
，
的分布列为：


的数学期望为：．
由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润元的关系如表所示，
质量指标值
利润元
每件产品的平均利润：
，
则，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取最大值为，
生产该产品能够实现盈利，
当时，每件产品的平均利润达到最大．
【解析】计算出抽取一件是废品的概率为，由题意服从二项分布求解即可；
根据分层抽样可知每层分别抽取，，件，根据超几何分布求分布列、期望即可；
计算每件产品的平均利润，利用导数求出最大值即可得解．
本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与期望以及概率在实际决策问题中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为，所以在处切线斜率，
切线：，又，
设与相切时的切点为，则斜率，
则切线的方程又可表示为，
由，解之得；
，理由如下：
由题，由得，
当时，，单调递减，
因为，所以，
即，
所以，
同理
得，
因为，
由得，即，
所以，即，
所以．
【解析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式方程即可；
判断的单调性，得出，，的大小关系，根据导数的运算性质和不等式的性质得出结论．
本题主要考查利用导数研究切线问题，利用导数研究双变量问题等知识，属于中等题．
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