2021-2022学年青海省玉树州州直高中高三（下）第三次大联考数学试卷（文科）（Word解析版)

2021-2022学年青海省玉树州州直高中高三（下）第三次大联考数学试卷（文科）
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
已知，，是虚数单位，若与互为共轭复数，则( )
A. B. C. D.
设集合，，则( )
A. B. C. D.
已知两个不重合的平面，和直线，若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
在等差数列中，为其前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
若函数图象的两个相邻最高点间的距离为，则在下列区间中单调递增的区间是( )
A. B. C. D.
若，满足约束条件则的最大值为( )
A. B. C. D.
已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
已知斜率为的直线与双曲线相交于，两点，且的中点是，则的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
已知，，，则( )
A. B. C. D.
已知为偶函数，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，，，则的离心率是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
某中学决定从收集到的份学生作品中，抽取份进行展示，现采用系统抽样的方法，将这份作品从到进行编号，已知第一组中被抽到的号码为，则所抽到的第组的号码为______．
已知______．
已知点是曲线上任意的一点，则点到直线的距离的最小值是______．
已知数列的前项和为，且，，则______．
三、解答题（本大题共7小题，共82分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，且的面积．
求角的大小；
若，求．
年北京冬奥会即第届冬季奥林匹克运动会将在年月日至月日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是：，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有人对冰壶运动没有兴趣．
完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女
合计
按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取人，若从这人中随机选出人作为冰壶运动的宣传员，求选出的人中至少有一次是女生的概率．
附：．
如图，在四棱锥中，，，，是等边三角形，，．
求证：平面平面；
求点到平面的距离．
函数．
若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
求证：当时，．
已知过点的动圆与直线相切，该动圆圆心的轨迹为曲线．
求的方程；
过点的直线交于点，，过点且斜率为的直线与交于异于，的一点，证明：直线过定点．
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
求的普通方程；
已知点的直角坐标为，过点作的切线，求切线的极坐标方程．
已知函数．
若，求不等式的解集；
若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：与互为共轭复数，
，，
．
故选：．
根据已知条件，共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
可以求出集合，然后进行交集的运算即可．
本题主要考查列举法、描述法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．
3.【答案】
【解析】解：，由，可得或；
反之，，由，可得或或与相交，相交也不一定垂直．
若，则“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：等差数列中，，，
所以，
解得，，，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数图象的两个相邻最高点间的距离为，
，
令，，
求得，，
故函数的增区间为，，
取，可得函数的一个单调递增区间为
故选：．
由题意利用正弦函数的图象求得的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的一个单调递增区间．
本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最大值为．
故选：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，解得，
．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，求出，再将平方，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为的正方形，高为的四棱锥体．
如图所示：
故：．
故选：．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设，两点的坐标为，，
则有：，
两式相减，可得：，
由直线的斜率为，且中点，可得：，
故C的渐近线方程为：．
故选：．
根据点在双曲线上，联立方程，表示出中点与斜率的关系，进而求出双曲线的渐近线方程．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：当时，，
则，
当时，，，，
所以，
故当时，为增函数，
又为偶函数，
所以不等式，
两边平方整理得，
解得或，
即不等式的解集为．
故选：．
利用导数判断当时，为增函数，从而利用函数的单调性与奇偶性将不等式转化为，解绝对值即可得结论．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，利用导数求出函数的单调性是解题的关键，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，在中，，，
，，，
，
，
在中，由正弦定理有，
，
．
故选：．
由题知，，，进而结合正弦定理有，可求离心率．
本题考查椭圆的离心率的求法，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据系统抽样定义可知个学生作品分成组，每组份，
可知所抽到的第组的号码为．
故答案为：．
根据系统抽样公式计算即可．
本题考查系统抽样定义，考查数学运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，．
，
故答案为：．
由题意利用两角和的正切公式，求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，，
令，解得，故，所以，
故所求距离为：，
则点到直线的距离的最小值是．
故答案为：．
设出与直线平行的曲线的切线之切点，然后令切点处的导数等于，求出切点的坐标，最后利用点到直线的距离公式求解．
本题考查导数的几何意义及其应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，
，，又，
，，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
，
故答案为：．
先由数列的递推公式及等比数列的定义求出通项公式，再根据通项公式由等比数列的求和公式即可求解．
本题考查由数列递推公式求通项公式，等比数列的定义及求和公式，属中档题．
17.【答案】解：由得，
由余弦定理得，化简得，
又，所以；
由，得，
，
，
，
，，或，由于，则，
．
【解析】由已知可得，进而可求，可求；
由，可得，从而利用和差角的正弦公式计算可得的值．
本题考查正弦定理，余弦定理的运用，三角形的面积公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属基础题．
18.【答案】解：由题意，从某大学随机抽取了人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是．
可得男生有人，女生有人，
又由冰壶运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，没有兴趣的有人，
因为女生中有人对冰壶运动没有兴趣，所以男生有兴趣的有人，无兴趣的有人，
女生有兴趣的有人，
得到如下列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女
合计
因为，
所以有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
对冰壶运动有兴趣的一共有人，
从中抽取人，抽到的男生人数、女生人数分别为：人，人，
记名男生分别是，，，名女生分别是，，，，，
则从中选出人的基本事件是：，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共个，
选出的人至少有一位是女生的事件有个，
所以选出的人至少有一位是女生的概率．
【解析】本题主要考查独立性检验公式，以及列举法的应用，属于中档题．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及列举法，即可求解．
19.【答案】解：证明：，，
，，平面，
平面，平面平面；
设点到平面的距离为，
在中，，
在中，，
，
，
由，得，
解得，
点到平面的距离为．
【解析】由，得，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理能证明平面平面；
由，能求出点到平面的距离．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、等体积法、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：因为，所以，
又在上单调递增，所以在上恒成立，
因为，，所以在上恒成立，即，
因为在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是．
证明：由知，时，在上单调递增，
令，其中，则，
所以，即，也即，
所以，，，，，
以上各式累加得，，即，
所以．
【解析】求导，通过参变分离法，可将问题转化为在上恒成立，再利用反比例函数的单调性，求得在上的最大值，即可；
由知，时，在上单调递增，取，其中，此时，再结合单调性与累加法，即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，证明不等式，理解函数的单调性与导数之间的联系，掌握参变分离法和累加法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
21.【答案】解：设动圆的圆心，则过点的动圆与直线相切，
可得，化简可得，
故的方程为；
证明：设，，，
设直线的方程为：，即，
联立，得，
则，，
设直线的方程为，，
联立，得，可得，则，，
直线的方程为，
即，则直线过定点．
【解析】由已知可求的方程；
设，，，设直线的方程为：，联立方程可得，，设直线的方程为，，与抛物线方程联立可得，，表示出直线的方程可得定点坐标．
本题考查抛物线的性质，考查定点坐标问题，属中档题．
22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
所以的普通方程是．
由题意，切线的斜率一定存在，
设切线方程为，即，
所以，解得．
所以切线方程是或，
将，代入，
化简得或．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式的应用和转换关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
23.【答案】解：若，，
当时，，解得，所以，
当时，，无解，
当时，，解得，所以，
综上，不等式的解集是．
因为，
若，不等式恒成立，只需．
当时，，解得，
当时，，此时满足条件的不存在，
综上，实数的取值范围是．
【解析】通过讨论的范围，去掉绝对值，求出各个区间上的的范围，取并集即可．
利用绝对值三角不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题．
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