《不等式》专题7：基本不等式辨析 专题讲义（Word版含答案）

《不等式》专题7-1 基本不等式辨析
（6套6页）
知识点：
基本不等式： 若a，b都为正数，那么 (当且仅当a＝b时，等号成立) a2＋b2≥2ab (当且仅当a＝b时，等号成立)． 一正二定三相等： 一正： a，b为正数或零时不等式都可以成立； 二定： 运用过程中式子要出现定值； 三相等： 当且仅当a＝b时取“＝”号； 常用变型:
典型例题：
已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是(　[endnoteRef:0]　)
A.≥8 B.＋≥4 C.≥ D.≤ [0: 答案：B；
[解析]　∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4.故选项A不正确，选项C也不正确．对于选项D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2，故选项D不正确．对于选项B，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.
]
已知，则将按从小到大的顺序排列得 [endnoteRef:1] [1: 答案：顺序1－4－2－3；]
下列函数中最小值为4的是（ [endnoteRef:2] ）
A． B．当x>0时，
C．当时， D． [2: 答案：D；
]
随堂练习：
若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是[endnoteRef:3]________(填序号)．
①ab≤1； ②＋≤； ③a2＋b2≥2； ④a3＋b3≥3； ⑤＋≥2. [3: 答案：①③⑤；
[解析]　令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2 ab≤1，①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正确；＋＝＝≥2，⑤正确．]
设，则下列不等式中正确的是 （ [endnoteRef:4]）
（A） （B）
（c） (D) [4: 答案：B；
【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较．
【解】选B （方法一）已知和，比较与，因为，所以，同理由得；作差法：，所以，综上可得；故选B．（方法二）取，，则，，所以．
]
下列不等式中恒成立的是（ [endnoteRef:5] ）
A. B． C． D． [5: 答案：A；]
《不等式》专题7-2 基本不等式辨析
设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　[endnoteRef:6]　)
A．1≤ab≤ B．ab<1< C．ab<<1 D.解析　∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，又∵>>0，∴>1，∴ab<1<.]
已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　[endnoteRef:7]　)
A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 [7: 答案：C；
解析　∵a＋b＝2，∴a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2，a∈[0，2]．∴a2＋b2≥2.
]
a，b是正数，则三个数的大小顺序是　（　 [endnoteRef:8]　）
A．　　 B．　
C．　　 D． [8: 答案：C；]
下列不等式一定成立的是（ [endnoteRef:9] ）
A． B． C． D． [9: 【答案】D
【解析】当都为负数时，A,C选项不正确.当为正数时，B选项不正确.根据基本不等式，有，故选D.
]
给出下列不等式：
①x＋≥2； ②≥2； ③≥2； ④>xy； ⑤≥.
其中正确的是[endnoteRef:10]________(写出序号即可)． [10: 答案：②；
解析：当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，①不正确；
因为x与同号，所以＝|x|＋≥2，②正确；
当x，y异号时，③不正确；
当x＝y时，＝xy，④不正确；
当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．]
下列命题中：
①若，则的最大值为； ②当时，；
③的最小值为； ④当且仅当均为正数时，恒成立.
其中是真命题的是[endnoteRef:11]__________．(填上所有真命题的序号) [11: 【答案】①②
【解析】①若，则的最大值为
，正确
②当时，
，时等号成立，正确
③的最小值为，
取 错误
④当且仅当均为正数时，恒成立
均为负数时也成立.
故答案为① ②
]
《不等式》专题7-3 基本不等式辨析
（多选）已知实数、满足，则下列不等式一定成立的有（ [endnoteRef:12] ）
A． B． C． D． [12: 【答案】BC
【解析】
因为，于是，A项不成立；
由得，B项正确；
由基本不等式可知，因为，所以等号取不到，所以C项正确；当，时，D项不成立.
故选：BC.
]
已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　[endnoteRef:13]　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 [13: 答案：D；
解析：选D.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．]
已知a，b都是正数，则 、的大小关系是 [endnoteRef:14] 。 [14: 答案：≤。提示：平方作差，利用a2＋b2≥2ab可得。]
已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝[endnoteRef:15]________． [15: 36 解析：y＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时y取得最小值4. 又由已知x＝3时，y的最小值为4，所以＝3，即a＝36.
]
对x∈R且x≠0都成立的不等式是(　[endnoteRef:16]　)
A．x＋≥2 B．x＋≤－2 C.≥ D.≥2 [16: 答案：D；
[解析]　因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.]
（多选）下列命题为真命题的有（ [endnoteRef:17] ）
A.“”是“”的充分不必要条件；
B.若，则“”是“”的必要不充分条件；
C.函数有唯一实根的充要条件是；
D.，，使得 [17: 答案：BCD；]
若，则“”是 “”的_[endnoteRef:18]____条件 [18: 【答案】充分不必要
【解析】
当时，由基本不等式，可得，
当时，有，解得，充分性是成立的；
例如：当时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为充分不必要条件.
]
《不等式》专题7-4 基本不等式辨析
已知a，b∈R＋，则下列不等式不一定成立的是(　[endnoteRef:19]　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4 C.≥a＋b D.≥ [19: 答案：D；
解析　取a＝，b＝1试验知D不成立．]
若x>0， y>0，且x＋y4，则下列不等式中恒成立的是（ [endnoteRef:20] ）
A． B． C． D． [20: 答案：B； ]
若 ，则下列不等式一定成立的是（[endnoteRef:21] ）
A． B．
C． D． [21: 【答案】C
【解析】
因为，所以，
又由基本不等式可得：，所以，
又，所以，
因此.
故选：C.
]
给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　[endnoteRef:22]　)
A．1个　 B．2个 C．3个 D．4个 [22: 解析：C
]
若，则下列结论中不恒成立的是（[endnoteRef:23] ）
A． B． C． D． [23: 【答案】D
【解析】
因为，所以所以，即，故A，B正确.
因为，所以，所以故C正确.
当 时， ，故D错误.
故选：D
]
（多选）以下结论正确的是（[endnoteRef:24] ）
[24: 答案：AC；]
“a>b>0”是“ab<”的 (　[endnoteRef:25]　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [25: 解析：A
]
《不等式》专题7-5 基本不等式辨析
已知且，则 （ [endnoteRef:26] ）
（A） （B） （C） （D） [26: 答案：C；]
若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ [endnoteRef:27] ）
（A）. （B）. （C）. （D）. [27: 答案：D；]
若且，则下列四个数中最大的是 　　　　　（ [endnoteRef:28] ）
Ａ．　　　　　 Ｂ．　　　　　Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a [28: 答案：B；]
不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　[endnoteRef:29]　)
A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 [29: 答案　C
解析　由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
]
已知a，bR，且ab≠0，则下列结论恒成立的是([endnoteRef:30]　　)
A． B． C． D．a2＋b2>2ab [30: 解析：C
]
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.（[endnoteRef:31]） [31: 证明　(1)＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8.
(2)证法一：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴
＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
∴≥9.
证法二：＝1＋＋＋.
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
]
（多选）若，则（[endnoteRef:32] ）
A． B． C． D．
[32: 答案：ABD；
【解析】因为，所以，故A正确；
，是实数集上的增函数，所以，故B正确；
，所以，故C错误；
因为，所以，欲证，
只需证明，
即证显然成立，故D正确，
故选ABD．
]
《不等式》专题7-6 基本不等式辨析
已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　[endnoteRef:33]　)
A．2 B．2 C．4 D．5 [33: 答案：C；
解析　∵a>0，b>0，
∴＋≥，当且仅当a＝b时取等号，
∴＋＋2≥＋2≥4，
当且仅当＝2，即ab＝1，
∴当a＝b＝1时，＋＋2有最小值4.
]
若，且，则下列不等式中，恒成立的是 （ [endnoteRef:34] ）
A． B． C．D D． [34: 答案：D；]
已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是([endnoteRef:35]　　)
A. B. C. D. [35: 答案：C；
[解析]　解法一：∵x＋y>2，∴<，排除D；∵＝＝>＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>，排除A.
解法二：取x＝1，y＝2.则＝；＝；＝；＝＝.其中最小．]
为正实数是的 [endnoteRef:36] （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [36: 答案：A；]
设a>0，b>0，则下列不等式中不一定成立的是([endnoteRef:37]　　)
A．a＋b＋≥2 B.≥ C.≥a＋b D．(a＋b)≥4 [37: 答案：B；
解析：选B.因为a>0，b>0，
所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A一定成立．
因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥不一定成立，故B不成立．
因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立．
因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选B.]
已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9.（[endnoteRef:38]） [38: 答案：[证明]　证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，
故＝＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号)．
证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，
ab≤2＝，于是≥4，≥8，因此≥1＋8＝9.]
（多选）设，则下列结论正确的是（ [endnoteRef:39]）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则 [39: 答案：AC；]