《不等式》专题5 基本不等式——最值分析（基础）（Word版含答案）

《不等式》专题5-1 基本不等式——最值分析（基础）
（6套8页）
知识点：
基本不等式： 若a，b都为正数，那么 (当且仅当a＝b时，等号成立) a2＋b2≥2ab (当且仅当a＝b时，等号成立)． 一正二定三相等： 一正： a，b为正数或零时不等式都可以成立； 二定： 运用过程中式子要出现定值； 三相等： 当且仅当a＝b时取“＝”号； 常用变型: 型：“和定积最大，积定和最小” 这个不等式可以把平方和、和、积的关系联系起来，方便变型。
典型例题：
若，的最小值为 [endnoteRef:0] ，此时x＝ 。 [0: 答案：，；]
若，的最小值为 [endnoteRef:1] [1: 答案：；]
若，的最大值为 [endnoteRef:2] ，此时x＝ 。 [2: 答案：，；]
若，，函数的最小值为 [endnoteRef:3] ，此时x＝ 。 [3: 答案：，；]
随堂练习：
若，的最小值为 [endnoteRef:4] ，此时x＝ 。 [4: 答案：，；]
已知x，y∈R＋，且满足 ＋＝1.则xy的最大值为___[endnoteRef:5]_____．
[5: 答案：3；
解析：＝1－，∴0＜1－＜1，0＜x＜3.
而xy＝x·4(1－)＝－(x－)2＋3.
当x＝，y＝2时，xy最大值为3.
]
若，的最小值为 [endnoteRef:6] [6: 答案：；]
若，函数的最大值为 [endnoteRef:7] [7: 答案：－4；]
若，，函数的最小值为 [endnoteRef:8] ，此时x＝ 。 [8: 答案：，；]
典型例题2（一些简单变型、凑数）：
已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为[endnoteRef:9]________． [9: 答案：；
解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·＝·＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.]
已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则 (1＋x)(1＋y)的最大值为([endnoteRef:10]　　)
A．16　　 B．25 C．9 D．36 [10: 解析：B
]
设，则函数的最小值是[endnoteRef:11] ，此时x＝ . [11: 答案：9，1；
提示：]
若，则的最小值是_____[endnoteRef:12]___ [12: 答案：－2；]
若，的最小值为 [endnoteRef:13] [13: 答案：；]
（多选）设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么([endnoteRef:14]　　)
A．a＋b有最小值2＋2 B．a＋b有最大值2＋2
C．ab有最小值3＋2 D．ab有最大值1＋ [14: 答案：AC；
ab＝1＋(a＋b)≤(当且仅当a＝b>1时取等号)，
即(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0且a＋b>2，解得a＋b≥2＋2，
∴a＋b有最小值2＋2，知A正确；
由ab－(a＋b)＝1，得ab－1＝a＋b≥2(当且仅当a＝b>1时取等号)，
即ab－2－1≥0且ab>1，解得ab≥3＋2，
∴ab有最小值3＋2，知C正确．
]
随堂练习2：
已知，，，则的最大值为（[endnoteRef:15] ） A．1 B． C． D． [15: 【答案】D
【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.
]
若，则的最小值为（ [endnoteRef:16] ）
A．-1 B．3 C．-3 D．1 [16: 【答案】A
【解析】，当且仅当时等号成立，故选A.
]
若 在处取得最小值，则（[endnoteRef:17] ）
A． B．3 C． D．4 [17: 【答案】B
【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.
]
设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为(　[endnoteRef:18]　)
A．0 B. C．1 D. [18: A 解析：选A.因为x＞0，所以x＋＞0，所以y＝x＋－＝＋－2
≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以函数的最小值为0.]
若，的最小值为 [endnoteRef:19] [19: 答案：8；]
若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值(　[endnoteRef:20]　)
A．3 B．4 C． D． [20: 解析：B
]
第一页答案：，；；，； ，； 答：，；3； ； －4； ，； 第二页答案： ；B； 9，1； －2； ；AC； 答：D； A；B；A；8；B；
知识点：
分式型凑数法： 记一下这个特殊的凑数方式，出现分式，多数用该法。
典型例题：
设为正数，，则的最小值为____[endnoteRef:21]______. [21: 答案：4；]
已知，且满足，那么的最小值为（ [endnoteRef:22] ）
A． B． C． D．
[22: 答案：B；]
已知的最小值为[endnoteRef:23]_________.
[23: 答案：9；]
随堂练习：
已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[endnoteRef:24] [24: 答案：解　方法一　∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
∵x>0，y>0，∴＋≥2 ＝6.
当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，∴x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二　由＋＝1，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>9.
x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1
＝(y－9)＋＋10.
∵y>9，∴y－9>0，
∴y－9＋＋10≥2 ＋10＝16，
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．
又＋＝1，则x＝4，
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
]
设为正数，，则的最小值为 [endnoteRef:25] . [25: 答案：；]
若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（ [endnoteRef:26] ）
A. B. C.5 D.6 [26: 答案：C；]
应用题：
将一根铁丝切割成三段做一个面积为4．5 m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　[endnoteRef:27]　)
A．9．5 m B．10 m C．10．5 m D．11 m [27: 解析：C
]
某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_[endnoteRef:28]_______公里处． [28: 5；
解析：设仓库与车站距离为x公里，由已知y1＝；y2＝0．8x费用之和y＝y1＋y2＝0．8x＋≥2＝8，当且仅当0．8x＝，即x＝5时“＝”成立．
]
宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( [endnoteRef:29] )
A． B． C． D． [29: 【答案】C
【解析】由题意，p＝10，
S8，
∴此三角形面积的最大值为8．故选：C．
]
《不等式》专题5-2 基本不等式——最值分析（基础）
若x， y是正数，且，则xy有（　 [endnoteRef:30]　）
Ａ．最大值16　 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16　　Ｄ．最大值 [30: 答案：C；]
若，的最小值为[endnoteRef:31] ，此时x＝ 。若，的最大值为[endnoteRef:32] ，此时x＝ 。 [31: 答案：7，1；] [32: 答案：，；]
若，，函数的最小值为 [endnoteRef:33] [33: 答案：；]
已[endnoteRef:34]知x>0，y>0且x＋2y＝1，求xy的最大值，及xy取最大值时的x、y的值． [34: 答案：当，时，最大值；
[解析]：因为x >0，y>0，且x ＋2y＝1
所以x y＝ ＝
当且仅当x ＝2y时上述不等式取“＝”号，由
因此，当，时，x y取得最大值．
]
已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是____[endnoteRef:35]____． [35: 答案：9；
解析　∵a＋b－ab＋3＝0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.令＝t，则t2≥2t＋3.
解得t≥3(t≤－1舍)．即≥3.∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．]
已知t>0，则y＝的最小值为([endnoteRef:36]　　) A．－1 B．－2 C．2 D．－5 [36: 解析：B
]
若，则的最小值是[endnoteRef:37]______，此时______.若，的最小值为 [endnoteRef:38] [37: 【答案】9
【解析】
因为，即
所以
当且仅当即时取等号．
故第一空填9，第二空填
] [38: 答案：；]
若m、n>0，，则的最小值为（[endnoteRef:39] ） A．2 B．6 C．9 D．3 [39: 答案：D；
因为，，
所以
．
当且仅当时取等号，
此时，解得．
]
已知x>0，y>0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是[endnoteRef:40]________． [40: 25；
解析：因为x>0，y>0，＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，
所以(3x＋4y)min＝25．]
若x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为([endnoteRef:41]　　)
A．12 B．14 C．16 D．18 [41: 答案：D；]
用一根长为的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为_______；高为[endnoteRef:42]______. [42: 【答案】 3
【解析】
设窗户的宽为，则其高为，要使阳光充足，只要面积最大，，当且仅当时等号成立，这时高为.
故答案为：(1). (2). 3
用基本不等式求最值问题:已知，则：
(1)如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是 .(简记：积定和最小)
(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大)
]
用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（[endnoteRef:43]） [43: 【答案】矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.
【解析】
设矩形菜园的长为，宽为，则，篱笆的长为.
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
因此，这个矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.
]
《不等式》专题5-3 基本不等式——最值分析（基础）
若，的最小值为 [endnoteRef:44] [44: 答案：；]
若x，y是正实数，则(x＋y)的最小值为(　[endnoteRef:45]　) A.6 B.9 C.12 D.15 [45: 解析：B
]
若，的最大值为 [endnoteRef:46] ，此时x＝ 。 [46: 答案：，； ]
（多选）设，且，那么（[endnoteRef:47] ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值 [47: 答案：AD；
解：①由题已知得：,
故有,解得或（舍）,
即（当且仅当时取等号）,A正确;
②因为,
所以,
又因为
,
有最小值,D正确.
故选：AD
]
若实数x，y满足，则的最大值为　[endnoteRef:48]　 A．1 B． C． D． [48: 【答案】C
【解析】实数x，y满足，，
，当，时取等号，故选：C．
]
已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　[endnoteRef:49]　)
[49: 答案：B；
解析　∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤()2.∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.当x＝2，y＝1时取等号．]
已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝([endnoteRef:50]　　)
A．－3 B．2 C．3 D．8 [50: 解析：C
]
已知，则的最小值是[endnoteRef:51]_______.若，函数的最小值为 [endnoteRef:52] [51: 【答案】3
【解析】因为，所以，
所以（当且仅当时，等号成立）.
] [52: 答案：4；]
已知，，且，则的最小为[endnoteRef:53]_________. [53: 答案：；]
已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值为([endnoteRef:54]　　) A．8　 B．4　　C．2　　 D．0 [54: 解析：A
]
已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab. (1)求ab的最小值； (2)求a＋2b的最小值．（[endnoteRef:55]） [55: 解：因为2a＋b＝ab，所以＋＝1；
(1)因为a>0，b>0，
所以1＝＋≥2，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号，所以ab≥8，即ab的最小值为8；
(2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，所以a＋2b的最小值为9]
如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上取一块
矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，
则矩形ABCD面积的最大值为[endnoteRef:56]________(单位：cm2)． [56: 答案　16
解析　如图所示，连接OC，设OB＝x(0]
某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，
则(　[endnoteRef:57]　) A. x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ [57: 答案：B；
解析　依题意，可得
(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2＝2，
∴1＋x≤1＋.即x≤.
]
《不等式》专题5-4 基本不等式——最值分析（基础）
已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为__[endnoteRef:58]______． [58: 答案：3；
解析　∵x>0，y>0且1＝＋≥2，
∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．
]
若，的最小值为 [endnoteRef:59] ，此时x＝ 。若，的最大值为 [endnoteRef:60] [59: 答案：，；] [60: 答案：；]
若，，函数的最小值为 [endnoteRef:61] [61: 答案：；]
若，且，则的最大值为 [endnoteRef:62] . [62: 答案：；]
已知，则的最小值是（ [endnoteRef:63] ）
（A）3 （B）4 （C） （D）
[63: 答案：B；]
已知x>0，则函数y＝的最小值为(　[endnoteRef:64]　) A．9 B． C．3 D． [64: 解析：B
]
若，则函数的最小值是 [endnoteRef:65] 。 [65: 答案：；]
若，函数的最小值为 [endnoteRef:66] [66: 答案：2；]
若，，，且的最小值是[endnoteRef:67]_______. [67: 【答案】9
【解析】∵，，，,
当且仅当 时“=”成立，故答案为9.
]
已知，且，，则的最小值为　 [endnoteRef:68] ． [68: 答案：9；
]
已知的最小值为[endnoteRef:69]_________. [69: 答案：9；]
某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品([endnoteRef:70]　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 [70: B 解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.]
若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 [endnoteRef:71] . [71: 答案：；]
《不等式》专题5-5 基本不等式——最值分析（基础）
若，的最小值为 [endnoteRef:72] [72: 答案：；]
已知，，则的最小值为（[endnoteRef:73] ） A． B．6 C． D． [73: 【答案】B
【解析】
因为，，由基本不等式可得，，当且仅当时等号成立．
故选：B．
]
若，的最大值为 [endnoteRef:74] ，此时x＝ 。 [74: 答案：，； ]
已知a＞b＞c，则与的大小关系是[endnoteRef:75]________． [75: 答案　≤
解析　∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.
∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．
]
若正实数 满足， 则的最小值是 [endnoteRef:76] [76: 答案：18；]
已知正实数满足，则的最小值为[endnoteRef:77]__________． [77: 【答案】6
【解析】由题得,
所以，所以，
所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y的最小值为6.
当且仅当x=y=3时取等.故答案为：6
]
若，则的最小值是（ [endnoteRef:78] ） Ａ.　　　Ｂ.　　Ｃ.2　　Ｄ.3 [78: 答案：D；]
若，则的最小值是[endnoteRef:79] ；若，的最小值为 [endnoteRef:80] [79: 答案：；] [80: 答案：；]
已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　[endnoteRef:81]　)
A．2 B．4 C．6 D．8 [81: D 解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝时等号成立．故选D.]
若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为[endnoteRef:82]________． [82: 8 解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，
所以＋＝＋＝4＋≥8.]
若x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为([endnoteRef:83]　　)
A．12 B．14 C．16 D．18 [83: 答案：D；]
有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成
一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,
则围成的矩形场地的最大面积为_[endnoteRef:84]___m2(围墙厚度不计). [84: 【答案】2500
【解析】设矩形场地的宽为x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0]
建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为____[endnoteRef:85]____元． [85: 答案：1 760；
解析　设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么
y＝120·4＋2·80·＝480＋320
≥480＋320·2＝1 760(元)．
当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
]
《不等式》专题5-6 基本不等式——最值分析（基础）
已知则mn的最小值是 [endnoteRef:86] [86: 答案：8；
提示：。]
若，的最小值为 [endnoteRef:87] ；若，的最大值为 [endnoteRef:88] [87: 答案：；] [88: 答案：；]
若，，函数的最小值为 [endnoteRef:89] [89: 答案：；]
已知x，y∈（0，+∞），，则xy的最大值为（[endnoteRef:90]　　） A．2 B． C． D． [90: 答案：A；]
已知正数满足，则的范围是 [endnoteRef:91] 。 [91: 答案：；
提示：由，则，即解得，当且仅当即时取“＝”号，故的取值范围是。]
若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　[endnoteRef:92]　)
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 [92: 答案：C；
【解析】
∵x＞2，
∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，　
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
]
若，则函数的最小值是[endnoteRef:93] ；若，的最小值为 [endnoteRef:94] [93: 答案：；] [94: 答案：；]
已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则＋的最小值为[endnoteRef:95]________． [95: 答案　
解析　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝3，
∴＋＝(a＋2b)×＝
≥＋ ＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
∴＋的最小值为.
故答案为.
]
（I）证明：； （II）正数，满足，求的最小值.（[endnoteRef:96]） [96: 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）证明：要证，只需证，
即证.由于，所以成立，
即成立.
（Ⅱ）解：
当，即，时，取最小值.
]
已知正数满足，求的最小值[endnoteRef:97] [97: 答案：；]
如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于[endnoteRef:98]______． [98: 【答案】
【解析】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，
由题意知，则，则三角形的面积，
，，
则三角形的面积，当且仅当a=b=取等
即这个直角三角形面积的最大值等于，
]
建造一个容积为18m3， 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 [endnoteRef:99] 元. [99: 答案：3600；]