2021-2022学年北京市密云区高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市密云区高二（下）期末数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
命题“，使得”的否定为( )
A. ，使得 B. ，使得
C. ，都有 D. ，都有
下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
对变量，由观测数据得散点图，对变量，由观测数据得散点图由这两个散点图可以判断( )
A. 变量与负相关，与正相关 B. 变量与负相关，与负相关
C. 变量与正相关，与正相关 D. 变量与正相关，与负相关
设，，则“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率为( )
A. B. C. D.
已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
设函数，若函数有两个零点，则下列结论中正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
若的展开式共有项，则______；展开式中的常数项是______．
根据超市统计资料显示，顾客购买产品的概率为，购买产品的概率为，既购买产品又购买产品的概率为则顾客购买产品的条件下购买产品的概率为______．
已知函数满足下列条件：
函数在上单调递增；
函数的极小值大于极大值．
则的一个取值为______；此时极大值为______，极小值为______．
某校抽调志愿者下派社区，已知有名教师志愿者和名学生志愿者，要分配到个不同的社区参加服务，每个社区分配名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有______种．
已知函数在上有定义，若对，，都有，则称在上具有性质．
给出下列四个结论：
在上具有性质；
在上具有性质；
若函数在上具有性质且在处取得最大值，则对都有；
若函数在上具有性质对，，，都有．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
年我区正在创建全国文明城市，为了普及创城的相关知识，某校组织全体学生进行了创城知识答题比赛，现对其中名学生的分数统计如下：
分数段
人数
我们规定分以下为不及格；分及以上至分以下为及格；分及以上至分下为良好；分及以上为优秀．
Ⅰ从这名学生中随机抽取名学生，求该生成绩恰好为及格的概率；
Ⅱ从这名学生中随机抽取名学生，求恰好这名学生成绩都是优秀的概率；
Ⅲ从这名学生分及以上的人中随机抽取人，以表示这人中优秀人数，求的分布列与期望．
已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间：
Ⅱ若恒成立．求的取值范围．
已知关于的不等式，其中为参数．
Ⅰ从条件、条件、条件中选择一个作为已知，使得不等式有非空解集，并求此不等式的解集；
条件：；条件：；条件：．
Ⅱ若不等式的解集为，求的取值范围．
某食品加工厂为了调查客户对其生产的五种口味产品的清意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
产品口味
回访客户单位：人
满意率
满意率是指某种口味的产品的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意相互独立，且客户对于每种口味产品满意的概率与表格中该口味产品的满意率相等，
Ⅰ从口味产品的回访客户中随机选取人．求这个客户不满意的概率；
Ⅱ从、所有客户中各随机抽取人．设其中的满意的人数为，求的分布列和学期望；
Ⅲ用“”，“”，“”，“”，“”分别表示，，，，口昧产品让客户满意，“”，“”，“”，“”，“”分别示，，，，口味产品让客户不满意．写出方差，，，，的大小关系．
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，求证：函数存在极小值；
Ⅲ请直接写出函数的零点个数．
设集合为非空实数集，集合，且，称集合为集合的积集
Ⅰ当时，写出集合的积集；
Ⅱ若是由个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；
Ⅲ判断是否存在个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，命题“，使得”是特称命题，
其否定为，都有；
故选：．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数为减函数，不满足条件．
B.函数在上为减函数，不满足条件．
C.函数的定义域为，为非奇非偶函数，不满足条件．
D.，则为偶函数，当时，为增函数，满足条件，
故选：．
分别判断函数的奇偶性和单调性进行判断即可．
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，利用函数的奇偶性和单调性的定义进行判断是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：的项为，
即的系数为，
故选：．
根据展开式的通项公式，利用直接法进行求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由图像可得，变量与负相关，与正相关，
则与负相关．
故选：．
根据已知条件，结合两个散点图，即可求解．
本题主要考查变量间的相关关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
，，即，是充分条件，
若，则即，
，
或，故不是必要条件，
故选：．
根据充分必要条件的定义结合不等式的性质得出答案．
本题考查了充分必要条件的定义，不等式的性质，是一道基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
随机变量服从正态分布，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，
，
的增长率约为．
故选：．
根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得的增长率．
本题主要考查对数的运算法则，对数的实际应用等知识，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，
对于，，有，排除，
对于，，，排除，
对于，，，排除，
故选：．
根据题意，用排除法分析，求出的值，排除，由的值排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的值的计算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，当时，，取，由，
解得或，即当时，函数有两个零点，不正确；
对于，当时，，取，由解得，
即当时，函数只有一个零点，不正确；
对于，当时，函数在上单调递增，函数值集合为，
函数在上单调递增，函数值集合为，而恒有成立，
此时函数在上递增，函数最多一个零点，不正确；
对于，当时，由选项C知，恒有成立，
当时，方程有唯一解，
当时，方程有唯一解，
则当时，方程有两个解，
因此，当且仅当，函数有两个零点，D正确．
故选：．
根据给定的分段函数，分别求出，时的函数零点即可判断，；分析函数性质及在两段上的取值集合即可判断，作答．
本题主要考查分段函数及其性质，由函数的零点求参数取值范围的方法等知识，属于中等题．
11.【答案】
【解析】解：展开式中共有项，，
则的通项公式，
由，得，
则展开式中的常数项是，
故答案为：，．
根据展开式的项数求出，然后求出通项公式，令的次数为进行求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的性质求出展开式的通项公式进行求解是解决本题的关键，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可直接求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：取，此时函数的解析式为，
求导可得，
当时，，单调递增，故满足题意．
由于函数的定义域为，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
据此可得函数的极大值为，函数的极小值为．
事实上，由对勾函数的性质可知任意取都满足题意．
故答案为：，，答案不唯一．
由题意给出的值，然后结合导数研究函数的极值即可．
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，对勾函数的性质等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：有名教师志愿者和名学生志愿者，要分配到个不同的社区参加服务，每个社区分配名志愿者，共有种分配方案，
若两名学生分在同一社区，则有种分配方案，
所以两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有种．
故答案为：．
利用分组分配的方法及间接法即得．
本题考查排列组合，考查学生的推理能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：对于，对，，，
当且仅当，即时取等号，所以正确；
对于，对，，则
当时，，
当时，，
所以在上不具有性质，所以错误；
对于，因为，
所以，且，且，
所以，所以正确；
对于，因为函数在上具有性质，
所以对，，，，都有，
，
所以
，
即，所以正确，
故答案为：．
根据所给定义逐个分析判断即可．
本题考查了抽象函数及其应用，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ由题可知名学生中成绩为及格有人，
故从这名学生中随机抽取名学生，该生成绩恰好为及格的概率为；
Ⅱ记恰好名学生都是优秀的事件为，
则；
Ⅲ由题可知的取值为，，，
，
，
，
故的分布列为：
．
【解析】Ⅰ利用古典概型的概率计算公式即得；
Ⅱ利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解；
Ⅲ由题意可得的可能取值为，，，然后分别求概率可得分布列，从而可求数学期望．
本题考查离散型随机变量的概率分布列及期望，是中档题．
17.【答案】解：Ⅰ，
，
由，得，
，，函数在单调递减，
，，函数在上单调递增，
函数单调递减区间为，单调增区间为．
Ⅱ由题可知，
由Ⅰ知当时，函数有最小值，
，，
的取值范围为．
【解析】Ⅰ求导根据导数的正负能求出函数的单调区间：
Ⅱ由题可知，进而得到，由此能求出的取值范围
本题考查函数的单调性、最值、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：Ⅰ若选条件：，
则，
，不等式的解集为
若选条件：，
则，
，不等式的解集为，
若选条件：，
则，
或，
不等式的解集为或
综上，若选条件：，不等式的解集为
若选条件：，不等式的解集为或
Ⅱ若不等式的解集为，
当时，则不成立，符合题意，
当时，则一定成立，不符合题意，
当时，则，，
综上，的取值范围为．
【解析】Ⅰ时，原不等式可化为，时，原不等式可化为，时，原不等式可化为，再解不等式即可．
Ⅱ对分类讨论，结合二次不等式的图像与性质求解即可．
本题主要考查了二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用．
19.【答案】解：Ⅰ由题意知，这个客户满意的概率为，故不满意的概率为．
Ⅱ由题意，总共抽取人，故可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：
的期望．
Ⅲ由题，口味的平均数为，所以，
同理，
，
，
，
所以
【解析】Ⅰ根据口味产品的样本中的回访客户的满意率，结合满意与不满意的概率和为求解即可；
Ⅱ由题求出满意的人数为的分布列，继而求出期望；
Ⅲ根据公式直接得出结果，然后作比较．
本题主要考查离散型随机变量的概率分布列及期望，是中档题．
20.【答案】解：Ⅰ的定义域为，
因为，
所以切点的坐标为，
因为，
所以切线的斜率，
所以切线的方程为．
证明Ⅱ令，
所以，
因为且，
所以，，，
从而得到在上恒成立，
所以在上单调递增且，
所以，，在区间的变化情况如下表：
极小值
所以时，取得极小值，问题得证．
Ⅲ当或时，函数有一个零点，
当且时，函数有两个零点．
【解析】Ⅰ先求出函数的定义域，再求出，再求导，求出切线的斜率，即可求出切线方程．
Ⅱ构造函数，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，
Ⅲ当或时，函数有一个零点，当且时，函数有两个零点．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
21.【答案】解：Ⅰ因为，故B集合中所有可能的元素有，，，，，，故B，
Ⅱ设，且，
因为，所以中的元素个数大于等于个，
又，，此时中的元素等于个，
所以积集中的元素个数最小值为，
Ⅲ不存在，
假设存在个正实数构成的集合，使积集，
不妨设，则集合的生成集，
则必有，，其中个正实数的成绩，
又，，其个正实数的乘积，矛盾，
所以假设不成立，故不存在个正实数构成的集合，使其积集，．
【解析】Ⅰ利用积集的定义可求．
Ⅱ设，且，利用积集的定义分析中的元素大小关系，可求．
Ⅲ不存在，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾．
本题考查了集合相关知识，属于中档题．
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