12.3 角的平分线的性质同步跟踪测试（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
12．3　角的平分线的性质
一．选择题
1. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
1题图 2题图 3题图 4题图
2. 如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　)
A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为(　　)
A．AD＞DE B．AD＝DE C．AD＜DE D．无法确定
4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，此做法用到三角形全等的判定方法是(　　)
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
5．作∠AOB的平分线时，以点O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于点C，D，然后分别以点C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为(　　)
A．大于CD B．等于CD C．小于CD D．以上答案都不对
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是(　　)
A．15 B．30 C．45 D．60
6题图 7题图 8题图 9题图 10题图
7．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
8. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是(　 )
A．8 B．6 C．4 D．2
9. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC＝(　　)
A．4 B．3 C．6 D．5
10．如图，已知点P，D，E分别在OC，OA，OB上，下列推理：
①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE. 其中正确的个数有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题
11．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：
(1)若∠1＝∠2，则______＝_______；
(2)若∠3＝∠4，则_______＝_______．
11题图 12题图 13题图 14题图
12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且BC＝8 cm，BD＝5 cm，则DE＝____ cm.
13. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ABD＝∠CBD.若点P是BC边上一动点，则DP长的最小值为____．
14．如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE＝4 cm，则点P到边BC的距离为_______．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝10 cm，CD＝3 cm，则△ABD的面积为_________．
15题图 16题图 17题图 18题图
16．如图，在△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12 cm，那么△BDE的周长为____cm.
17. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE＝______cm.
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠BAC.则S△ACD∶S△ABD＝______．
三．解答题
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B＝∠C.
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.
求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：∠B＝∠C.
22．如图，点D是△ABC的外角∠ACE的平分线上的一点，DF⊥AC于点F，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，求证：CE＝CF.
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E.已知AB＝10 cm，求△DEB的周长．
24．如图，在△ABC中，∠A，∠B的平分线交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，OR⊥AB于点R，AB＝7，BC＝8，AC＝9.
(1)求证：OP＝OQ＝OR；
(2)求BP，CQ，AR的长；
(3)若BO的延长线交AC于点E，CO的延长线交AB于点F，∠A＝60°，求证：OE＝OF.
参考答案：
1-5BBDBA 6-10BDCBB
BC，DC；AB，AD
12. 3
13. 4
14. 4cm
15. 15cm2
16. 12
17. 6
18. 3∶5
19. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C
20. 解：(1)由角平分线的性质证得DC＝DE，
再证Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)，∴CF＝EB
(2)证Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE，
∴AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB，
又∵CF＝EB，∴AB＝AF＋2EB
21. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE＝DF，BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B＝∠C
22. 解：∵CD是∠ACE的平分线，DE⊥CE，DF⊥AC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，DE＝DF，
在Rt△DEC和Rt△DFC中，DC＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DEC≌Rt△DFC(HL)，
∴CE＝CF
23. 解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC＝AE，
又∵AC＝BC，
∴△DEB的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋CD＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB，
∵AB＝10 cm，∴△DEB的周长为10 cm
24. 解：(1)∵AO平分∠BAC，OR⊥AB，OQ⊥AC，
∴OR＝OQ，
同理可证OR＝OP，∴OP＝OQ＝OR　
(2)设BP＝BR＝x，CP＝CQ＝y，AQ＝AR＝z，
则有
∴BP＝3，CQ＝5，AR＝4　
(3)由(1)得OR＝OQ，∴∠BOC＝120°＝∠EOF，
∴∠ROQ＝180°－∠A＝120°，
∴∠ROQ＝∠EOF，∴∠EOQ＝∠FOR，
再由ASA证△OEQ≌△OFR，可得OE＝O
21世纪教育网(www.21cnjy.com)