21.3.1 用一元二次方程解决增降率问题同步跟踪测试（含答案）

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21.3 实际问题与一元二次方程
21.3.1 用一元二次方程解决增降率问题
一、单选题
1.某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )
A.144(1-x)2=100 B.100(1-x)2=144
C.144(1+x)2=100 D.100(1+x)2=144
2.近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低.为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金.企业退休职工李师傅2019年的月退休金为1 500元，2021年达到2 160元.设李师傅的月退休金从2019年到2021年年平均增长率为x，可列方程为( )
A.2 016(1-x)2=1 500 B.1 500(1+x)2=2 160
C.1 500(1-x)2=2 160 D.1 500+1 500(1+x)+1 500(1+x)2=2 160
3.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )
A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15
C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15
4.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2013年投入5 000万元，预计2015年投入8 000万元.设教育经费连续两年的年平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是( )
A.5 000(1+x)2=8 000 B.5 000x2=8 000 C.5 000(1+x%)2=8 000 D.5 000(1+x)+5 000(1+x)2=8 000
5.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则( )
A.50(1+x2)=196 B.50+50(1+x2)=196
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196
二、填空题
6.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为_____，第二次增长(或降低)后的数量为_____，即_____.
7.某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元.设平均月增长率为x，根据题意所列方程是_____.
8.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____.
三、解答题
9.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
10.某商店从厂家以21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖(350-10a)件，但物价局限定每件加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？
11.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元.按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元.请问她购买了多少件这种服装？
12.据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2020年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2022年的利用率提高到60%，求每年的增长率.
13.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
14.某中学社团，在“阅读·悦读”活动中，对全校学生的人数及纸质图书阅读质量(单位：本)进行了调查.2019年全校有1 000名学生，2020年全校学生人数比2019年增加10%，2021年全校学生人数比2020年增加100人.
(1)求2021年全校学生人数；
(2)2020年全校学生人均阅读量比2019年多1本，阅读总量比2019年增加1 700本.(阅读总量=人均阅读量×人数)
①求2019年全校学生人均阅读量；
②2019年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍.如果2020年、2021年这两年读书社人均阅读量都比前一年增加一个相同的百分数a，2021年全校学生人均阅读量比2019年增加的百分数也是a，那么2021年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%.求a的值。
21.3.1 用一元二次方程解决增降率问题参考答案
一、单选题
1.某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( D )
A.144(1-x)2=100 B.100(1-x)2=144
C.144(1+x)2=100 D.100(1+x)2=144
2.近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低.为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金.企业退休职工李师傅2019年的月退休金为1 500元，2021年达到2 160元.设李师傅的月退休金从2019年到2021年年平均增长率为x，可列方程为( B )
A.2 016(1-x)2=1 500 B.1 500(1+x)2=2 160
C.1 500(1-x)2=2 160 D.1 500+1 500(1+x)+1 500(1+x)2=2 160
3.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( A )
A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15
C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15
4.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2013年投入5 000万元，预计2015年投入8 000万元.设教育经费连续两年的年平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是( A )
A.5 000(1+x)2=8 000 B.5 000x2=8 000 C.5 000(1+x%)2=8 000 D.5 000(1+x)+5 000(1+x)2=8 000
5.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则( C )
A.50(1+x2)=196 B.50+50(1+x2)=196
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196
二、填空题
6.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为___a(1±x)__，第二次增长(或降低)后的数量为___a(1±x)(1±x)__，即__a(1±x)2___.
7.某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元.设平均月增长率为x，根据题意所列方程是___25(1+x)2=36__.
8.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为___20%__.
三、解答题
9.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
解.设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得
400×(1+10%)(1+x)2=633.6.
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).
答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.
10.某商店从厂家以21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖(350-10a)件，但物价局限定每件加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？
解：由题意，得(a-21)(350-10a)=400，
解得a1=25，a2=31.
∵物价局限定每件加价不能超过进价的20%，
∴商品的售价不超过25.2元.
∴a=31不合题意，舍去.
答：每件商品的售价为25元，需要卖出100件.
11.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元.按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元.请问她购买了多少件这种服装？
解：设购买了x件这种服装，根据题意，得
[80-2(x-10)]x=1 200.
解得x1=20，x2=30.
当x=30时，80-2(30-10)=40＜50,不合题意，舍去.
∴x=20.
答：她购买了20件这种服装.
12.据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2020年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2022年的利用率提高到60%，求每年的增长率.
解：设该省每年产出的农作物秸秆总量为1，合理利用量的增长率是x，由题意，得
1×30%·（1+x）2=1×60%.
解得x1≈0.41,x2≈-2.41(不合题意，舍去).
答：该省每年秸秆合理利用量的增长率约是41%.
13.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
5(1-x)2=3.2，
解得x1=0.2=20%，x2=1.8(舍去).
∴平均每次下调的百分率为20%.
(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5 000=14 400(元)；
方案二所需费用为：3.2×5 000-200×5=15 000(元)，
∵14 400＜15 000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
答：小华选择方案一更优惠.
14.某中学社团，在“阅读·悦读”活动中，对全校学生的人数及纸质图书阅读质量(单位：本)进行了调查.2019年全校有1 000名学生，2020年全校学生人数比2019年增加10%，2021年全校学生人数比2020年增加100人.
(1)求2021年全校学生人数；
(2)2020年全校学生人均阅读量比2019年多1本，阅读总量比2019年增加1 700本.(阅读总量=人均阅读量×人数)
①求2019年全校学生人均阅读量；
②2019年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍.如果2020年、2021年这两年读书社人均阅读量都比前一年增加一个相同的百分数a，2021年全校学生人均阅读量比2019年增加的百分数也是a，那么2021年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%.求a的值。
解：(1)2020年学生人数为1 000×(1+10%)=1 100(人)，
所以1 100+100=1 200，即2021年全校学生人数为1 200人.
(2)①设2019年全校学生人均阅读量为x本，则2020年全校学生人均阅读量为(x+1)本，依题意，得
1 100(x+1)=1 000x+1 700，解得x=6，即2018年全校学生人均阅读量为6本.
②2019年读书社人均阅读量为2.5×6=15(本)，2021年读书社人均阅读量为15(1+a)2本，2021年全校学生人均阅读量为6(1+a)本.
由题意得：80×15(1+a)2=1 200×6(1+a)×25%，
即2(1+a)2=3(1+a),解得a1=-1，a2=0.5(a1=-1不合题意，舍去)，∴a=50%.
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