第2课时 基本不等式在实际问题中的应用
学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题．
导语
同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形ABCD空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！
一、基本不等式在生活中的应用
问题 利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？
提示 一正：x，y都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要．
例1 (教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．
解 设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m.
方法一 由已知xy＝16，
由≥，可知x＋y≥2＝8，
所以2(x＋y)≥16，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
方法二 由已知xy＝16，可知y＝，
所以2(x＋y)＝2≥2×2＝16.
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
延伸探究 如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？
解 由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy，
由≤＝＝3，
可得xy≤9，
当且仅当x＝y＝3时，等号成立．
因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2.
反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意．设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值．利用基本不等式求最值；
(3)检验．检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)结论．
跟踪训练1 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．
解 设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元，
由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m，
所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80，
由基本不等式可得y＝20(a＋b)＋80≥20×2＋80＝160(元)，
当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
因此，该容器的最低总造价为160元．
二、基本不等式在几何中的应用
例2 如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x.
(1)用x表示DP，并求出x的取值范围；
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值．
解 (1)矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，
∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x，
∵AB>BC＝AD，得x>12－x，
∴6在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB′，
∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，
∴DP＝12－(6(2)在Rt△ADP中，
S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－(6∵6∴S△ADP＝108－≤108－72，∴当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72.
反思感悟 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
跟踪训练2 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝______时，矩形花坛AMPN的面积最小．
答案 4米
解析 设BM＝x(x>0)，则由DC∥AM得＝，解得ND＝，
∴矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)＝24＋3x＋≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立．
∴当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小．
1．知识清单：
(1)基本不等式在生活中的应用．
(2)基本不等式在几何中的应用．
2．方法归纳：配凑法．
3．常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围．
1．用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
答案 C
解析 设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x>0，y>0，
由题意可得2(x＋y)＝8，
所以x＋y＝4，
所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，
所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.
2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行．刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是( )
A．采用第一种方案划算
B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样
D．无法确定
答案 B
解析 假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．
第一种方案的均价为＝≥；
第二种方案的均价为＝≤.
所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算．
3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
答案 B
解析 由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，
则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，
因为(1＋a)(1＋b)≤2，
所以1＋x≤＝1＋，
所以x≤，当且仅当a＝b时取等号．
4. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为________．
答案 400
解析 由题意设矩形花园的长为x>0，宽为y>0，矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以＝，又因为AG＝BC＝40，
所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，
由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400，
当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400.
1. 三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“____”的几何解释( )
A．如果a>b>0，那么>
B．如果a>b>0，那么a2>b2
C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D．对任意正实数a和b，有a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立
答案 C
解析 可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2)，
则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，
四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时等号成立．
2．汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值( )
A．大 B．小
C．相等 D．不能确定
答案 B
解析 令单程为s，则上坡时间为t1＝，下坡时间为t2＝，
平均速度为＝＝<<.
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
答案 C
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)，当且仅当a＝b＝2时等号成立．故C既够用，浪费也最少．
4. 如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的( )
A．最小长度为8
B．最小长度为4
C．最大长度为8
D．最大长度为4
答案 B
解析 设BC＝a，CD＝b，
因为矩形的面积为4，所以ab＝4，
所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为
2a＋b＝2a＋≥2＝4，
当且仅当2a＝，即a＝时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4.
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．30件 B．60件
C．80件 D．100件
答案 B
解析 根据题意，生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是900＋x×＝900＋x2，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，
则y＝＝＋(x∈N*)，
由基本不等式，得＋≥2＝30，
当且仅当＝，即x＝60时，等号成立，
即每批生产产品60件时，平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．
6．(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是( )
A．车辆运营年数越多，收入越高
B．车辆在第6年时，总收入最高
C．车辆在前5年的平均收入最高
D．车辆每年都能盈利
答案 BC
解析 由题意可知，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误．
7．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．
答案 32
解析 由题意，矩形中长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，
所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，
当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.
8. 如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________ dm2.
答案 56
解析 设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)，
当且仅当x＝，即x＝12时等号成立．即四周空白部分面积的最小值为56 dm2.
9. 如图，墙角线互相垂直，长为a m的木棒AB的两个端点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区域的面积最大？
解 设OA＝x m，OB＝y m，因为OA⊥OB，所以OA2＋OB2＝AB2，即x2＋y2＝a2，
由基本不等式，得xy≤(x2＋y2)＝a2，
当且仅当x＝y＝a时，等号成立，所以S△AOB＝xy≤，
所以当OA＝OB＝a m，即当放置木棒使A，B到O点的距离相等时，木棒围成区域的面积最大．
10．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB＝x(单位：米)，养殖区域EFGH的面积为S(单位：平方米)．
(1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；
(2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值．
解 (1)因为AB＝x，所以AD＝，EF＝x－2，FG＝－1，
所以S＝(x－2)＝102－－x，
因为0＜x≤20,0＜≤20，解得5≤x≤20，
所以S＝102－－x，5≤x≤20.
(2)S＝102－－x≤102－2＝102－20，
当且仅当x＝10时，等号成立，经验证，符合题意，
即当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为(102－20)平方米．
11. 无字证明是指只用图象而无需文字解释就有不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，现有如图所示图形，在等腰Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.≥(a＞0，b＞0)
B.≤(a＞0，b＞0)
C.≤(a＞0，b＞0)
D．a2＋b2≥2(a＞0，b＞0)
答案 C
解析 由题意知，AB＝AD＋BD＝a＋b，CO＝(a＋b)，
OD＝OB－DB＝(a＋b)－b＝(a－b)，
在Rt△OCD中，CD2＝OC2＋OD2＝＋＝，
因为OC≤CD，所以≤(当且仅当a＝b时等号成立)．
12．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为( )
A．3 B．8 C．4 D．9
答案 A
解析 由题意知，p＝7，S＝＝≤·＝3，
当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，
因此三角形面积的最大值为3.
13．某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是( )
A．先提价p%，后提价q%(p≠q)
B．先提价q%，后提价p%(p≠q)
C．分两次提价%(p≠q)
D．分两次提价%(p≠q)
答案 D
解析 设提价前的价格为1，由题意可知，A，B选项的两次提价后的价格均为(1＋p%)(1＋q%)；
C选项的提价后的价格为2，D选项的提价后的价格为2，
又∵<，
∴(1＋p%)(1＋q%)<2<2，
∴提价幅度较大的为D选项．
14．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．
答案 5
解析 设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，
由题意可设y1＝，y2＝k2x，
把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，
∴y1＝，y2＝0.8x，
则两项费用之和为y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2×4＝8，
当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．
∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小．
15．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是( )
A．大于10 g B．大于等于10 g
C．小于10 g D．小于等于10 g
答案 A
解析 由于天平两臂不等长，
可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，
再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，
∴x＝，y＝，
∴x＋y＝＋＝5≥5×2＝10，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y>10，
因此，顾客购得的黄金大于10 g.
16．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．
(1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．
解 (1)∵∴0y＝x－＝x－－20(0当x＝80时，y＝80－－20＝55(元)，
此时销量为10－0.1×80＝2(万套)，
总利润为2×55＝110(万元)．
(2)y＝x－－20，
∵0∴100－x>0，
∴y＝－＋80
≤－2＋80＝60，
当且仅当＝100－x，即x＝90时，等号成立．
即每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，为60元．第1课时 基本不等式
学习目标 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
导语
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售．你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
一、基本不等式的证明与理解
问题1 如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？
提示 正方形的边长AB＝，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式．
问题2 现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？
提示 用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤.
问题3 上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明．
提示 方法一 (作差法)
－＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
方法二 (性质法)
要证≤，
只需证2≤a＋b，
只需证2－a－b≤0，
只需证－(－)2≤0，
显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立．
方法三 (利用几何意义证明)
如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，
过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤，由此也可以得出圆的半径不小于半弦．
知识梳理
1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
3．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
二、求简单代数式的最值
例1 已知x>0，求x＋的最小值．
解 因为x>0，
所以x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4.
延伸探究
1．当x<0时，求x＋的最大值．
解 原多项式可变为x＋＝－，
因为x<0，则－x>0，
故有－x＋≥2＝4，
所以－≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立．
故原式的最大值为－4.
2．当x>1时，求x＋的最小值．
解 因为x>1，故有x－1>0，
所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．因此所求的最小值为5.
反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，三点缺一不可．
跟踪训练1 (多选)下面四个推导过程正确的有( )
A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，则＜ab
答案 AC
解析 A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；
B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误；
C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；
D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，故D错误．
三、最值定理
问题4 你能写出基本不等式的几种变形吗？
提示 a>0，b>0时，有①≤；②ab≤2；③a＋b≥2.由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值．
知识梳理
最值定理
已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大．
注意点：
(1)三个关键点：一正、二定、三相等．
①一正：各项必须为正；
②二定：各项之和或各项之积为定值；
③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备．
(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换．
例2 (1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
答案 C
解析 因为x>0，y>0，
所以≤，
即xy≤2＝81，
当且仅当x＝y＝9时，等号成立，即(xy)max＝81.
(2)若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是( )
A．4 B．4 C．9 D．18
答案 D
解析 因为m＞0，n＞0，mn＝81，所以m＋n≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，故m＋n的最小值是18.
反思感悟 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
跟踪训练2 (1)已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b取得最小值时a，b的值分别为( )
A．2,2 B．2,4
C．4,4 D．4,2
答案 D
解析 因为a＞0，b＞0，
所以a＋2b≥2＝2＝8，
当且仅当即时，等号成立，即a＋2b取得最小值8，
所以a＋2b取得最小值时a，b的值分别为4,2.
(2)已知0答案
解析 由题意知1－2x>0，则y＝x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤2＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．
所以y的最大值为.
1．知识清单：
(1)基本不等式的推导与证明．
(2)求简单代数式的最值．
(3)最值定理．
2．方法归纳：拼凑法．
3．常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字，更是不能缺少．
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
答案 B
解析 当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，
即a＝1时，等号成立．
2．已知x<0，则x＋－2有( )
A．最大值0 B．最小值0
C．最大值－4 D．最小值－4
答案 C
解析 ∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4.
当且仅当－x＝－，即x＝－1时“＝”成立．
∴x＋－2(x＜0)有最大值为－4.
3．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≠0，x＋的最小值为2
D．当x>0时，x＋的最小值为2
答案 B
解析 选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；
选项C不满足“各项必须为正”，故不正确；
选项D不满足“积为定值”，故不正确．
4．已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a的值为__________．
答案 36
解析 ∵y＝4x＋(x＞0，a＞0)，
∴y＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝即x＝时，等号成立．
又∵y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，∴＝3，∴a＝36.
1．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
答案 D
解析 若a<0，则a＋≥4不成立，故A错；
若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；
若a＝4，b＝16，则<，故C错；
由基本不等式可知D项正确．
2．下列各式中最小值为2的是( )
A．y＝t＋(t>1)
B. y＝＋
C. y＝t＋(t>1)
D．y＝t＋＋1(t>0)
答案 B
解析 A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；D中，y＝t＋＋1≥3.
3．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是( )
A．400 B．100 C．40 D．20
答案 A
解析 ∵≤(x>0，y>0)，
∴xy≤2＝2＝400.
当且仅当x＝y＝20时，等号成立．
∴xy的最大值是400.
4．设x>0，则3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2 C．－1 D．3－2
答案 D
解析 ∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，
∴－≤－2，
则3－3x－≤3－2，即3－3x－的最大值为3－2.
5．(多选)下列不等式中正确的是( )
A．a2＋1>2a B.≥2
C.≤2 D．x2＋≥1
答案 BD
解析 由基本不等式可知B，D正确．
6．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
答案 ACD
解析 根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0.
7．已知0答案
解析 因为00，所以x(1－x)≤2＝2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
8．已知x＞，则函数y＝x－1＋的最小值为________．
答案
解析 由x＞得x－＞0，
则函数y＝x－1＋＝x－＋＋≥2＋＝2＋＝，
当且仅当，即x＝时，等号成立，此时函数取得最小值.
9．已知x>3，求＋x的最小值．
解 因为x>3，所以x－3>0，
所以＋x＝＋(x－3)＋3
≥2＋3
＝2＋3＝7，
当且仅当＝x－3，即x＝5时，等号成立．
所以＋x的最小值为7.
10．(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0解 (1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×2
＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，
即x＝时，上式等号成立，
故当x＝时，ymax＝.
11．式子的最小值为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 ＝|x|＋≥2＝4，当且仅当|x|＝，即x＝±2时，等号成立，故最小值为4.
12．若0A．最小值0 B．最大值2
C．最大值 D．不能确定
答案 B
解析 由基本不等式≤＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时等号成立，故最大值为2.
13．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为( )
A．16 B．9 C．4 D．36
答案 B
解析 (1＋x)(1＋2y)≤2＝2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，故所求最大值为9.
14．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为 ________.
答案
解析 因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤×2
＝×2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取得最大值为.
15．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有( )
A．(1,4) B．(6,8)
C．(7,12) D.
答案 AC
解析 设矩形的长和宽分别为x，y，
则x＋y＝l，S＝xy.
由xy≤2知，S≤，故A，C成立．
16．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值．
解 ∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，
∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，
当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，
即x＝，y＝时，等号成立．
∴W≤2，
即W的最大值为2.
