2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 §2.1 等式性质与不等式性质 学案 2份打包（Word版含答案）

第2课时　等式性质与不等式性质
学习目标　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
导语
同学们，2008年你们也就刚出生不久，但是08年北京奥运会注定已成为举世瞩目的一届奥运会，没有之一，其场面气势恢宏、美轮美奂、激动人心，世界都把目光聚焦到北京，反映出中国经济发展的高水平和快速度，一个开放的中国正在向世界展露出新的姿态，使得中国对世界更加开放，世界各国进一步认识和了解中国这个亚洲强国，有人说北京奥运会超过已经举办的任何一届奥运会！在刚才这一段话中，大家能发现有哪些不等关系吗？(条件允许可提前播放中国队夺冠视频或播放北京奥运会主题曲《我和你》)
一、等式性质与不等式的性质
问题　判断下列命题是否正确？
(1)如果a＝b，那么b＝a；
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
提示　以上均正确，这些都是等式的基本性质．
知识梳理
不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
注意点：
(1)若a＞b＞0，则0＜＜；若a＜b＜0，则0＞＞.
(2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算．
例1　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则>
C．若a
D．若a>b，>，则a>0，b<0
答案　D
解析　方法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a>b>0，有ab>0 > >，故B为假命题；
>，故C为假命题；
ab<0.
∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题．
方法二　特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错；
取a＝2，b＝1，则＝，＝1.有<，故B错；
取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C错．
反思感悟　利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．
(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练1　(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　)
A．|a|>|b| B．aC．a＋bb3
答案　CD
解析　由<<0可得b0，则a＋bb3，D正确．
二、利用不等式的性质证明不等式
例2　已知c>a>b>0，求证：>.
证明　－＝
＝＝，
∵c>a>b>0，
∴a－b>0，c－a>0，c－b>0，
∴>.
延伸探究　作差法是比较判断两个代数式的基本方法，你能用我们刚学过的性质解决本例吗？
证明　方法一　因为a>b>0，所以<，
因为c>0，所以<，
所以－1<－1，即<，
因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0.
所以>.
方法二　因为c>a>b>0，
所以0所以0<<，
即>>0，
又因为a>b>0，所以>.
反思感悟　(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件．
(2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件．
跟踪训练2　已知a>b>0，c<0，证明：>.
证明　方法一　－＝，
∵a>b>0，c<0，
∴ab>0，b－a<0，c(b－a)>0，
∴－>0，∴>.
方法二　∵a>b>0，
∴>>0，
∵c<0，∴<.
即>.
三、利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3　已知－6解　因为－6所以－12<2a<16，
所以－10<2a＋b<19.
又因为－3<－b<－2，
所以－9又<<，
①当0≤a<8时，0≤<4；
②当－6所以0<－<3，所以－3<<0.
由①②得－3<<4.
反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
跟踪训练3　已知1答案　－3解析　∵3∴1－4又<<，∴<<，即<<2.
1．知识清单：
(1)等式的性质．
(2)不等式的性质及其应用．
2．方法归纳：作差比较法、赋值法、不等式性质法．
3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．
1．与a>b等价的不等式是(　　)
A．|a|>|b| B．a2>b2
C.>1 D．a3>b3
答案　D
解析　可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，
满足a>b，但|a|<|b|，a2故A，B，C都不正确．
2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．a>b ac2>bc2 B.> a>b
C. > D. >
答案　C
解析　当c＝0时，A不成立；
当c<0时，B不成立；
ab<0，a>b <，即>，C成立；
同理可证D不成立．
3．若1A．－3C．－3答案　C
解析　∵－4∴－4<－|b|≤0.
又∵14．用不等号“>”或“<”填空：
(1)如果a>b，c(2)如果a>b>0，c(3)如果a>b>0，那么________；
(4)如果a>b>c>0，那么________.
答案　(1)>　(2)<　(3)<　(4)<
1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中一定正确的是(　　)
A.< B.<
C．a2|b|
答案　A
解析　∵a<0，b>0，∴<0，>0，∴<.
2．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)
A．若a>b，c>d，则a＋b>c＋d
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，c
D．若a2>b2，则－a<－b
答案　B
解析　选项A，取a＝1，b＝0，c＝2，d＝1，则a＋b选项B，因为a>－b，所以－a选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0选项D，当a＝－1，b＝0时不成立．
3．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
答案　D
解析　本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，
则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，a＋b＝－1<0.故A，B，C错误，D正确．
4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小是(　　)
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
答案　C
5．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
6．(多选)给出下列命题，其中正确的命题是(　　)
A．a＞b a2b＞ab2 B．a>|b| a2>b2
C．a>b a3>b3 D．|a|>b a2>b2
答案　BC
解析　对于A，当a＞0，b＜0时不成立；选项B一定成立；
对于C，当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·>0成立；
对于D，当b<0时，不一定成立．如|2|>－3，但22<(－3)2.
7．设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，则ab＜ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
答案　1,0，－1(答案不唯一)
解析　若c＜b＜a且ac＜0，
则a＞0，c＜0，
则取a＝1，b＝0，c＝－1，
则满足条件ac＜0，但ab＜ac不成立．
8．若A＝{y|y≥1}，且a∈A，若m＝，则m的取值范围是________．
答案　0＜m≤
解析　若A＝{y|y≥1}，且a∈A，则a≥1，
所以a＋2≥3，所以0＜≤，即0＜m≤.
9．已知1＜a＜2,2＜b＜4，求3a－b与的取值范围．
解　因为1＜a＜2,2＜b＜4，
所以3＜3a＜6，－4＜－b＜－2，＜＜，
所以－1＜3a－b＜4，＜＜1.
10．下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因．
甲：因为－6所以－2乙：因为2又因为－6丙：因为2又因为－2所以－3解　甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的．
乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形．丙同学将211．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
12．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
答案　C
解析　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，
所以3x>x＋y＋z＝0,3z所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz.
13．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
答案　A
解析　∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，
∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.
∴b又a＋c综上可得，d>b>a>c.
14．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.
若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
答案　3
解析　①② ③，③① ②(证明略)
由②得＞0，又由③得bc－ad＞0，
所以ab＞0 ①.
所以可以组成3个正确命题．
15．某高校在2022年9月初共有m名在校学生，其中有n(m＞n)名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例____________(选填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论据用数学形式表达为 ________________________________.
答案　变大　若m＞n＞0，b＞0，则＜
解析　由题意补录了b名学生，新生人数增多，而原有学生人数不变，由此知，新生所占的比例必增大．
由于补录后新生人数变为n＋b，在校生人数增加为m＋b，
故所对应的不等式模型是＜，
即若m＞n＞0，b＞0，则＜.
16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：
(1)该函数图象过原点；
(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4，
求当x＝－2时，y的取值范围．
解　∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过原点，
∴c＝0，∴y＝ax2＋bx.
又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①
当x＝1时，3≤a＋b≤4，②
∴当x＝－2时，y＝4a－2b.
设存在实数m，n，
使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
∴
解得m＝1，n＝3，
∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，
∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.
即6≤4a－2b≤10，
故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.第1课时　不等关系与不等式
学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小．
导语
大家知道，相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系．比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；再比如说：新冠疫苗接种速度的快与慢的比较．正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．
一、用不等式(组)表示不等关系
问题1　生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
提示　①最低限速50 km/h，v≥50.②限制质量10 t，0<ω≤10.③限制高度3.5 m,0问题2　你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1)某社会团体成员要求，男性成员人数m应不多于50人，女性成员人数n不少于10人．
(2)某大学生应聘某公司，要求月薪不低于3 000；
(3)若小明的身高为x，小华的身高为y，小明比小华矮；
(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图)．
提示　(1)(2)设月薪为x元，则x≥3 000.(3)x知识梳理
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号语言 > < ≥ ≤
注意点：
(1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致．
(2)用适当的不等号连接．
(3)多个不等关系用不等式组表示．
例1　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．
解　设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
则
反思感悟　用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．
(2)适当地设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．
跟踪训练1　用不等式或不等式组表示下面的不等关系．
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；
(2)a与b的和是非负实数；
(3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍．
解　(1)0(3)
二、作差法比较大小
问题3　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
知识梳理
基本事实
依据 a>b a－b>0； a＝b a－b＝0； a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
注意点：
(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．
(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小．
(3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小．
例2　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝2＋.
∵2≥0，
∴2＋≥>0，
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，
∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
反思感悟　作差法比较两个实数大小的基本步骤
跟踪训练2　比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小．
解　因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)
＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，
所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6)．
三、重要不等式
问题4　如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？
提示　正方形的边长为.这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab.
于是就有a2＋b2≥2ab.
证明a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋b2－2ab≥0.
因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
例3　已知a>0，b>0.
(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；
(2)求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.
证明　(1)因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋3b2≥2b(a＋b)．
(2)因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，
因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
反思感悟　比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明．
跟踪训练3　设a＞0，b＞0，求证：a5＋b5≥a4b＋ab4.
证明　a5＋b5－(a4b＋ab4)
＝(a5－a4b)＋(b5－ab4)
＝a4(a－b)＋b4(b－a)
＝(a4－b4)(a－b)
＝(a2＋b2)(a2－b2)(a－b)
＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)2，
因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，a2＋b2＞0，(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
所以(a2＋b2)(a＋b)(a－b)2≥0.
所以a5＋b5≥a4b＋ab4.
1．知识清单：
(1)用不等式(组)表示不等关系．
(2)作差法比较大小．
(3)重要不等式．
2．方法归纳：作差法．
3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．
1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　)
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
答案　A
解析　v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m.
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是(　　)
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
答案　D
解析　依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M答案　A
解析　∵M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，∴M>N.
4．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)
答案　>
解析　因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，
又a>b，所以(a－b)2>0.
1．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(　　)
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C．a＋b≤0 D．a＋b≥0
答案　C
解析　a与b的和是非正数，即a＋b≤0.
2．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400
答案　B
3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
4．若x∈R，y∈R，则(　　)
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
答案　A
解析　因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1
＝(x－y)2＋1>0，
所以x2＋y2>2xy－1.
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．小明的体重x kg，小华的体重y kg，则小明比小华重表示为“x>y”
C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
答案　BCD
解析　对于A，x应满足x≤2 000，故A错；B，C，D正确．
6．已知0A．MN C．M＝N D．M≥N
答案　B
解析　∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，
∴M>N.
7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为________________________________________________________________________．
答案　499≤x≤501
解析　∵某商品包装上标有重量500±1克，
若用x表示商品的重量，则－1≤x－500≤1，
∴499≤x≤501.
8．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
答案　x解析　因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
所以x9．《铁路旅行常识》规定：旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……
设旅客身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系．
文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
解　由题意可获取以下主要信息：
(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；
(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．
身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，
身高超过1.5米可表示为h>1.5，
身高不足1.2米可表示为h<1.2，
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示．
文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示 1.2≤h≤1.5 h>1.5 h<1.2 P≤160
10．一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．
解　由题意知解得＜a＜.
又a∈N*，∴a＝5，
∴b＝7，∴所求的两位数为57.
11．足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满．则A队有出租车(　　)
A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆
答案　B
解析　设A队有出租车x辆，
则B队有出租车(x＋3)辆，由题意，得
解得
∴而x为正整数，故x＝10.
12．已知a1>1，a2>1，设P＝＋，Q＝＋1，则P与Q的大小关系为(　　)
A．P>Q B．PC．P＝Q D．不确定
答案　B
解析　P－Q＝－＝－＝＝.
因为a1>1，a2>1，
所以a1－1>0,1－a2<0，a1a2>0，
所以P－Q＝<0，所以P13．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　)
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
答案　A
解析　根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.
14．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值．
答案　2　±1
解析　根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立．
15．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为(　　)
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
答案　C
解析　依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子(78－x)根，每根单价为(m－1)钱，
所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，
即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)，
因为0≤x≤78，
所以 ，
根据选项m＝8，x＝30，
所以买大竹子30根，每根8钱．
16．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．
解　设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，得解得∵x∈N*，∴x＝10,11或12，学生人数分别为59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．