2021-2022学年安徽省滁州市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市高二（下）期末数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
已知函数，为的导函数，则的值为( )
A. B. C. D.
随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
下列命题中正确的为( )
散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；
经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个变量线性相关性越弱；
同一组样本数据中，决定系数越大的模型拟合效果越好
A. B. C. D.
某学校安排名老师到学校的两个入口处进行防疫值班，每个入口至少需要人，每人都必须参加，则安排的方法总数为( )
A. B. C. D.
对于变量，，经随机抽样获得一组具有线性相关关系的数据为：，，，，，其经验回归方程为若，，，，成等差数列，则的值为( )
A. B. C. D.
我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
近几年江苏卫视综艺节目最强大脑收视火热，其中在一次游戏比赛中，两位选手要从人脸识别、声音识别、数字华容道、排序算法、俄罗斯方块、扫雷、九宫图、冲出迷宫、数独这种游戏中选择一种作为自己的游戏项目，则两位选手选择不同游戏项目的概率是( )
A. B. C. D.
三棱柱中，为棱的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
在的展开式中，常数项是( )
A. B. C. D.
已知随机变量的分布列为
则随机变量的方差的最大值为( )
A. B. C. D.
已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
在等比数列中，，，则等于______．
某棉纺厂为检测生产的棉花质量，从一批棉花中随机抽取了根棉花纤维测量它们的长度棉花纤维的长度是棉花质量的一个重要指标，所测得数据都在区间单位：中，其频率分布直方图如图所示，现从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维数量为，则的均值为______．
如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．
已知函数若关于的方程恰好有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组随机抽取了高二年级名学生，对他们的数学期中测试成绩和使用手机情况进行了调查，并制成下面的列联表：
手机使用情况 成绩 合计
及格 不及格
很少使用手机
经常使用手机
合计
参考公式：，其中．
附表：
试根据小概率值的独立性检验，分析经常使用手机是否对数学学习成绩有影响；
现要从这名同学中随机抽取名同学进行家访，已知“他她的这次数学期中测试成绩不及格”的条件下，求“他她经常使用手机”的概率．
已知函数，若在点处的切线方程为．
求，的值；
求函数在上的最大值．
如图，在多面体中，平面，，且，，，是边长为的正三角形，是的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
随着现代化进程的不断推进，作为可持续发展代表之一的新能源汽车行业在近几年飞速崛起．某新能源汽车零部件工厂统计了某天甲、乙两组工人每组人生产型工件的个数，如表所示：
甲组
乙组
若分别从甲、乙两组工人中各抽取一人，求被抽取到的两人这天生产型工件个数均不低于的概率；
从这天甲、乙两组工人生产型工件个数不低于的工人中随机抽出人进行质量评估，记这人中乙组工人数为，求的分布列和数学期望．
已知抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点．
求抛物线的标准方程；
已知为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
在的条件下求面积的最小值．
已知函数．
讨论函数的单调性；
若有两个极值点，，且，当时，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
，
故选：．
直接利用导数的定义，即可解出．
本题考查了导数的概念，学生的数学运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：随机变量，，
，，
，
故选：．
根据正态分布的对称性得出，，从而得出答案．
本题考查了正态分布的概率计算，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：对于，散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系，故正确；
对于，回归直线也可能不过任何一个点，故错误；
对于，线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个变量线性相关性越强，故错误；
对于，同一组样本数据中，决定系数越大的模型拟合效果越好，故正确．
故选：．
根据变量间的相关系数，一一判断即可．
本题考查变量间的相关系数，属于基础题、
4.【答案】
【解析】解：分成一组人，另一组人，有种分法；
每组人，有种分法，
然后再将小组分配到门卫，共有种，
故选：．
先对名老师进行分组，然后在进行分配，即可得解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，考查了运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
经验回归方程为，
，
，，，，成等差数列，
．
故选：．
根据已知条件，结合线性回归方程和等差中项的性质，即可求解．
本题主要考查线性回归方程和等差中项的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设甲，乙每天织布分别记为数列，，
由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，
故，
即，
经检验时符合题意．
故选：．
由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得，两位选手选择不同游戏项目的概率是．
故选：．
根据古典概型公式可解决此题．
本题考查古典概型应用，考查数学运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，求解即可．
本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：展开式的通项为：，
令，得，
所以常数项为：．
故选：．
利用二项式定理的展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
则，
当，有最大值为．
故选：．
由随机变量的分布列，求出的值，并根据二次函数的性质求出最大值．
本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及二次函数的性质，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由双曲线知渐近线方程为，
又双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，，双曲线方程为，
设，，
，，
，
又弦的中点为，
，，设，
，解得，，解得，
所以双曲线的方程为，
由圆的方程可得，
圆心为，半径为，
．
当且仅当，，三点共线时取等号．
故选：．
由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．
本题考查点差法求双曲线的方程，考查双曲线的性质，考查最小距离的问题，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，得，即，即，
设，则，
又函数在上单调递增，则，
，
设
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
，则，
实数的取值范围为．
故选：．
原不等式可转化为，设，则，结合函数的单调性，进一步可得，令，求出函数在上的最大值即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查同构法的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为等比数列中，，，
故，
则．
故答案为：．
由已知结合等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：长度超过的棉花纤维共有：根，现从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维的概率为，
从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维数量为，则的可能取值为，，，，
，，，．
．
故答案为：．
根据题意，计算出样本中长度超过的棉花纤维的数量，求出从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维的概率，再根据的可能取值为，，，，求期望即可．
本题考查离散型随机变量的均值，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意知，，
，，，
，，
解得．
故答案为：．
根据二项式系数的性质求出，，代入，能求出．
本题考查杨辉三角、二项式系数的性质、组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，．
在上单调递减，在上单调递增．
时，取得极小值．
当时，．
根据图像的平移变化可以作出的函数图像如图所示：
设的两根为，．
由恰好有四个不相等的实数根．
则方程的一根在区间上，另一根在区间上．
不妨设，．
根据二次函数零点分布可得：，即．
故的取值范围为．
故答案为：．
判断函数的单调性，作出的函数图像，根据方程恰好有四个不相等的实数根．
可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，根据二次函数零点分布可得，解不等式组即可求解．
本题主要考查函数的零点和函数的图像，属于难题．
17.【答案】解：由列联表可知，
，
根据小概率值的独立性检验，认为经常使用手机对数学学习成绩有影响；
事件为数学成绩不及格，则，
事件为经常使用手机，则，
．
【解析】根据独立性检验的概念计算即可；根据条件概率公式计算即可．
本题考查独立性检验和条件概率，是基础题．
18.【答案】解：，
由题意得，
所以，；
由得，，
因为，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，
又，，
故函数在上的最大值为．
【解析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解，；
结合导数分析函数的单调性，然后结合单调性与最值关系可求函数的最大值．
本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：证明：以为坐标原点，所在直线为轴，
在平面中，过作的垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，且平面，平面；
平面的法向量，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则二面角的余弦值为：
．
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；
求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查线面平行的判定与性质、二面角的定义、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：设事件为“被抽取到的两人这天生产型工件个数均不低于”，
则由表格可得，甲、乙组工人每组人中，生产型工件个数均不低于的人数分别为和，
，
故被抽取到的两人这天生产型工件个数均不低于的概率为；
依题意，甲、乙组工人每组人中，生产型工件个数均不低于的人数分别为和，所以所有可能的取值为，，，，
则，，，，
所以的分布列为

所以．
【解析】根据题意，分别找出甲、乙组工人每组人中，生产型工件个数均不低于的人数，再根据概率公式求解即可；
根据题意，所有可能的取值为，，，，分别计算对应概率，写出分布列和期望即可．
本题考查离散型随机变量及其分布列，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可得，可得，
所以抛物线的方程为：；
由题意直线的斜率显然存在，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，，即，
且，，
所以，解得，
所以直线的方程为，
所以直线恒过定点；
由可得直线的方程为，
即，所以到直线的距离，
由可得，，
所以，当时取等号，
所以面积的最小值为．
【解析】由抛物线的准线与轴的交点坐标可得的值，求出抛物线的方程；
设直线的方程，与抛物线的方程联立，求出两根之积，求出的表达式，由题意可得参数的值，即求出直线恒过的定点的坐标；
由可得弦长的表达式及点到直线的距离，代入三角形的面积公式，由直线的斜率的范围可得面积的最小值．
本题考查抛物线的方程的求法及直线与抛物线的综合应用，直线恒过定点的求法，数量积的运算性质的应用，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域为，
，令该函数与同号，
当，即时，在上恒成立，故此时是增函数；
当，即时，有两个正根，，或，显然，
此时的单调递增区间为，，单调递减期间为；
同理当时，在上恒成立，故此时是增函数；
综上可知：当时，是增函数；时，的两根为：，或，
此时的单调递增区间为，，单调递减期间为
由知，，再令
当，的两个极值点为的两个互异实根，，
且，，则，即，
显然，由整理得，解得，且，
而，
将代入上式整理得，再将代入上式得：
，，且，
令，，
在上恒成立，故在上单调递减，
，，且，
即的取值范围为
【解析】求出导数，然后讨论在上的符号即可；
求出导数的两个根，并结合韦达定理找到根与系数之间的关系，然后将表示为关于的函数，再求值域即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及函数的值域问题，属于难题．
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