3.1.1 函数的概念(一)
学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域．
导语
请同学们阅读课本75页《阅读与思考》(大约3分钟)，大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现：函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西，它只是一个名称，它就在我们身边，比如路程随时间的变化而变化；一天中温度随时间的变化而变化；天宫二号在发射过程中，上升的高度随时间的变化而变化，可以说这种变量关系无处不在，而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美．
一、函数的概念
问题1 阅读课本60页的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？
提示 它们有相同的解析式，也就是对应关系．但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同．
问题2 请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4，它们分别是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别．
提示 是函数．由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象．
问题3 通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？
提示 不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系．共同点：①都包含两个非空的实数集，分别用A，B来表示；②两个实数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．
知识梳理
函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
注意点：
(1)A，B是非空的实数集．
(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．
(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．
例1 (1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
答案 AD
解析 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．
(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列五个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①中，因为在集合M中当1
②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②可以表示；
③中，x＝2对应元素y＝3 N，所以③不能表示；
④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不能表示；
⑤中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以⑤可以表示．
反思感悟 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
跟踪训练1 已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x＋1
C．y＝x－1 D．y＝|x|.
答案 D
解析 只有y＝|x|是符合题意的对应关系．
二、函数的三要素
问题4 初中我们学习过哪些函数？
提示 一次函数、二次函数和反比例函数．
问题5 你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？
提示 一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是；当a<0时，它的值域是，对应关系实际上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)＝(k≠0)．
例2 (1) 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为 __________________，值域为________．
答案 {x|－2≤x≤4或5≤x≤8}
{y|－4≤y≤3}
解析 根据y＝f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}．
(2)若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1,0,1}，则函数的值域为________．
答案 {0,1}
解析 由x∈{－1,0,1}，代入f(x)＝x2，
解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，
根据集合的互异性，函数的值域为{0,1}．
反思感悟 关于函数的三要素
(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围．
(2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围．
(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y.
跟踪训练2 函数y＝f(x)＝的值域是( )
A．R B．{y|－1≤y≤1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
答案 D
三、构建问题情境
例3 已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝2x＋；
(3)f(x)＝.
解 (1)设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝.
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽.
(2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋.
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋.
(3)设矩形的长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)＝.
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥2}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长.
反思感悟 构建问题情境的步骤
(1)综合考虑构建具体的实际问题；
(2)赋予每个变量具体的实际意义；
(3)根据变量关系，设计出所求的实际问题．
跟踪训练3 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝2来描述．
解 某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍，设投资额为x，利润为y，那么y＝2.其中x的取值范围A＝{x|x≥0}，y的取值范围B＝{y|y≥0}，对应关系f把每一笔投资对应到唯一确定的利润2.
1．知识清单：
(1)函数的概念．
(2)函数的三要素．
(3)构建问题情境．
2．方法归纳：定义法、图象法．
3．常见误区：函数概念的理解．
1．已知f(x)＝|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是( )
A．{－2,2} B．{－2}
C．{－1,2} D．{2}
答案 C
解析 若集合A＝{－1,2}，则－1∈A，但|－1|＝1 B，故选C.
2．下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
答案 B
解析 A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数；D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．
3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 022的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．以上答案都不对
答案 C
4．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为________．
答案 {－2,0,4}
1．(多选)对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
A．y是x的函数
B．对于不同的x值，y值也不同
C．函数是一种对应，是多对一或一对一
D．函数可以是一对多
答案 AC
解析 由函数的定义知，y是x的函数，故A正确；对于不同的x值，y值可以相同，例如y＝|x|，当x＝1，－1时，y值均是1，故B错误；由函数的定义知，函数是一种对应，是多对一或一对一，不是一对多，故C正确，D错误．
2．下列图形中不是函数图象的是( )
答案 A
解析 A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义．
3．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
答案 ABC
解析 根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．
4．托马斯说：“函数是近代数学的思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{－1,1,2}到集合N＝{1,2,4}的函数的是( )
A．y＝2x B．y＝x＋1
C．y＝|x| D．y＝x2＋1
答案 C
解析 根据题意，可知函数的定义域为M＝{－1,1,2}，
对于A选项，按照对应的x→2x，函数的值域为E＝{－2,2,4} N，A选项错误；
对于B选项，按照对应的x→x＋1，函数的值域为E＝{0,2,3} N，B选项错误；
对于C选项，按照对应的x→|x|，函数的值域为E＝{1,2} N，C选项正确；
对于D选项，按照对应的x→x2＋1，函数的值域为E＝{2,5} N，D选项错误．
5．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1,1} D．{－1,0}
答案 D
解析 若集合A＝{－1,0}，则0∈A，但02 B.
6．(多选)下列四种说法中，正确的有( )
A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
答案 ACD
解析 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．
7．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为：y________(填“是”或“不是”)n的函数，理由是__________________________________________．
答案 是 每一个圆周率上的数字n都对应唯一的y
解析 根据函数的定义可知，每一个圆周率上的数字n都对应唯一的y，所以y是n的函数．
8．如图，表示函数关系的是________．(填序号)
答案 ①②④
解析 由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数关系．
9．根据图中的函数图象，求出函数的定义域和值域．
解 图(1)，定义域为{x|0≤x<3}，值域为{y|0≤y≤1或y＝2}；
图(2)，定义域为{x|x≥－2}，值域为{y|y≥0}；
图(3)，定义域为R，值域为{y|－1≤y≤1}．
10．判断下列对应关系是否为从A到B的函数：A＝B＝N*，对任意的x∈A，x→|x－3|.
解 考虑输入值为3时，即当x＝3时输出值y由y＝|x－3|给出，得y＝0.
这个输入值没有输出值与之对应，
所以x→|x－3|(y＝|x－3|)不是从A到B的函数．
11．已知集合A＝{1,2，k}，B＝{4,7,10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 根据对应关系为y＝3x＋1,3×1＋1＝4,3×2＋1＝7，由题意可得3×k＋1＝3k＋1＝10，所以k＝3.
12．若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数y＝x2，x∈{－1,0,1,2}为同族函数的有( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
答案 D
解析 由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0,1,4}，定义域中0是肯定有的，正、负1至少含有一个，正、负2至少含有一个，它的定义域可以是{0,1,2}，{0,1，－2}，{0，－1,2}，{0，－1，－2}，{0,1，－2,2}，{0，－1，－2,2}，{0,1，－1，－2}，{0,1，－1,2，－2}，共有8种不同的情况．
13．下列构建的问题情境中的变量关系不可以用同一个解析式来描述的是( )
A．某商品的售价为2(单位：元/件)，销量为x(单位：件)，销售额为y(单位：元)，那么y＝2x.其中，x的取值范围是A＝N，y的取值范围是B＝.对应关系f把商品的每一个销量x，对应到唯一确定的销售额2x
B．把y＝2x(x∈N)看成是一次函数，那么它的定义域是N，值域是B＝.对应关系f把定义域中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数2x
C．某物体做匀速运动，速度为2(单位：米/秒)，运动时间为x(单位：秒)，路程为y(单位：米)，那么y＝2x.其中，x的取值范围是A＝{x|x≥0}，y的取值范围是B＝{y|y≥0}．对应关系f把物体的每个运动时间x，对应到唯一确定的路程2x
D．某品牌汽车的装货量为2(单位：吨/台)，汽车数量为t(单位：台)，运载量为z(单位：吨)，那么z＝2t，其中，t的取值范围是A＝N，z的取值范围是B＝.对应关系f把每一个汽车数量t，对应到唯一确定的运载量2t
答案 C
14．已知集合A＝B＝{0,1,2,3}，f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有________种．
答案 15
解析 由函数的定义知，此函数可分为四类：
若函数是四对一对应，则值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4种情况；
若函数是三对一对应，则值域有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共6种情况；
若函数是二对一对应，则值域有{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，共4种情况；
若函数是一对一对应，则值域为{0,1,2,3}，共1种情况．
综上，该函数的值域的不同情况有4＋6＋4＋1＝15(种)．
15．已知函数f(x)的定义域为A＝{1,2,3,4}，值域为B＝{7,8,9}，且对任意的x答案 3
解析 由题意知，当1,2对应7时，3对应8,4对应9；
当1对应7时，2,3对应8,4对应9；
当1对应7时，2对应8,3,4对应9，所以一共有3个．
16．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝(x∈{x|x>0})来描述．
解 直角三角形的面积为5，设一条直角边长为x，另一条直角边长为y，那么y＝.其中，x的取值范围是A＝{x|x>0}，y的取值范围是B＝{y|y>0}．对应关系f把每一个直角三角形的一条直角边长x，对应到唯一确定的另一条直角边长.3.1.1 函数的概念(二)
学习目标 1.会判断两个函数是否为同一个函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域与函数值．
一、区间的概念
知识梳理
设a，b∈R，且a区间 数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
注意点：
(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆．
(2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
(3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立．
(4)∞是一个符号，而不是一个数．
例1 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1(4){x|0解 (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．
(2){x|x<0}＝(－∞，0)．
(3){x|－1(4){x|0反思感悟 用区间表示数集时要注意：
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
跟踪训练1 (1)集合{x|－2答案 (－2,0)∪(0,2]
解析 {x|－2(2)已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．
答案 (－3,2)
解析 由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，
解得－3所以实数a的取值范围是(－3,2)．
二、求函数的定义域与值
例2 (1)函数f(x)＝－的定义域为________．
答案 [1，＋∞)
解析 要使f(x)有意义，则解得x≥1，
所以f(x)的定义域为[1，＋∞)．
(2)已知函数f(x)＝x＋，则f(2)＝______；当a≠－1时，f(a＋1)＝____________.
答案 a＋1＋
解析 f(2)＝2＋＝.当a≠－1时，a＋1≠0，
所以f(a＋1)＝a＋1＋.
反思感悟 (1)求函数的定义域应关注三点
①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：(ⅰ)分式的分母不为0；(ⅱ)偶次根式的被开方数非负；(ⅲ)y＝x0要求x≠0.
②不对解析式化简变形，以免定义域变化．
③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(2)函数求值的方法
①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)y＝3－x；
(2)y＝；
(3)y＝；
(4)y＝.
解 (1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．
(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5，且x≠±3，
所以函数y＝的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．
(4)要使函数有意义，则
即
解不等式组得－1≤x<1.
所以函数y＝的定义域为{x|－1≤x<1}．
三、判断是否为同一个函数
问题1 构成函数的要素有哪些？
提示 定义域、对应关系和值域．
问题2 结合函数的定义，如何才能确定一个函数？
提示 有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定．
例3 下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝；
④f(x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________(填序号)．
答案 ③⑤
解析 ①不是同一个函数，定义域不同，
f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R.
②不是同一个函数，对应关系不同，
f(x)＝，g(x)＝.
③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
④不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.
⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
反思感悟 判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
跟踪训练3 下列各组函数中是同一个函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
答案 B
解析 A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误．
四、求抽象函数的定义域
例4 (1)函数y＝f(x)的定义域是[－1,3]，则f(2x＋1)的定义域为________．
答案 [－1,1]
解析 令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，
所以f(2x＋1)的定义域为[－1,1]．
(2)若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2,4]，则y＝f(x)的定义域是( )
A．[－1,1] B．[－5,13]
C．[－5,1] D．[－1,13]
答案 B
解析 由题意知，－2≤x≤4，所以－5≤3x＋1≤13，
所以y＝f(x)的定义域是[－5,13]．
反思感悟 抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域．
跟踪训练4 已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．{x|－1≤x≤9} B．{x|－3≤x≤7}
C．{x|－2≤x≤1} D.
答案 D
解析 ∵函数y＝f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，
∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤2}．
∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤.
即函数f(2x＋1)的定义域为.
1．知识清单：
(1)区间的表示．
(2)求简单函数的定义域和函数值．
(3)判断是否为同一个函数．
(4)求抽象函数的定义域．
2．方法归纳：整体代换．
3．常见误区：不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域．
1．已知区间[2a－1,11]，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，6) B．(6，＋∞)
C．(1,6) D．(－1,6)
答案 A
解析 由题意可知，2a－1<11，解得a<6.
2．已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一个函数的是( )
A．没有 B．仅有②
C．②④ D．②③④
答案 C
解析 对于①，定义域不同；对于③，对应关系不同；对于②④，定义域与对应关系都相同．
3．已知函数f(x)＝，则f 等于( )
A. B. C．a D．3a
答案 D
解析 f ＝＝3a.
4．函数y＝的定义域是______________．
答案 {x|x≥－1且x≠1}
解析 由题意可得
所以x≥－1且x≠1，
故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．
1．区间(0,1]等于( )
A．{0,1} B．{(0,1]}
C．{x|0答案 C
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 要使f(x)有意义，只需满足
即x≤且x≠0.
3．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B．3a2－1 C．6a2－2 D．6a2
答案 A
解析 f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
4．(多选)下列各组函数为同一个函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝
B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4)
答案 CD
解析 A．这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
B．这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
C．这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；
D．这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数．
5．若f(x)＝2x－1，则f(f(x))等于( )
A．2x－1 B．4x－2
C．4x－3 D．2x－3
答案 C
解析 f(f(x))＝f(2x－1)＝2(2x－1)－1＝4x－3.
6．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f ＋f(x－2)的定义域为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(－1,1)
答案 B
解析 由题意知
解得17．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围为________．
答案 (1,2)
解析 由区间的定义知解得18．函数f(x)＝的定义域为________．
答案 [3,4)∪(4，＋∞)
解析 要使函数有意义，则
即即
∴x≥3且x≠4，故函数f(x)的定义域为[3,4)∪(4，＋∞)．
9．已知f(x)＝，g(x)＝x2＋1，x∈R.
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值．
解 (1)f(2)＝＝，g(2)＝22＋1＝5.
(2)f(g(3))＝f(32＋1)＝f(10)＝＝.
10．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋＋4；
(2)f(x)＝.
解 (1)要使函数式有意义，必须满足
即解得≤x≤，
所以函数的定义域为.
(2)要使函数式有意义，必须满足
即解得
所以函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}．
11．已知f(x)＝ax3＋bx＋1，则f(1)＋f(－1)的值是( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 由题意知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，
可得f(1)＝a＋b＋1，f(－1)＝－a－b＋1，所以f(1)＋f(－1)＝2.
12．下列四组函数中表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝x
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝，g(x)＝|x|
D．f(x)＝0，g(x)＝＋
答案 C
解析 ∵f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，
∴A选项中两个函数不表示同一个函数；
∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2，两个函数的对应关系不一致，
∴B选项中两个函数不表示同一个函数；
∵f(x)＝＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，
∴C选项中两个函数表示同一个函数；
∵f(x)＝0，g(x)＝＋＝0(x＝1)，两个函数的定义域不一致，
∴D选项中两个函数不表示同一个函数．
13．已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(x)的定义域是( )
A. B．[－3,3]
C．[－1,5] D．以上都不对
答案 B
解析 由题意知－1≤x≤2，所以－3≤－2x＋1≤3，所以y＝f(x)的定义域为[－3,3]．
14．函数y＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
答案 [0,4]
解析 当a＝0时，1≥0恒成立，所以a＝0，符合题意；
当a≠0时，由题意知 0所以a的取值范围为[0,4]．
15．已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝(x≠0)，则f ＝________.
答案 15
解析 g(x)＝，即1－2x＝，则x＝，
代入f(g(x))＝(x≠0)，可得f ＝＝15.
16．已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．
(1)求f(0)和f(1)的值；
(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值．
解 (1)令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，
令x＝y＝1则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)令x＝2，y＝3，则f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b，
令x＝y＝6，则f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)，
∴f(36)＝2(a＋b)．