3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法(1)
学习目标 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域．
导语
如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于不同呈现出来的函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧．
一、函数的表示法
问题 结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出几种函数的表示方法？
提示 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
例1 中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数y＝f(x)吗？
解 函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，用解析法可将函数表示为
f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}．
列表法可将函数表示为
月饼数x 1 2 3 4 5 6
钱数y 6 12 18 24 30 36
图象法可将函数表示为
反思感悟 理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
解 用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．
用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
二、函数的图象
例2 作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
解 (1)当x∈[0,2]时，图象是一次函数y＝2x＋1的一部分，如图所示．
(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，如图所示．
(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分，如图所示．
反思感悟 作函数y＝f(x)图象的方法
(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．
跟踪训练2 作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解 (1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．
三、求简单函数的值域
例3 求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；
(3)y＝；
(4)y＝.
解 (1)∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，
∴y∈{3,5,7,9,11}．
∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，画函数图象如图所示，
由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2,11]．
(3)y＝＝2＋，故该函数是由反比例函数向上平移了2个单位长度得到的，故值域为.
(4)∵y＝＝＝3＋≠3，
∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
反思感悟 求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域．
(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
跟踪训练3 求下列函数的值域：
(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
(2)y＝－1.
解 (1)∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧，
∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升．
∴当x＝－5时，y＝－12，当x＝－2时，y＝3.
∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．
(2)因为≠0，所以－1≠－1，故函数y＝－1的值域为{y|y≠－1}．
1．知识清单：
(1)函数的表示法．
(2)函数的图象及其应用．
(3)求函数的值域．
2．方法归纳：观察法、配方法、换元法、分离常数法、数形结合法．
3．常见误区：求函数值域时忽略函数的定义域．
1. 函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是( )
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
答案 C
解析 由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
答案 A
解析 由对应关系y＝x2－2x得，
0→0,1→－1,2→0,3→3，
所以值域为{－1,0,3}．
3．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1] D．(0,1)
答案 C
解析 因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，
所以0<≤1，
所以函数的值域为(0,1]．
4．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝________.
x 1≤x<2 2 2
f(x) 1 2 3
答案 3
解析 ∵当2∴f(3)＝3.
1．购买某种饮料x瓶，所需钱数为y元．若每瓶2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( )
A．y＝2x
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})
D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
答案 D
解析 题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2，3,4}．
2．函数f(x)＝2x＋1，x∈[0,1]的值域是( )
A．[1,3] B．(1,3) C．[2,3] D．[0,2]
答案 A
解析 由f(x)＝2x＋1的图象知(图略)，图象整体是上升的，
当x∈[0,1]时，
f(0)＝1，f(1)＝3，
所以值域为[1,3]．
3．若集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{y|y＝－x2－2x}，则A∩B等于( )
A．(－1,1) B．[－1,1]
C．(－1,1] D．[－1,1)
答案 B
解析 集合A＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，
B＝{y|y＝－x2－2x}＝{y|y＝－(x＋1)2＋1}＝{y|y≤1}，
则A∩B＝[－1,1]．
4．李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )
答案 D
解析 由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D选项符合题意．
5．(多选)已知函数f(x＋1)＝x2－3x，且f(a)＝－2，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
答案 AB
解析 由x2－3x＝－2得x＝1或x＝2，所以a＝1＋1＝2或a＝1＋2＝3.
6．(多选)下列命题中是假命题的是( )
A．函数f(x)＝＋有意义
B．函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线
C．函数是其定义域到值域的对应关系
D．函数y＝x2(x≥0)的图象是一条曲线
答案 AB
解析 A选项，函数f(x)的定义域需满足x≥2且x≤1，不存在，A错；
B选项，函数y＝2x(x∈N)的图象是由离散的点组成的，B错；
C选项，函数是其定义域到值域的对应关系，C对；
D选项，函数y＝x2，x≥0的图象是抛物线的一部分，D对．
7．若A＝{y|y＝x2－2x＋2}，且a∈A，则的取值范围是________．
答案
解析 ∵A＝{y|y＝x2－2x＋2}＝{y|y＝(x－1)2＋1}＝{y|y≥1}，a∈A，则a≥1，
所以a＋2≥3，所以0＜≤.
8．已知函数f(x)的定义域是[0,1]，值域是[1,2]，则这样的函数可以是f(x)＝________.
答案 x＋1，x∈[0,1](答案不唯一)
解析 因为函数f(x)的定义域是[0,1]，值域是[1,2]，所以函数可以是f(x)＝x＋1，x∈[0,1]．
9．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝－4x＋5；(3)y＝x2－6x＋7.
解 (1)反比例函数y＝的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)一次函数y＝－4x＋5的图象如图所示，定义域为R，值域为R.
(3)二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞)．
10．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．
解 (1)列表法，列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
(2)图象法，画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系如图．
(3)解析法，参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为y＝50－10x，x∈{0,1,2,3,4,5}．
11．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水也不出水．
则正确论断的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，故①正确；从题干丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量也保持不变，故③错．
12．已知陈校长某日晨练时，行走的时间x与离家的直线距离y之间的函数图象如图，若用黑点表示陈校长家的位置，则陈校长晨练所走的路线可能是( )
答案 D
解析 由函数图象可知，在行走过程中，有一段路程离陈校长家距离不变，除D选项外，其余都不符合，故排除A，B，C.
13．已知函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4，0]，则实数m的取值范围是________．
答案 [2,4]
解析 函数f(x)＝x2－4x的部分图象及在[0，m]上的图象如图所示．
f(0)＝0，f(2)＝－4，f(4)＝0，
当x＞4时f(x)＞0；当0＜x＜4时，－4≤f(x)＜0，
所以为使函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4,0]，实数m的取值范围是[2,4]．
14．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当a答案 [－2,2]
解析 由题意知f(x)＝x2－2，
因为x∈(－2,2]，所以x2∈[0,4]，
所以f(x)∈[－2,2]．
15．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 A
解析 对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．
16．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解 存在．理由如下：
f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1图象的对称轴为x＝1，顶点为(1,1)且开口向上．
∵m>1，
∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有
∴m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝3或m＝1(舍)
∴存在实数m＝3满足条件．第2课时 函数的表示法(2)
学习目标 1.掌握利用图象的变换法作图.2.会求函数的解析式．
导语
同学们，函数的图象在整个函数的学习中占据重要的地位，因为它能带领我们直观的感受变量的发生、发展过程，就好像是有了“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，就能在我们的脑海里呈现出一幅优美的图象一样直接．
一、函数图象的画法
问题 除了我们所熟悉的“列表、描点、连线”作图，还有哪些作图的方法？
提示 平移变换、对称变换、翻折变换．
知识梳理
1．函数图象的平移变换
(1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象．
(2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象．
2．函数图象的对称变换
(1)y＝f(x)y＝－f(x)；
(2)y＝f(x)y＝f(－x)；
(3)y＝f(x)y＝－f(－x)．
3．函数图象的翻折变换
(1)y＝f(x)y＝|f(x)|；
(2)y＝f(x)y＝f(|x|)．
注意点：
(1)左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值．
(2)自变量的绝对值是左右翻折，函数值的绝对值是上下翻折．
(3)若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图象关于x＝a对称．
例1 画出函数y＝(x－2)2的图象．
解 方法一 列表：
x －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y 9 6.25 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9
描点、连线，图象如图所示．
方法二 图象变换法：先作出函数y＝x2的图象，然后把它向右平移2个单位长度，就得到函数y＝(x－2)2的图象，如图所示．
反思感悟 画函数图象的两种常见方法
(1)描点法：列表、描点、连线．
(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、对称变换、翻折变换等．
跟踪训练1 函数y＝的大致图象是( )
答案 A
解析 方法一 y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，当x＝0时，y＝0，排除B.
方法二 y＝＝1－，由函数的平移性质可知A正确．
二、求函数的解析式
例2 (1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．
(3)已知2f(x)＋f ＝x(x∈R且x≠0)，求f(x)的解析式．
解 (1)方法一 (换元法)令t＝＋1，
则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二 (配凑法)f(＋1)＝x＋2
＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
所以所以
所以f(x)＝x2－2x－1.
(3)由可知f(x)＝－(x≠0)．
反思感悟 求函数解析式的四种常用方法
(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
跟踪训练2 (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)．
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
解 (1)方法一 (配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2
＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
方法二 (换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
即f(x)＝x2－5x＋6.
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
(3)因为f(x)＋2f(－x)＝9x＋2，①
所以f(－x)＋2f(x)＝9(－x)＋2，②
②×2－①得3f(x)＝－27x＋2，
即f(x)＝－9x＋.
1．知识清单：
(1)函数的图象．
(2)求函数解析式．
2．方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法．
3．常见误区：求函数解析式时容易忽视定义域．
1．若二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式可能为( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
答案 D
解析 设f(x)＝(x－1)2＋c，由于点(0,0)在二次函数图象上，∴f(0)＝(0－1)2＋c＝0.∴c＝－1，∴f(x)＝(x－1)2－1.
2．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1
C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2
答案 A
解析 因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，
所以f(x)＝2x＋8.
3．已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，则函数f(x－3)的图象恒过点( )
A．(－2，－1) B．(4，－1)
C．(1，－4) D．(1，－2)
答案 B
解析 因为已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，所以当x－3＝1时，f(x－3)＝－1，即函数f(x－3)的图象恒过点(4，－1)．
4．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________________________________________________________________________．
答案 f(x)＝－x2－4x－1
解析 设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，
由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，
∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.
1．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
答案 B
解析 画出y＝|x|的图象，
则f(x)的图象由y＝|x|的图象向右平移一个单位长度得到．
2．二次函数y＝2x2的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为( )
A．y＝2(x＋1)2＋2 B．y＝2(x－1)2＋2
C．y＝2(x＋1)2－2 D．y＝2(x－1)2－2
答案 B
解析 将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y＝2x2＋2的图象，再向右平移1个单位长度得函数y＝22＋2的图象．
3．函数y＝－的图象是( )
答案 C
解析 方法一 先画y＝－的图象，然后再向右平移1个单位长度即可得到y＝－的图象．
方法二 根据函数y＝－的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)可排除B，D；再根据x＝2时，y＝－1<0，排除A.
4．(多选)已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论中正确的是( )
A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2
答案 BD
解析 f(2x－1)＝4x2＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故选项C错误，选项D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，选项B正确．
5．(多选)设f(x)＝，则下列结论正确的有( )
A．f(－x)＝－f(x) B．f ＝－f(x)
C．f ＝f(x) D．f(－x)＝f(x)
答案 BD
解析 因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝f(x)，故A错误，D正确；
f ＝＝＝－f(x)，f ＝＝＝－f(x)，故B正确，C错误．
6．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )
A．y＝－x2＋2x－3 B．y＝－x2＋2x＋3
C．y＝－x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x＋3
答案 C
解析 先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，得到抛物线y＝－[(－x)2＋2(－x)－3]，整理得y＝－x2＋2x＋3；
再将抛物线y＝－x2＋2x＋3关于y轴作轴对称变换，得到抛物线y＝－(－x)2＋2(－x)＋3，整理得y＝－x2－2x＋3，
所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
7．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为________．
答案 －1
解析 若a>0，即图象开口向上，故排除第1个和第3个图象，∵b>0，∴对称轴x＝－<0，故排除第2个和第4个图象；若a<0，即图象开口向下，∵b>0，∴对称轴x＝－>0，故函数图象为第3个图象．由图象知函数过点(0,0)，∴a2－1＝0，∴a＝－1(舍去a＝1)．
8．已知f ＝，那么f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝(x≠－1且x≠0)
解析 由f ＝可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠－1}．
令t＝，则f(t)＝＝，
故f(x)＝(x≠－1且x≠0)．
9．画出函数y＝的图象．
解 因为y＝＝2－，所以可先画出函数y＝－的大致图象(如图虚线所示)，
把所得图象向左平移1个单位长度，得到y＝－的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度就得到函数y＝的图象，如图实线所示．
10．(1)已知f ＝x2＋，求f(x)；
(2)已知函数f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3，求f(x)．
解 (1)∵f ＝x2＋＝2＋2，
令t＝x－，∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
(2)由解得
故f(x)＝x2－6x＋5.
11．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A．y＝20－2x
B．y＝20－2x(0C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5答案 D
解析 由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，
又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，
由y>0即20－2x>0得x<10，所以512．若y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点( )
A．(－2,4) B．(1,1) C．(4,4) D．(1,7)
答案 C
解析 由于点P(1,4)在y＝f(x＋3)的图象上，且y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度得到的，因此点P(1,4)也向右平移3个单位长度，变成(4,4)．
13．已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)－4x]＝5恒成立，则f(2)等于( )
A．1 B．3 C．7 D．9
答案 D
解析 因为函数f(x)是一次函数，且f[f(x)－4x]＝5恒成立，
令f(x)－4x＝t，则f(x)＝4x＋t，
所以f(t)＝4t＋t＝5，解得t＝1，
所以f(x)＝4x＋1，f(2)＝2×4＋1＝9.
14．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为_______________________________________________．
答案 F(x)＝3x＋(x≠0)
解析 设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0，且x≠0)，则F(x)＝kx＋.
由F＝16，F(1)＝8，得
解得所以F(x)＝3x＋(x≠0)．
15．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是________．
答案 －1
解析 由题意知f(x)为一次函数，
则满足所以a＝－1.
16．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．
解 由f(3)＝3，得b＝－3a－9.
由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，
所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，
所以a＝－6，b＝9.
所以f(x)＝x2－5x＋9.第3课时 分段函数
学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题．
导语
大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税问题等．这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴．
一、分段函数求值(范围)问题
问题 函数y＝是两个函数吗？
提示 是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同．
知识梳理
分段函数
(1)定义：像y＝这样的函数称为分段函数；
(2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系．
注意点：
分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集．
例1 已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(1)，f ；
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
解 (1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(1)＝3×1＋5＝8，f ＝f
＝f ＝3×＋5＝.
(2)因为a2＋2≥2，
所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，
所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，
解得a≥1或a≤－，
即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．
延伸探究
1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
解 当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，
即a＝2>－2，不符合题意，舍去；
当－2即a＝－∈(－2,2)，符合题意；
当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，
即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2.
2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围．
解 当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，
即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，
即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ .
综上可得，x的取值范围是(－∞，2)．
反思感悟 (1)分段函数求值的方法
①先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
跟踪训练1 (1)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是( )
A．[－4,2) B．[－4,2]
C．(0,2] D．(－4,2]
答案 B
解析 当x≤0时，f(x)≥－1即x＋1≥－1，解得x∈[－4,0]；
当x>0时，f(x)≥－1即－(x－1)2≥－1，
解得x∈[0,2]，
综上，x∈[－4,2]．
(2)函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
答案 －或10
解析 当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍去)；
当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.
综上可知，x0＝－或x0＝10.
二、分段函数的图象及应用
例2 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
解 (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
反思感悟 分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
跟踪训练2 函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的解析式．
解 当x<－1时，
设f(x)＝ax＋b，
则
解得
所以f(x)＝x＋2；
当－1≤x≤2时，设f(x)＝kx2，
由4＝k·22得k＝1，所以f(x)＝x2；
当x>2时，设f(x)＝cx＋d，
则
解得
所以f(x)＝2x，
所以f(x)＝
三、分段函数在实际问题中的应用
例3 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝180x＋100；当产量大于50万盒时，h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完．求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式．(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝固定成本＋生产中投入成本)
解 当产量小于或等于50万盒时，y＝200x－200－180x－100＝20x－300，
当产量大于50万盒时，y＝200x－200－x2－60x－3 500＝－x2＋140x－3 700，
故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为
y＝x∈N.
反思感悟 分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；
(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算)．
如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
解 设票价为y元，里程为x公里．
由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20]．
由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式．
y＝
函数图象如图．
1．知识清单：
(1)分段函数的概念及求值．
(2)分段函数的图象及应用．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合法．
3．常见误区：
(1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实．
(2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式．
1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
答案 B
2．著名的Dirichlet函数D(x)＝ 则D(D(x))等于( )
A．0 B．1
C. D.
答案 B
解析 ∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，
∴D＝1.
3．已知函数f(x)＝则f(2)等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 A
4．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．
答案
解析 当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1，舍去；
当－11．设函数f(x)＝则f(3)等于( )
A. B．3 C. D.
答案 C
2．下列图象是函数y＝x|x|的图象的是( )
答案 D
解析 函数y＝x|x|＝
3．(多选)设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a等于( )
A．－4 B．2 C．4 D．－2
答案 AB
解析 由或得a＝－4或a＝2.
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f(x)的定义域、值域分别是( )
A．[－5,0]∪[2,6)，[0,5]
B．[－5,6)，[0，＋∞)
C．[－5,0]∪[2,6)，[0，＋∞)
D．[－5，＋∞)，[2,5]
答案 C
解析 由图象可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，即[－5,0]∪[2,6)，
值域即为因变量的取值范围，即[0，＋∞)．
5．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是( )
答案 C
解析 由题意知f(x)＝
则f(x)的图象为C中图象所示．
6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
答案 A
解析 该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为
y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
7．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x件(x∈N*，x≤15)，设总购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是________．
答案 f(x)＝
解析 当x≤5，x∈N*时，f(x)＝5 000x；当58. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________________________________．
答案 f(x)＝
解析 由题图可知，图象是由两段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，
将(－1,0)，(0,1)代入解析式，
则∴即f(x)＝x＋1；
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，
将(1，－1)代入，则k＝－1，f(x)＝－x，
综上所述，f(x)＝
9．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
解 (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1；
当－2所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
10．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过3 000元的部分 3%
超过3 000元至12 000元的部分 10%
超过12 000元至25 000元的部分 20%
某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元．
(1)请写出y关于x的函数关系式；
(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？
解 (1)由题意，
得y＝
(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，
∴5 000解得x＝6 800.
故这名职工八月份的工资是6 800元．
11．设函数f(x)＝则f 的值为( )
A. B．－ C. D．18
答案 A
解析 当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，
则f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，
当x≤1时，f(x)＝1－x2，
∴f ＝f ＝1－＝.
12．设函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a的值为( )
A．±1 B．－1
C．－2或－1 D．±1或－2
答案 B
解析 由题意知，f(a)＝a，当a≥0时，有a－1＝a，解得a＝－2，不满足条件，舍去；当a<0时，有＝a，解得a＝1(舍去)或a＝－1.所以实数a的值是－1.
13．AQI表示空气质量指数，AQI的数值越小，表明空气质量越好，当AQI的数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日AQI的数值的统计数据，图中点A表示3月1日的AQI的数值为201.则下列叙述不正确的是( )
A．这12天中有6天空气质量为“优良”
B．这12天中空气质量最好的是3月9日
C．从3月9日到12日，空气质量越来越好
D．从3月4日到9日，空气质量越来越好
答案 C
14．已知函数f(x)＝则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为______________．
答案
解析 由题意可得或
由解得1≤x<；
由解得x<－或综上所述，使f(x)<2成立的x的值组成的集合为.
15．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为______________．
答案 {y|y≤2}
解析 当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
故y＝
根据函数解析式作出函数图象，如图所示．
由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}．
16．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回到家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00至12：00他骑了13千米．
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14 千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．