2021-2022学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（理科）
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某公司统计了近个月来手机的实际销量，如表所示：若千部与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法错误的是( )
月份
销量
A.
B. 与正相关
C. 与的相关系数为
D. 月份该手机商城的手机销量约为万部
若随机变量的分布列如表，则的值为( )
A. B. C. D.
记，当时，，则( )
A. B. C. D.
袋中有个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率( )
A. B. C. D.
已知函数为奇函数，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
现有本不同的书分给个人，其中甲本，另外两人人本，人本，则不同的分法有( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B.
C. D.
某公司会议室共有四行四列座椅，根据疫情防控要求：在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．则该会议室最多可容纳的就座人数为( )
A. B. C. D.
下列个不等式：； ；
； 能够成立的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知位同学之间共进行了次交换，则收到份纪念品的同学人数为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
设随机变量，若，则______．
函数在处的切线方程是______．
已知复数，复数满足，则的最小值为______．
有下列命题，其中真命题的序号有______．
是函数的极值点；
已知，是复数，则“”是“”的充分不必要条件；
小明在书写英语单词“”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是；
在上恰有两个不同的零点，则的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为：．
求的值；
求展开式中的系数．
最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地所小学，所初中和所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取所学校对学生进行视力调查．
若从所抽取的所学校中再随机抽取所学校进行问卷调查，求抽到的这所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；
若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率的数据如下表：
年级号
近视率
根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并根据方程预测六年级学生的近视率．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法，估计公式分别为，
参考数据：，．
已知曲线的直角坐标方程为，以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
求曲线的极坐标方程；
设射线：，：若，分别与曲线相交于异于原点的两点，，求的面积．
已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．
若，求函数的极值；
若函数在区间上单调，求的取值范围．
年月日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实双减背景下的作业管理，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查评价结果仅有“满意”、“不满意”，从所有参与评价的对象中随机抽取人进行调查，部分数据如表所示单位：人：
满意 不满意 合计
男性
女性
合计
请将列联表补充完整，能否有的把握认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？
若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取人，用随机变量表示被抽到的男性家长的人数，求的分布列；
在抽出的人中，从给出“满意”的家长中利用分层抽样的方法抽取人，从给出“不满意”的对象中抽取人．现从这人中，随机抽出人，用随机变量表示被抽到的给出“满意”的女性家长的人数．若随机变量的数学期望不小于，求的最大值．
参考公式：，其中．
参考数据：
已知，曲线在处切线过点．
求的值；
当时，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由表中数据可得，，
则，
，解得，故A正确，
，则与正相关，故B正确，
相关系数介于，故C错误，
当时，千部，即为万部，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及相关系数的定义，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的应用，考查转化能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由分布列的性质可得，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以，，，，，因为，所以故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
5.【答案】
【解析】解：袋中有个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，
则事件的基本事件个数为，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则事件的基本事件个数为，
则，
故选：．
先求出事件的基本事件个数，再求出事件的基本事件的个数，然后利用条件概率求解即可．
本题考查了条件概率及独立事件，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，当时，，此时有，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
所以，所以在上为增函数，
又由为奇函数，则在区间上也为增函数，
故在上为增函数；
，
解可得，
即不等式的解集为．
故选：．
根据题意，由函数的解析式求出其导数，分析可得在上为增函数，结合函数的奇偶性分析可得在上为增函数，则原不等式等价于，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
在本书中选出本，分给甲，有种分法，
将剩下的本分为组，有种分组方法，
将分好的组分给乙和丙，有种方法，
则有种分法，
故选：．
根据题意，分步进行分析：在本书中选出本，分给甲，将剩下的本分为组，将分好的组分给乙和丙，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，令，可得，
再令，可得，
，
故选：．
由题意，分别令、，可得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：考虑每一列最多有个人，故最多有个人；若人数为，则每一列的空位置必须在第二行或第三行，
则第一行和第四行就会出现连续的个人，不合题意；
又第一列安排个人，空出第二行，第二列安排个人，空出第三行，第三列安排个人，空出第一行和第四行，
第四列安排个人，空出第三行，如图所示，表示有人，则总共有人，满足题意；故最多可容纳的就坐人数为人，
故选：．
先判断得出最多人不合题意，再分析得出人符合题意，即可求解．
本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性、定积分的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用函数的单调性、定积分的性质即可判断得出．
【解答】
解：由于，，；
，，；
，；
令，，则，．
综上可得：正确的命题有个．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由题意，
设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人
设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人
综上所述，收到份纪念品的同学人数为或人
故选D．
由题意，，再分类讨论：仅有甲与乙，丙没交换纪念品；仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，即可得出收到份纪念品的同学人数．
本题考查组合知识，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：当时，二次函数，对称轴，
，，
当时，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
时，，
作出函数的图像如下：
函数有三个零点有三个根或共有三个根，
当，即时，有一个根，有一个，共两个根，
当，即时，有一个根，有两个，共三个根，
当，即时，有一个根，有三个，共四个根，
当，即时，有一个根，有两个，共三个根，
当，即时，有一个根，有两个，共三个根，
当，即时，有一个根，有一个，共两个根，
当，即时，无根，
若，有一个根，共一个根，
若，有两个根，共两个根，
若，有三个根，共三个根，
若，有两个根，共两个根，
若，有两个根，共两个根，
若，无根，共个根，
综上所述，的取值范围为，，
故选：．
分析函数的单调性，最值，作出的图像，函数有三个零点或共有三个根，结合图像，即可得出答案．
本题考查函数的零点，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：随机变量，且，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
，又，
函数在处的切线方程是．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：表示以为圆心，为半径的圆，
则的最小值转化为对应的点到圆心的距离减去圆的半径，即，
故的最小值为．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：函数在上为增函数，不存在极值点，故错误；
设，为实数，由“”，则，则，
由“”则，可得，或，无法得到，与为共轭复数，
故“”是“”的充分不必要条件．故正确；
先确定三个的位置，再把和插入其中，一共有几种插法．
当确定三个以后，共产生了个空位，即，
当和分别插入不同的两个空位时，共有种方法，
当和插入同一个空位时，共有种方法，
所以共有种插法，
又因为其中插对的情况只有一种，所以他写对这个单词的概率为，
即他写错的概率为，故正确；
令可得，令，则，
当时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则最大值为，
由，，
因为，
所以，
故当恰有两个不同的零点时，的取值范围是，故错误．
故答案为：．
对：根据次幂函数的图象和性质即可判断；
对：根据复数的模，以及充分条件与必要条件的定义即可判断．
对：先确定三个的位置，再把和插入其中，一共有几种插法，由此能求出他写错这个单词的概率．
对：将问题转化为交点问题，利用导数即可求解．
本题考查命题真假的判断，涉及函数极值的判断，充要条件的判断，概率的求解以及函数零点与导数的综合，属于中档题．
17.【答案】解：已知的展开式中，
第项与第项的二项式系数之比为：：，
．
展开式的通项公式为，令，求得，
可得展开式中的系数为．
【解析】由题意，利用二项式系数的定义，求得的值．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的定义，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
18.【答案】解：由：：：：，则抽取的所学校中有所小学，所初中，所高中，
从所抽取的所学校中再随机抽取所学校进行问卷调查，
则抽到的这所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率．
由表中数据可得，，
，
，，，，
则，
，
故线性回归方程为，
当时，，
故预测六年级学生的近视率约为．
【解析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法，求出线性回归方程，再将代入上式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，掌握最小二乘法是解本题的关键，属于中档题．
19.【答案】解：曲线的直角坐标方程为，整理得，根据，转换为极坐标方程为；
由，解得，
同理，解得．
所以．
【解析】直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形的面积公式公式的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
即，
当时，
令得或，
即在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，
极大值为．
由于，，
因为函数在区间上单调，
所以或在区间上恒成立，
即或在区间上恒成立，
因此或．
所以的取值范围为．
【解析】求出导函数，得到极值点，利用函数的单调性，转化求解函数的极值即可．
利用，，函数在区间上单调，或在区间上恒成立，转化求解的范围即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：列联表如下：
满意 不满意 合计
男性
女性
合计
，所以没有的把握认为对双减工作满意程度的评价与性别有关；
从所有给出满意的家长中随机抽取人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，
所以，，
故的分布列为：
从给出满意的观众中利用分层抽样的方法抽取人，其中男性有人，女性有人，则的取值为，，，
，
则随机变量的数学期望，
则，解得，又，故的最大值为．
【解析】先完善列联表，计算出，结合临界值表即可求解；
先求出抽到男性家长的概率，判断出随机变量服从二项分布，再由二项分布的概率公式列出分布列即可；
先由分层抽样求出满意的家长中男性家长和女性家长的人数，得出的取值为，，，分别求出对应概率，求出期望，解不等式即可求解．
本题主要考查独立性检验及其应用，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．
22.【答案】解：因为，
，，
所以在处的切线方程为，
所以，
所以．
因为，，
所以，
令，
，
令，
，
令，
所以在单调递增，
，，
所以存在使得，
所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
，，
所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
所以．
综上所述，的取值范围为．
【解析】求导得，又，，进而可得切线方程，把 代入得答案．
问题可转化为，令，只需，即可得出答案
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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