课件3张PPT。用构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。
例1:数列 ( )
A． B． C． D．
解法1：
又
是首项为2公比为2的等比数列
,所以选C
解法2
归纳总结：若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。
例2：数列中，，则 。
解：
为首项为2公比也为2的等比数列。
，（n>1）
n>1时
显然n=1时满足上式
小结：先构造等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，
例3：已知数列中求这个数列的通项公式。
解：
又形成首项为7，公比为3的等比数列，
则………………………①
又，
，形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列
则………………………②
①②
小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
例4：设数列的前项和为成立，(1)求证： 是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式
证明：(1)当
又………………………①
………………………②
②—①
当时，有
又
为首项为1，公比为2的等比数列，
(2)
小结：本题构造非常特殊，
要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。
例5：数列满足，则
A． B． C． D．
解：
构成了一个首项这，公差为3的等差数列，
所以选B。
小结：构造等比数列，注意形，当时，变为。
例6：已知函数，又数列中，其前项和为，对所有大于1的自然数都有，求数列的通项公式。
解：
是首项为，公差为的等差数列。
。
时，
且当时， 符合条件
通项公式为
例7：（2006山东高考题）
已知，点（）在函数的图象上，其中求数列的通项公式。
解：
又在函数图象上
是首项为公比为2的等比数列
小结：前一个题构造出为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。
例8：(2007天津高考题)已知数列满足，（）其中，求数列的通项公式
方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。
解：
。
所以
所以为等差数列，其首项为0，公差为1；
例9：数列中，若，，则
A． B． C． D．
解：
又是首项为公差3的等差数列。
所以选A
变式题型：数列中，，求
解：
是首项为公比为的等比数列
小结:且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最后融合到一起。
总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的思想，当然题是千变万化的，构造方式也会跟着千差万别,要具体问题具体分析，需要我们反复推敲归纳，从而确定其形式，应该说构造方法的形成是在探索中前进，在前进中探索。
用构造法求数列的通项公式
弋阳县第二中学 游牡荣
教学目标：
1、知识与技能：理解并掌握几种常见的数列通项的求法
2、过程与方法：渗透归纳、化归数学思想方法
3、情感态度与价值观：培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识的探索与发现的过程中培养学生学习数学的兴趣
教学重点：
把既非等差也非等比的数列化归成等差或等比数列
教学难点：
如何将既非等差也非等比的数列化归成等差或等比数列
一、创设情境、引入新课
在数列的学习中，我们知道通项是数列中最关键的，那么如何让求数列的通项呢？在前面的学习中，我们只学习了等差数列和等比数列，对于那些既不是等差也不是等比数列的通项该如何求出呢？比如：，，如何求出其通项呢？
二、新知探索
例1、数列中，若，，求数列的通项公式。
让学生思考并讨论，这种题型的通项该从何处入手？经过几分钟思考后，若学生还无明确的方向，老师可讲此例降低难度，改为：①求、、、的值；②求通项。
经过改编后，大部分学生都能算出=，=，=，=，并能猜想出=。
师指出：这种方法属于不完全归纳法，在前面推导等差数列的通项公式的时候已经用过，但缺乏严谨性，有没有方法直接求出，而不是猜出？（此时学生有陷入一片迷茫，迫切地想寻找到好的出路，极大地调起了学生的兴趣。）
老师引导学生：我们只学过等差与等比数列的通项公式的求法，但这个数列虽然既非等差也非等比数列，能否想办法将数列适当变形，变成我们大家熟悉的等差或等比？
（适时板书）：1，，，，……
: 1，, ，，……
学生马上得出是以1为首项，以1为公差的等差数列。
师指出：根据前5项估计出成等差，同样缺乏严谨，能否证明出是等差数列?
提问：如何证明一个数列是等差数列？
学生：一=常数（到此，此题的解题思路就完全确定了）
解： 即
数列是以为首项，以1 为公差的等差数列
=
师小结：对于一些既非等差也非等比数列的通项的求法，我们可以通过构造将其转化为等差或等比数列之后再应用各自的通项公式求解，这就是化归思想在数列中的具体应用。
例2、数列
让学生思考、讨论并相互交流：如何将其构造成等差或等比数列？（教师在下面走动，根据学生的情况，教师适时的给出引导，如果学生还找不到方法，教师引导学生参照例1的方法）
（适时板书）：1，，，，……
: 2， 4, 8，，……
解:
是以=2首项，以2为公比的等比数列，
=
=
师指出：对这类题型，为了避免每次都计算数列的前几项，可以设，展开后即可求出。
三、巩固深化，发展思维
1、数列中，，。
2、数列中，，,求通项。
3、数列中，,求通项。
四、课堂小结
1、请学生回顾本节课所学过的知识内容与哪些？所涉及的主要思想方法有哪些？
2、在本节课的学习过程中，还有哪些不懂的地方，请向老师提出。
五、教学设计反思
1、本节课的教学设计中，充分发挥了学生的主动性，让学生真正做到积极思考、认真归纳、发现规律、抽象概括，最终达到理解、掌握知识及能够运用知识解决有关问题的目的
2、在本节课的学习中，归纳思想的运用对理解为何以及如何将既非等差也非等比的数列化归为等差数列或等比数列的帮助很大，应该让学生充分重视，如果时间允许，可讲一周期性数列的题型，直接根据数列的前几项归纳得出数列的周期，进而求出数列中某项的值。如：（1） ;
( 2) 则
3、数列的首项是，而学生经常会错写成，因此，教师在书写的时候可故意写错，让学生来发现教师的错误，并用彩色粉笔更正，以达到效果。
特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、（一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.
定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.
证明：因为由特征方程得作换元则
当时，，数列是以为公比的等比数列，故
当时，，为0数列，故（证毕）
下面列举两例，说明定理1的应用.
例1．已知数列满足：求
解：作方程
当时，
数列是以为公比的等比数列.于是
例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？
解：作方程则要使为常数，即则必须
二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
例3：已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）
由，得
，
且。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是
。把代入，得
，
，
，
。
把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。
,
。
又由，于是
故
三、(分式递推式)定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，
若则
若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，
其中
例3、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
∴
∴
即
例5．已知数列满足：对于都有
（1）若求
（2）若求
（3）若求
（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？
解：作特征方程变形得
特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵对于都有
(2)∵
∴
令，得.故数列从第5项开始都不存在，
当≤4，时，.
(3)∵∴
∴
令则∴对于
∴
(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.
∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.
于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.
练习题：已知是数列的前n项和,,求.
求下列数列的通项公式：
在数列中，，求。（key：）
在数列中，且，求。（key：）
在数列中，，求。（key：）
在数列中，，求。（key：）
在数列中，，求。（key：）
在数列中，，且.求.（key：时，；时，）
在数列中，（是非0常数）.求.（key： ()； ）()
8、在数列中，给定，.求.(key:；若，上式不能应用，此时，
附定理3的证明
定理3(分式递推问题)：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，
若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中
证明：先证明定理的第（1）部分.
作交换
则
①
∵是特征方程的根，∴
将该式代入①式得 ②
将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 ③
当，即=时，由②式得故
当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：
④
由是方程的两个相同的根可以求得
∴
将此式代入④式得
令则故数列是以为公差的等差数列.
∴
其中
当时，
当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.
再证明定理的第（2）部分如下：
∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换
故，将代入再整理得
⑤
由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故
故所以由⑤式可得：
⑥
∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.
∴
将上两式代入⑥式得
当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有
当即时，上式也成立.
由且可知
所以(证毕)
注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.
特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、（一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.
定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.
证明：因为由特征方程得作换元则
当时，，数列是以为公比的等比数列，故
当时，，为0数列，故（证毕）
下面列举两例，说明定理1的应用.
例1．已知数列满足：求
解：作方程
当时，
数列是以为公比的等比数列.于是
例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？
解：作方程则要使为常数，即则必须
二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
例3：已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）
由，得
，
且。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是
。把代入，得
，
，
，
。
把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。
,
。
又由，于是
故
三、(分式递推式)定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，
若则
若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，
其中
例3、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
∴
∴
即
例5．已知数列满足：对于都有
（1）若求
（2）若求
（3）若求
（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？
解：作特征方程变形得
特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵对于都有
(2)∵
∴
令，得.故数列从第5项开始都不存在，
当≤4，时，.
(3)∵∴
∴
令则∴对于
∴
(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.
∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.
于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.
练习题：
求下列数列的通项公式：
在数列中，，求。（key：）
在数列中，且，求。（key：）
在数列中，，求。（key：）
在数列中，，求。（key：）
在数列中，，求。（key：）
在数列中，，且.求.（key：时，；时，）
在数列中，（是非0常数）.求.（key： ()； ）()
8、在数列中，给定，.求.(key:；若，上式不能应用，此时，
附定理3的证明
定理3(分式递推问题)：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，
若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中
证明：先证明定理的第（1）部分.
作交换
则
①
∵是特征方程的根，∴
将该式代入①式得 ②
将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 ③
当，即=时，由②式得故
当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：
④
由是方程的两个相同的根可以求得
∴
将此式代入④式得
令则故数列是以为公差的等差数列.
∴
其中
当时，
当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.
再证明定理的第（2）部分如下：
∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换
故，将代入再整理得
⑤
由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故
故所以由⑤式可得：
⑥
∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.
∴
将上两式代入⑥式得
当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有
当即时，上式也成立.
由且可知
所以(证毕)
注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.
