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2017-2018学年数学沪科版八年级下册18.1.1勾股定理 同步练习
一、选择题
1．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A．56 B．48 C．40 D．32
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过点A做AD⊥BC于点D，
∵等腰三角形底边上的高为8，周长为32，
∴AD=8，设DC=BD=x，则AB=（32﹣2x）=16﹣x，
∴AC2=AD2+DC2，即（16﹣x）2=82+x2，
解得：x=6，
故BC=12，
则△ABC的面积为：×AD×BC= ×8×12=48．
故选：B．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出DC的长，进而求出BC的长，即可得出答案．
2．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当12是斜边时，第三边是 = ；
当12是直角边时，第三边是 =13．故答案为：B．
【分析】本题考查勾股定理，虽然容易但是一道易错题.本题需要分两种情况，当12和5是直角边时，当长边12是斜边时，然后利用勾股定理求出第三边长即可，故选B.
3．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )
A．13 B．8 C．25 D．64
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：因为在等腰三角形中三线合一，所以底边上的高也是底边上的中线，即把底边平分，所以12 2=6.即出现的直角三角形中的斜边和直角边分别为10和6，所以另一条直角边为 ，所以底边上的高为8，答案为B选项.
【分析】此题考查了勾股定理和等腰三角形的性质这两个知识点，此题的关键是意识到等腰三角形的性质，然后是利用勾股定理解决问题.
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，若以AB边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2=（ ）
A．4 B．9 C．18 D．36
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=6，
∴BC2+AC2=AB2=62=36，
∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形，
∴BE=CE= BC，AF=FC= AC，
∴S1+S2= BE2+ AF2= ×（ BC）2+ ×（ AC）2= （BC2+AC2）= ×36=9；
故答案为：B．
【分析】先有勾股定理求出BC2+AC2=AB2=62=36，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BE=CE= BC，AF=FC= AC，先求出S1+S2= BE2+ AF2=（BC2+AC2），再整体代入即可求出.
5．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0
C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
m2+m2=（n﹣m）2，
2m2=n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2=0．
故答案为：C．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理.先根据题中条件把直角三角形分割成一个等腰直角三角形和等腰三角形，利用勾股定理和等腰三角形的性质得出等式m2+m2=（n﹣m）2，再把等式变形即可答案.
6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7 C．5和7 D．25或7
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当3和4为直角边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；
②4为斜边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；
综上所述：第三边长的平方是25或7；
故选：D．
【分析】分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．
7．已知一个直角三角形的面积为84cm2，其中一条直角边的长为7cm，则该直角三角形的斜边的长为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设另一条直角边的长为xcm，
∵直角三角形的面积为84cm2，其中一条直角边的长为7cm，
∴ ×7x=84，解得x=24（cm），
∴该直角三角形的斜边的长= =25（cm）．
故选C．
【分析】设另一条直角边的长为xcm，根据三角形的面积公式求出x的值，由勾股定理即可得出斜边长．
8．（2017八上·西安期末）如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（ ）
A．4.8 B．5 C．4 D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】由垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC=6，
∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
由勾股定理得：AD= =4，
又∵S△ABC= BC AD= BP AC，
∴BP= = =4.8．
故答案为：A．
【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。然后在直角三角形中用勾股定理和面积法即可求解。
二、填空题
9．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．
【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，又AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=4，
则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．
故答案为：8
【分析】先利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=4，采取整体代入求出AB2+（BC2+CA2）的值，
10．（2016八下·寿光期中）在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为 ．
【答案】126或66
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：分两种情况：①当∠B为锐角时，如图1所示，
在Rt△ABD中，
BD= = =5，
在Rt△ADC中，
CD= = =16，
∴BC=BD+CD=21，
∴△ABC的面积为 ×21×12=126；
②当∠B为钝角时，如图2所示，
在Rt△ABD中，
BC=CD﹣BD=16﹣5=11，
所以△ABC的面积为 ×11×12=66；
故答案为：126或66．
【分析】分两种情况：①∠B为锐角；②∠B为钝角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．
11．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．
【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：
（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，
解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），
即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．
所以，其周长为6+8+10=24cm．
【分析】根据连续偶数顺次大2，设出直角三角形的边长，然后利用勾股定理建立方程求出n的值，从而求出三边长，继而求出直角三角形的周长.
12．如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF= CD= AB= ，
由折叠的性质可得AE=A′E，
∴A′E=DE，
在Rt△EA′F和Rt△EDF中，
∵ ，
∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），
∴A′F=DF= ，
∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+ = ，
在Rt△BCF中，BC= = ．
∴AD=BC= ．
故答案为： ．
【分析】本题在矩形折叠中巧妙的利用勾股定理来求解.因为E、F分别为AD、CD的中点，可得CF=CD=AB=，连接EF，可证明Rt△EA′F≌Rt△EDF，求出A′F=DF= ，由折叠性质得BA′=AB=1，从而求出BF=BA′+A′F=，在Rt△BCF中，利用勾股定理求出BC的长，由矩形性质求出AD的长.
13．如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积 ．
【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：
四边形ABCD的面积=5×5﹣ ×1×2﹣ ×4×3﹣ ×2×3﹣ ×2×3=12，
所以，四边形ABCD的面积为12．
故答案为12．
【分析】
本题比较简单，考查网格中图形的面积.由于四边形不特殊，求面积时困难，所以采用割补法把四边形补成矩形再减去三个直角三角形的面积即可求出.
14．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为 .
【答案】14或4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）如图，
锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC=BD+DC=9+5=14；
（ 2 ）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．
【分析】本题考查勾股定理，虽然简单却容易出错。由于本题给出的条件需要考虑两种情况，当三角形是锐角三角形时，利用勾股定理分别求出DC、BD的长，BC=DC+BD即可求出；当三角形是钝角三角形时，BC=DC-BD即可求出，体现了分类讨论的思想。
三、计算题
15．在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6， c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
【答案】（1）解： 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，b= =8
（2）解： 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9，c= =41
（3）解： 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15，a= =20
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】本题较简单，考查直角三角形中，已知两直角边的长，利用勾股定理求出斜边；或者是已知一直角边和斜边，利用勾股定理求出另一直角边.
16．如图∠B=∠ACD=90°， AD=13，CD=12， BC=3，则AB的长是多少
【答案】解： ∵∠ACD=90°
AD=13， CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】本题较简单，直接利用勾股定理先求出AC的长，再一次利用勾股定理求出AB的长即可.
17．如图，已知：在 中， ，AC=70，AB=30. 求：BC的长.
【答案】解：作 于D，则因 ，
∴ （ 的两个锐角互余）
∴ （在 中，如果一个锐角等于 ，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在 中，
.
根据勾股定理，在 中，
.
∴ .BC=BD+DC=65+15=80
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC 于D，构建出两个直角三角形，利用直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，然后利用勾股定理求出AD、DC的长，由BC=BD+DC求出结果，本题添加辅助线构建直角三角形是解题的关键。
18．已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
【答案】解：延长AD、BC交于E。∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==4。∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==2∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE=6
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】此题考查直角三角形勾股定理的应用，分别延长AD、BC交于点E，从而构建两个直角三角形，然后利用三角形内角和求出∠E，再利用直角三角形30°的角的性质分别求出AE、CE的长，最后利用勾股定理求出BE、DC的长，利用三角形的面积差求出四边形的面积
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2017-2018学年数学沪科版八年级下册18.1.1勾股定理 同步练习
一、选择题
1．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A．56 B．48 C．40 D．32
2．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
3．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )
A．13 B．8 C．25 D．64
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，若以AB边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2=（ ）
A．4 B．9 C．18 D．36
5．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0
C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7 C．5和7 D．25或7
7．已知一个直角三角形的面积为84cm2，其中一条直角边的长为7cm，则该直角三角形的斜边的长为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
8．（2017八上·西安期末）如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（ ）
A．4.8 B．5 C．4 D．
二、填空题
9．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．
10．（2016八下·寿光期中）在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为 ．
11．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．
12．如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ．
13．如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积 ．
14．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为 .
三、计算题
15．在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6， c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
16．如图∠B=∠ACD=90°， AD=13，CD=12， BC=3，则AB的长是多少
17．如图，已知：在 中， ，AC=70，AB=30. 求：BC的长.
18．已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过点A做AD⊥BC于点D，
∵等腰三角形底边上的高为8，周长为32，
∴AD=8，设DC=BD=x，则AB=（32﹣2x）=16﹣x，
∴AC2=AD2+DC2，即（16﹣x）2=82+x2，
解得：x=6，
故BC=12，
则△ABC的面积为：×AD×BC= ×8×12=48．
故选：B．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出DC的长，进而求出BC的长，即可得出答案．
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当12是斜边时，第三边是 = ；
当12是直角边时，第三边是 =13．故答案为：B．
【分析】本题考查勾股定理，虽然容易但是一道易错题.本题需要分两种情况，当12和5是直角边时，当长边12是斜边时，然后利用勾股定理求出第三边长即可，故选B.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：因为在等腰三角形中三线合一，所以底边上的高也是底边上的中线，即把底边平分，所以12 2=6.即出现的直角三角形中的斜边和直角边分别为10和6，所以另一条直角边为 ，所以底边上的高为8，答案为B选项.
【分析】此题考查了勾股定理和等腰三角形的性质这两个知识点，此题的关键是意识到等腰三角形的性质，然后是利用勾股定理解决问题.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=6，
∴BC2+AC2=AB2=62=36，
∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形，
∴BE=CE= BC，AF=FC= AC，
∴S1+S2= BE2+ AF2= ×（ BC）2+ ×（ AC）2= （BC2+AC2）= ×36=9；
故答案为：B．
【分析】先有勾股定理求出BC2+AC2=AB2=62=36，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BE=CE= BC，AF=FC= AC，先求出S1+S2= BE2+ AF2=（BC2+AC2），再整体代入即可求出.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
m2+m2=（n﹣m）2，
2m2=n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2=0．
故答案为：C．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理.先根据题中条件把直角三角形分割成一个等腰直角三角形和等腰三角形，利用勾股定理和等腰三角形的性质得出等式m2+m2=（n﹣m）2，再把等式变形即可答案.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当3和4为直角边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；
②4为斜边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；
综上所述：第三边长的平方是25或7；
故选：D．
【分析】分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设另一条直角边的长为xcm，
∵直角三角形的面积为84cm2，其中一条直角边的长为7cm，
∴ ×7x=84，解得x=24（cm），
∴该直角三角形的斜边的长= =25（cm）．
故选C．
【分析】设另一条直角边的长为xcm，根据三角形的面积公式求出x的值，由勾股定理即可得出斜边长．
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】由垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC=6，
∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
由勾股定理得：AD= =4，
又∵S△ABC= BC AD= BP AC，
∴BP= = =4.8．
故答案为：A．
【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。然后在直角三角形中用勾股定理和面积法即可求解。
9．【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，又AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=4，
则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．
故答案为：8
【分析】先利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=4，采取整体代入求出AB2+（BC2+CA2）的值，
10．【答案】126或66
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：分两种情况：①当∠B为锐角时，如图1所示，
在Rt△ABD中，
BD= = =5，
在Rt△ADC中，
CD= = =16，
∴BC=BD+CD=21，
∴△ABC的面积为 ×21×12=126；
②当∠B为钝角时，如图2所示，
在Rt△ABD中，
BC=CD﹣BD=16﹣5=11，
所以△ABC的面积为 ×11×12=66；
故答案为：126或66．
【分析】分两种情况：①∠B为锐角；②∠B为钝角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．
11．【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：
（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，
解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），
即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．
所以，其周长为6+8+10=24cm．
【分析】根据连续偶数顺次大2，设出直角三角形的边长，然后利用勾股定理建立方程求出n的值，从而求出三边长，继而求出直角三角形的周长.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF= CD= AB= ，
由折叠的性质可得AE=A′E，
∴A′E=DE，
在Rt△EA′F和Rt△EDF中，
∵ ，
∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），
∴A′F=DF= ，
∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+ = ，
在Rt△BCF中，BC= = ．
∴AD=BC= ．
故答案为： ．
【分析】本题在矩形折叠中巧妙的利用勾股定理来求解.因为E、F分别为AD、CD的中点，可得CF=CD=AB=，连接EF，可证明Rt△EA′F≌Rt△EDF，求出A′F=DF= ，由折叠性质得BA′=AB=1，从而求出BF=BA′+A′F=，在Rt△BCF中，利用勾股定理求出BC的长，由矩形性质求出AD的长.
13．【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：
四边形ABCD的面积=5×5﹣ ×1×2﹣ ×4×3﹣ ×2×3﹣ ×2×3=12，
所以，四边形ABCD的面积为12．
故答案为12．
【分析】
本题比较简单，考查网格中图形的面积.由于四边形不特殊，求面积时困难，所以采用割补法把四边形补成矩形再减去三个直角三角形的面积即可求出.
14．【答案】14或4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）如图，
锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC=BD+DC=9+5=14；
（ 2 ）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．
【分析】本题考查勾股定理，虽然简单却容易出错。由于本题给出的条件需要考虑两种情况，当三角形是锐角三角形时，利用勾股定理分别求出DC、BD的长，BC=DC+BD即可求出；当三角形是钝角三角形时，BC=DC-BD即可求出，体现了分类讨论的思想。
15．【答案】（1）解： 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，b= =8
（2）解： 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9，c= =41
（3）解： 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15，a= =20
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】本题较简单，考查直角三角形中，已知两直角边的长，利用勾股定理求出斜边；或者是已知一直角边和斜边，利用勾股定理求出另一直角边.
16．【答案】解： ∵∠ACD=90°
AD=13， CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】本题较简单，直接利用勾股定理先求出AC的长，再一次利用勾股定理求出AB的长即可.
17．【答案】解：作 于D，则因 ，
∴ （ 的两个锐角互余）
∴ （在 中，如果一个锐角等于 ，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在 中，
.
根据勾股定理，在 中，
.
∴ .BC=BD+DC=65+15=80
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC 于D，构建出两个直角三角形，利用直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，然后利用勾股定理求出AD、DC的长，由BC=BD+DC求出结果，本题添加辅助线构建直角三角形是解题的关键。
18．【答案】解：延长AD、BC交于E。∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==4。∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==2∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE=6
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】此题考查直角三角形勾股定理的应用，分别延长AD、BC交于点E，从而构建两个直角三角形，然后利用三角形内角和求出∠E，再利用直角三角形30°的角的性质分别求出AE、CE的长，最后利用勾股定理求出BE、DC的长，利用三角形的面积差求出四边形的面积
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