华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习
一、选择题
1．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）。
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等．故选C.
【分析】平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线相等且平分．
2．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于（ ）.
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】由翻折变换的性质可知 ，在矩形ABCD中 ，又∠BAF＝60°，所以 ，所以 ．
【分析】根据翻折变换的性质可知△AEF≌△AED．
3．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ）.
A．22cm B．26cm C．22cm或26cm D．28cm
【答案】C
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】如图①所示，此时矩形的周长为 cm；如图②所示，此时矩形的周长为 cm，所以选C
①②
【分析】如上图所示，在矩形ABCD中∠ADC＝90°，因为DE平分∠ADC，所以∠EDC＝ ∠ADC＝45°，所以在Rt△EDC中，DE＝EC．
4．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（ ）.
A．22.5° B．45° C．30° D．60°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】根据题意可以得到如下图所示，因为在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，又因为垂线AE分∠BAD为1：3两部分，所以∠DAE＝90°× ＝67.5°，所以∠ADB＝90°－∠DAE＝22.5°，又OA＝OD，所以∠DAO＝∠ADO＝22.5°，所以∠CAE＝∠DAE－∠DAO＝45°，即该垂线与另一条对角线的夹角为45°．
【分析】本题目的关键在于将数学语言转化为图形进行解题．
5．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE＝ ∠CDE，那么∠BDC等于（ ）.
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】因为在矩形ABCD中∠ADC＝90°，又因为∠ADE＝ ∠CDE，所以∠CDE＝ ∠ADC＝60°，又因为DE⊥AC，所以△CDE为直角三角形，所以∠ACD＝30°，又因为OD＝OC，所以∠BDC＝∠ACD＝30°．
【分析】矩形的对角线相等且平分．
6．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED＝90°．当AD＝10cm时，AB等于（ ）.
A．10cm B．5cm C． cm D． cm
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，因为E是BC的中点，AD＝10cm，所以BE＝EC＝5cm，在△ABE与△DCE中， ，所以△ABE≌△DCE，所以AE＝ED，又因为∠AED＝90°，所以∠EAD＝45°，所以∠BAE＝90°－∠EAD＝45°，所以AB＝BE＝5cm．
【分析】矩形的四个角都是直角．
7．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝ ，折叠后，点C落在AD边上的 处，并且点B落在 边上的 处．则BC的长为（ ）.
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】因为△ABE≌ ，所以 ， ，又因为∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠BAE＝30°，AB＝ ，所以BE＝1，AE＝2， ＝60°，∠EAD＝60°，所以 是等边三角形，所以 ＝AE＝2，因为△CEF≌ ，所以EC＝ ＝2，所以BC＝BE＋EC＝3．
【分析】△ABE与 对折，两个三角形全等， 与 对折，两三角形也全等，根据边角关系求出BC．
8．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形 同步练习）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】解答：解：如图可知第四个顶点为：
即：（3，2）．
故选B
分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2.本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案
9．（新人教版数学八年级下册18.2.1矩形同步练习）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A B C M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数；矩形的性质
【解析】【解答】点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，当P到达B点时，面积达到最大，值是1．在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是 ；由C到M这一段，面积越来越小；当P到达M时，面积最小变成0．因而应选第一个选项．
故选A．
【分析】根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．本题考查了分段函数的画法，是难点，要细心认真．
10．（新人教版数学八年级下册18.2.1矩形同步练习）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（ ）
A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】连接EC，由矩形的性质可得AO＝CO，
又因EO⊥AC，
则由线段的垂直平分线的性质可得EC＝AE，
设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝5﹣x，
在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2＝DE2+DC2，
即x2＝（5﹣x）2+32，
解得x＝3.4．
故选D．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的长．本题考查了利用线段的垂直平分线的性质.矩形的性质及勾股定理综合解答问题的能力，在解上面关于x的方程时有时出现错误，而误选其它选项．
11．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ）.
A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或20
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图四边形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；本题可分三种情况：
第一，如图①：△AEF中，AE＝AF＝10cm；所以 ＝ AE AF＝50 ；
①②③
第二，如图②：△AGH中，AG＝GH＝10cm；在Rt△BGH中，BG＝AB－AG＝16－10＝6cm；
根据勾股定理有：BH＝8cm；所以 ＝ AG BH＝ ＝40 ；
第三，如图③：△AMN中，AM＝MN＝10cm；在Rt△DMN中，MD＝AD－AM＝18－10＝8cm；
根据勾股定理有DN＝6cm；所以 ＝ AM DN＝ ．故选C．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论。
12．（新人教版数学八年级下册18.2.1矩形同步练习）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据题意得：∠DAE＝∠EAD′，∠D＝∠D′＝90°．
∵∠BAD′＝30°，
∴∠EAD′＝ （90°﹣30°）＝30°．
∴∠AED′＝90°﹣30°＝60°．
故选C．
【分析】根据折叠的性质求∠EAD′，再在Rt△EAD′中求∠AED′．已知图形的折叠，就是已知图形全等，就可以得到一些相等的角．
13．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝ ，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED；正确的是（ ）.
A．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝ ，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1，∴△OAB，△OCD为正三角形，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，∴BF＝BO即②正确；∵AF平分∠DAB，∴∠FAD＝45°，∴∠CAH＝45°－30°＝15°，∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH即③正确；由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED即④正确；若AF＝FH，那么点F为等腰三角形CAH的中点，那么CB垂直于AH，显然不成立，①所以不正确．故选D．
【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．
14．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（ ）.
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】因为在矩形ABCD中，所以AO＝ AC＝ BD＝BO，又因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO＝AB＝2，所以AC＝2AO＝4．故选B．
【分析】本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．
15．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】A项的对顶角相等；B，C项不确定；D项一定不相等，因为∠1＝∠ACD，∠2＞∠ACD．
【分析】本题主要是利用三角形的外角大于和它不相邻的任一内角来分析．
二、填空题
16．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC＝10cm，边BC＝8cm，则△ABO的周长为 ．
【答案】16cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，对角线AC＝10cm，∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝ AC＝5cm，∵BC＝8cm，∴AB＝ cm，∴△ABO的周长为：OA＋OB＋AB＝16cm．
【分析】根据勾股定理求出边AB的长度是本题的解题关键．
17．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB＝60°，AB＝8，则矩形对角线的长 ．
【答案】16
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】如下图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝8，∴AC＝BD＝16．
【分析】本题的关键在于△AOB是等边三角形的判定与其性质的利用．
18．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是 ，对角线的长是 ．
【答案】5；10
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】如下图所示，∠AOB＝60°，AB＋AC＝15；∵在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，∴△AOB是正三角形，∴AB＝OA，∴AC＝2AB，又∵AB＋AC＝15，∴AB＝5，AC＝10即短边的长是5，对角线的长是10．
【分析】矩形的性质与两条对角线的夹角为60°相结合得到所需的正三角形．
19．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）矩形ABCD的对角线相交于O，AC＝2AB，则△COD为 三角形．
【答案】等边
【知识点】等边三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】在矩形ABCD中，AO＝OC＝OB＝OD，∵AC＝2AB，∴AO＝OB＝AB，∴△COD为等边三角形．
【分析】矩形的两条对角线相等且平分．
20．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如果一个矩形较短的边长为5cm，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是 ．
【答案】 cm2
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如下图，AB＝5cm，∠AOB＝60°，∵在矩形ABCD中，AO＝OC＝OB＝OD，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵AB＝5cm，∴AO＝AB＝5cm，AC＝10cm，∴ cm，∴这个矩形的面积为： cm2．
【分析】矩形的两条对角线相等且平分．
三、综合题
21．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD＝4cm，AB＝8cm，求OF的长．
【答案】（1）解答：证明：∵ABCD是矩形，
∴AD＝BC，OA＝OB，∠DAB＝∠CAB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠DAB－∠OAB＝∠CBA－∠OBA，即∠DAE＝∠CBF，
∵E，F分别是OA，OB的中点，
∴AE＝ OA，BF＝ OB，
∴AE＝BF，
∴△ADE≌△BCF（SAS）．
（2）解答：解：在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝8cm
∴BC＝4cm，DC＝8cm
∴BD＝ cm，
∴ cm，
又∵F是OB的中点，
∴OF＝ OB＝ cm．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】矩形的两条对角线相等且平分．
22．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8cm，BC＝10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的中点F处，折痕为AE，求CE的长．
【答案】解答：解：根据题意可得：BC＝AD＝AF＝10cm，DE＝DF，∵在ABF中，∠ABF＝90°，∴ cm，∴FC＝BC－BF＝4cm，设CE＝x，那么EF＝DE＝8－x，又∵∠C＝90°，所以 即 ，∴x＝3，∴CE＝3cm．
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】通过翻折的性质，将所求和已知的线段转换到同一个三角形中是解题的关键．
23．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°．
（1）求∠2的度数．
（2）求证：BO＝BE．
【答案】（1）解答：解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴∠2＝∠AEB－∠1＝30°．
（2）解答：证明：由（1）可知∠2＝30°，
∴∠BAO＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB＝AB，
∵∠AEB＝∠EAD＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴BO＝BE．
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和角平分线的性质可知∠AEB＝∠EAD＝45°，那么∠2＝∠AEB－∠1＝30°；（2）通过∠2＝30°，∠BAO＝60°，证得△OAB是等边三角形，结合AB＝BE可得BO＝BE．
24．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，请计算耕地的面积．
【答案】解答：解：30×20－30×1－20×1＋1×1＝600－30－20＋1＝551（m2），所以耕地的面积为551 m2．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】要计算耕地的面积，只要求出小路的面积，再用矩形的面积减去小路的面积即可．
25．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积与矩形ABCD面积的大小关系是什么？
【答案】解答：解：阴影部分的面积与矩形ABCD面积的∵四边形为矩形，∴OB＝OD＝OA＝OC，在△EBO与△FDO中，∠EOB＝∠DOF，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO，△EBO≌△FDO，∴S阴影部分的面积＝ ，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的 ，∴ S矩形ABCD．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，得出结论．
1 / 1华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习
一、选择题
1．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）。
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于（ ）.
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ）.
A．22cm B．26cm C．22cm或26cm D．28cm
4．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（ ）.
A．22.5° B．45° C．30° D．60°
5．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE＝ ∠CDE，那么∠BDC等于（ ）.
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
6．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED＝90°．当AD＝10cm时，AB等于（ ）.
A．10cm B．5cm C． cm D． cm
7．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝ ，折叠后，点C落在AD边上的 处，并且点B落在 边上的 处．则BC的长为（ ）.
A． B．2 C．3 D．
8．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形 同步练习）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）
9．（新人教版数学八年级下册18.2.1矩形同步练习）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A B C M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
10．（新人教版数学八年级下册18.2.1矩形同步练习）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（ ）
A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4
11．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ）.
A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或20
12．（新人教版数学八年级下册18.2.1矩形同步练习）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
13．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝ ，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED；正确的是（ ）.
A．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④
14．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（ ）.
A．2 B．4 C． D．
15．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）.
A． B．
C． D．
二、填空题
16．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC＝10cm，边BC＝8cm，则△ABO的周长为 ．
17．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB＝60°，AB＝8，则矩形对角线的长 ．
18．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是 ，对角线的长是 ．
19．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）矩形ABCD的对角线相交于O，AC＝2AB，则△COD为 三角形．
20．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如果一个矩形较短的边长为5cm，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是 ．
三、综合题
21．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD＝4cm，AB＝8cm，求OF的长．
22．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8cm，BC＝10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的中点F处，折痕为AE，求CE的长．
23．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°．
（1）求∠2的度数．
（2）求证：BO＝BE．
24．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，请计算耕地的面积．
25．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积与矩形ABCD面积的大小关系是什么？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等．故选C.
【分析】平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线相等且平分．
2．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】由翻折变换的性质可知 ，在矩形ABCD中 ，又∠BAF＝60°，所以 ，所以 ．
【分析】根据翻折变换的性质可知△AEF≌△AED．
3．【答案】C
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】如图①所示，此时矩形的周长为 cm；如图②所示，此时矩形的周长为 cm，所以选C
①②
【分析】如上图所示，在矩形ABCD中∠ADC＝90°，因为DE平分∠ADC，所以∠EDC＝ ∠ADC＝45°，所以在Rt△EDC中，DE＝EC．
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】根据题意可以得到如下图所示，因为在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，又因为垂线AE分∠BAD为1：3两部分，所以∠DAE＝90°× ＝67.5°，所以∠ADB＝90°－∠DAE＝22.5°，又OA＝OD，所以∠DAO＝∠ADO＝22.5°，所以∠CAE＝∠DAE－∠DAO＝45°，即该垂线与另一条对角线的夹角为45°．
【分析】本题目的关键在于将数学语言转化为图形进行解题．
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】因为在矩形ABCD中∠ADC＝90°，又因为∠ADE＝ ∠CDE，所以∠CDE＝ ∠ADC＝60°，又因为DE⊥AC，所以△CDE为直角三角形，所以∠ACD＝30°，又因为OD＝OC，所以∠BDC＝∠ACD＝30°．
【分析】矩形的对角线相等且平分．
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，因为E是BC的中点，AD＝10cm，所以BE＝EC＝5cm，在△ABE与△DCE中， ，所以△ABE≌△DCE，所以AE＝ED，又因为∠AED＝90°，所以∠EAD＝45°，所以∠BAE＝90°－∠EAD＝45°，所以AB＝BE＝5cm．
【分析】矩形的四个角都是直角．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】因为△ABE≌ ，所以 ， ，又因为∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠BAE＝30°，AB＝ ，所以BE＝1，AE＝2， ＝60°，∠EAD＝60°，所以 是等边三角形，所以 ＝AE＝2，因为△CEF≌ ，所以EC＝ ＝2，所以BC＝BE＋EC＝3．
【分析】△ABE与 对折，两个三角形全等， 与 对折，两三角形也全等，根据边角关系求出BC．
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】解答：解：如图可知第四个顶点为：
即：（3，2）．
故选B
分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2.本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案
9．【答案】A
【知识点】分段函数；矩形的性质
【解析】【解答】点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，当P到达B点时，面积达到最大，值是1．在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是 ；由C到M这一段，面积越来越小；当P到达M时，面积最小变成0．因而应选第一个选项．
故选A．
【分析】根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．本题考查了分段函数的画法，是难点，要细心认真．
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】连接EC，由矩形的性质可得AO＝CO，
又因EO⊥AC，
则由线段的垂直平分线的性质可得EC＝AE，
设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝5﹣x，
在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2＝DE2+DC2，
即x2＝（5﹣x）2+32，
解得x＝3.4．
故选D．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的长．本题考查了利用线段的垂直平分线的性质.矩形的性质及勾股定理综合解答问题的能力，在解上面关于x的方程时有时出现错误，而误选其它选项．
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图四边形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；本题可分三种情况：
第一，如图①：△AEF中，AE＝AF＝10cm；所以 ＝ AE AF＝50 ；
①②③
第二，如图②：△AGH中，AG＝GH＝10cm；在Rt△BGH中，BG＝AB－AG＝16－10＝6cm；
根据勾股定理有：BH＝8cm；所以 ＝ AG BH＝ ＝40 ；
第三，如图③：△AMN中，AM＝MN＝10cm；在Rt△DMN中，MD＝AD－AM＝18－10＝8cm；
根据勾股定理有DN＝6cm；所以 ＝ AM DN＝ ．故选C．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论。
12．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据题意得：∠DAE＝∠EAD′，∠D＝∠D′＝90°．
∵∠BAD′＝30°，
∴∠EAD′＝ （90°﹣30°）＝30°．
∴∠AED′＝90°﹣30°＝60°．
故选C．
【分析】根据折叠的性质求∠EAD′，再在Rt△EAD′中求∠AED′．已知图形的折叠，就是已知图形全等，就可以得到一些相等的角．
13．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝ ，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1，∴△OAB，△OCD为正三角形，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，∴BF＝BO即②正确；∵AF平分∠DAB，∴∠FAD＝45°，∴∠CAH＝45°－30°＝15°，∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH即③正确；由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED即④正确；若AF＝FH，那么点F为等腰三角形CAH的中点，那么CB垂直于AH，显然不成立，①所以不正确．故选D．
【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．
14．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】因为在矩形ABCD中，所以AO＝ AC＝ BD＝BO，又因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO＝AB＝2，所以AC＝2AO＝4．故选B．
【分析】本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．
15．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】A项的对顶角相等；B，C项不确定；D项一定不相等，因为∠1＝∠ACD，∠2＞∠ACD．
【分析】本题主要是利用三角形的外角大于和它不相邻的任一内角来分析．
16．【答案】16cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，对角线AC＝10cm，∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝ AC＝5cm，∵BC＝8cm，∴AB＝ cm，∴△ABO的周长为：OA＋OB＋AB＝16cm．
【分析】根据勾股定理求出边AB的长度是本题的解题关键．
17．【答案】16
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】如下图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝8，∴AC＝BD＝16．
【分析】本题的关键在于△AOB是等边三角形的判定与其性质的利用．
18．【答案】5；10
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】如下图所示，∠AOB＝60°，AB＋AC＝15；∵在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，∴△AOB是正三角形，∴AB＝OA，∴AC＝2AB，又∵AB＋AC＝15，∴AB＝5，AC＝10即短边的长是5，对角线的长是10．
【分析】矩形的性质与两条对角线的夹角为60°相结合得到所需的正三角形．
19．【答案】等边
【知识点】等边三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】在矩形ABCD中，AO＝OC＝OB＝OD，∵AC＝2AB，∴AO＝OB＝AB，∴△COD为等边三角形．
【分析】矩形的两条对角线相等且平分．
20．【答案】 cm2
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如下图，AB＝5cm，∠AOB＝60°，∵在矩形ABCD中，AO＝OC＝OB＝OD，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵AB＝5cm，∴AO＝AB＝5cm，AC＝10cm，∴ cm，∴这个矩形的面积为： cm2．
【分析】矩形的两条对角线相等且平分．
21．【答案】（1）解答：证明：∵ABCD是矩形，
∴AD＝BC，OA＝OB，∠DAB＝∠CAB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠DAB－∠OAB＝∠CBA－∠OBA，即∠DAE＝∠CBF，
∵E，F分别是OA，OB的中点，
∴AE＝ OA，BF＝ OB，
∴AE＝BF，
∴△ADE≌△BCF（SAS）．
（2）解答：解：在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝8cm
∴BC＝4cm，DC＝8cm
∴BD＝ cm，
∴ cm，
又∵F是OB的中点，
∴OF＝ OB＝ cm．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】矩形的两条对角线相等且平分．
22．【答案】解答：解：根据题意可得：BC＝AD＝AF＝10cm，DE＝DF，∵在ABF中，∠ABF＝90°，∴ cm，∴FC＝BC－BF＝4cm，设CE＝x，那么EF＝DE＝8－x，又∵∠C＝90°，所以 即 ，∴x＝3，∴CE＝3cm．
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】通过翻折的性质，将所求和已知的线段转换到同一个三角形中是解题的关键．
23．【答案】（1）解答：解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴∠2＝∠AEB－∠1＝30°．
（2）解答：证明：由（1）可知∠2＝30°，
∴∠BAO＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB＝AB，
∵∠AEB＝∠EAD＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴BO＝BE．
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和角平分线的性质可知∠AEB＝∠EAD＝45°，那么∠2＝∠AEB－∠1＝30°；（2）通过∠2＝30°，∠BAO＝60°，证得△OAB是等边三角形，结合AB＝BE可得BO＝BE．
24．【答案】解答：解：30×20－30×1－20×1＋1×1＝600－30－20＋1＝551（m2），所以耕地的面积为551 m2．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】要计算耕地的面积，只要求出小路的面积，再用矩形的面积减去小路的面积即可．
25．【答案】解答：解：阴影部分的面积与矩形ABCD面积的∵四边形为矩形，∴OB＝OD＝OA＝OC，在△EBO与△FDO中，∠EOB＝∠DOF，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO，△EBO≌△FDO，∴S阴影部分的面积＝ ，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的 ，∴ S矩形ABCD．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，得出结论．
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