初中数学苏科版八年级下册12.2 二次根式的乘除 同步训练
一、单选题
1．（2021八下·武汉月考）下列二次根式中： 、 、 、 ， ，最简二次根式的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2020八下·昌吉期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．5
B． （a＞0，b＞0）
C．
D．
3．（2021八上·渭滨期末）以下各数中与 的积是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八上·滨州期末）计算： 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2019八上·西安月考）已知 ， ，则
A．2a B．ab C． D．
6．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第一章二次根式单元检测卷b）已知m＝ ×(－2 )，则有( )
A．57．（2019八下·上林月考）在△ABC中， cm，BC上的高为2 cm，则△ABC的面积为（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
8．（2020八下·察哈尔右翼前旗期末）一个矩形的长和宽分别是 、 ，则它的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019八下·康巴什新期中） 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2 B．6 C．7 D．9
10．（2019八下·襄城月考）如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：① ； ② ＝1；③ ＝－b.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
二、填空题
11．（2020八下·曾都期末）将二次根式 化为最简二次根式为 .
12．（2020八上·上海期中）当 时，化简 ．
13．（初中数学苏科版八年级下册第十二章 二次根式 章末检测）设 , 则 = .
14．（2019八下·鹿角镇期中） = ；
15．（初中数学苏科版八年级下册12.1-12.2 二次根式，二次根式的乘除 同步练习）如果 ,那么 的取值范围是 .
16．（2018八下·宁波期中）长方形的面积是 ，其中一边长是 ，则另一边长是 。
17．（2017八下·临洮期中）若一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为
cm3．
18．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 16.2.1二次根式的乘法同步练习）把( －2) 根号外的因式移到根号内后，其结果是 .
三、解答题
19．把下列二次根式化成最简二次根式．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．
21．（2016八下·东莞期中）计算：
（1）；
（2）．
22．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|．
23．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 16.2.1二次根式的乘法同步练习）如图所示是工人师傅做的一块三角形铁板材料，BC边的长为2 cm，BC边上的高AD为 cm，求该三角形铁板的面积．
24．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是 cm，宽是 cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径.
25．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 16.2.2二次根式的除法 同步练习）如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AC＝4 ，BC＝2 ，AB＝2 .
（1）求△ABC的面积；
（2）求高CD的长．
26．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.3《二次根式的加减》）我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： 、 、 ，
是最简二次根式，共1个
故答案为：B.
【分析】 最简二次根式就是被开方数不含分母，并且不含有开方开的尽的因数或因式的二次根式，根据以上条件即可判断．
2．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、5 ＝ ，故原题计算错误；
B、 ＝ ＝ （a＞0，b＞0），故原题计算正确；
C、 ＝3 ＝ ，故原题计算错误；
D、 ＝ ×16 ＝24 ，故原题计算错误；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法法则： ＝ （a≥0，b≥0），二次根式的除法法则： ＝ （a≥0，b＞0）进行计算即可.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 ，是无理数；
B、 ，是有理数；
C、 ，是有理数；
D、 ，是有理数；
故答案为：A.
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算，然后化简再判断即可.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘除混法法则计算即可。
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】将被开方数分解为2×3×3，进而根据二次根式乘法法则的逆用解答即可.
6．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： m＝ ×(－2 )
=
=
=
∵∴5＜ ＜6，
即5＜m＜6，
故答案为：A．
【分析】根据实数乘法法则先确定出积的符号，再根据二次根式的乘法法则，系数的积作为积的系数，二次根式部分，根指数不变，被开方数相乘，并将计算的结果化为最简二次根式即可。
7．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ cm，BC上的高为2 cm
∴△ABC的面积为 .
故答案为：C.
【分析】先根据三角形的面积公式列式，再运用二次根式乘法运算法则计算即可.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；矩形的性质
【解析】【解答】 ×
=3×2×
=6
= ，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的面积=长乘以宽，列出算式，再利用二次根式的乘法法则计算即可．
9．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ＝2 ，又∵ 是整数，
∴n的最小值为6．
故答案为：B．
【分析】先将 化为最简二次根式，然后根据 是整数可得出正整数n的最小值．
10．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】【解答】∵ab＞0，a＋b＜0，
∴a<0，b<0，
∴ 无意义，故①不正确；
，故②正确
，故③正确.
故答案为：D.
【分析】先根据ab＞0，a＋b＜0，判断出a、b的符号，再逐个式子分析即可.
11．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】根据二次根式的性质： 解答.
12．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由二次根式的定义得： ，
，
，
又 除法运算的除数不能为0，
，
，
则 ，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的性质将二次根式化简即可。
13．【答案】-1
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵, , ，
∴.
故答案为：-1.
【分析】利用分母有理数将x的值化简，再将x,y的值代入代数式，约分即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；积的乘方运算
【解析】【解答】原式= ，
= .
故答案为： .
【分析】将原式化为 ，然后再计算.
15．【答案】x 6
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵ ,
∴x≥0且x-6≥0
解之：x≥0，x≥6
∴x的取值范围为：x≥6.
故答案为：x≥6.
【分析】利用二次根式的乘法法则：，建立关于x的不等式组，求出不等式组的解集。
16．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：另一边长是24÷=
故答案为：。
【分析】另一边长为：面积÷一边长。
17．【答案】12
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：依题意得，正方体的体积为：
2 × × =12cm3．
故答案为：12．
【分析】首先根据正方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘除法法则计算即可求解．
18．【答案】－
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：根据题意可知，2-a＞0
∴a＜2
∴原式=-。
故答案为：-。
【分析】根据二次函数有意义的条件，即可得到a的取值范围，根据二次根式的性质将根号外的因式移动即可。
19．【答案】解：（1）==2；
（2）==3；
（3）==；
（4）==．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
20．【答案】解：原式=
=﹣3××2×
=﹣
=﹣×10
=﹣．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．
21．【答案】（1）解：
=﹣
=﹣4
（2）解：
= × × ×
=
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可；（2）首先除法化成乘法，进而利用二次根式乘法运算法则求出即可．
22．【答案】解：从数轴上a、b的位置关系可知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，
故a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
原式=|a+1|+2|b﹣1|﹣|a﹣b|
=﹣（a+1）+2（b﹣1）+（a﹣b）
=b﹣3．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】本题运用实数与数轴的对应关系确定﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，然后根据开方运算的性质和绝对值的意义化简即可求解．
23．【答案】解：解：根据题意可知，S△ABC=BCAD
=2
=
=14
故三角形铁板的面积为14 cm2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据三角形的面积公式列式，运用二次根式乘法的相关知识进行作答即可。
24．【答案】因为长方形面积为 ，圆的面积等于长方形面积，不妨设圆的半径为r，于是 ，所以 cm.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】能够根据题意设计等量关系，并根据二次根式的乘法法则进行正确的计算是非常重要的.
25．【答案】（1）解：∵AC⊥CB，
∴S△ABC=AC×CB==
（2）解：又∵CD⊥AB，
∴S△ABC==，
∴CD=。
【知识点】二次根式的乘除法；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积等于两直角边积的一半，列式计算即可；
（2）根据直角三角形的面积又等于斜边及其斜边上的高积的一半，结合（1）的结果列式计算即可。
26．【答案】（1）解：因为（4+ ）（4－ ）=16-2=14 1，所以4+ 与4－ 不互为倒数
（2）解：因为（ + ）（ － ）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数
【知识点】有理数的倒数；平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为14 1，所以它们不互为倒数；（2）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为x-y，根据倒数的意义可得x-y=1。
1 / 1初中数学苏科版八年级下册12.2 二次根式的乘除 同步训练
一、单选题
1．（2021八下·武汉月考）下列二次根式中： 、 、 、 ， ，最简二次根式的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： 、 、 ，
是最简二次根式，共1个
故答案为：B.
【分析】 最简二次根式就是被开方数不含分母，并且不含有开方开的尽的因数或因式的二次根式，根据以上条件即可判断．
2．（2020八下·昌吉期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．5
B． （a＞0，b＞0）
C．
D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、5 ＝ ，故原题计算错误；
B、 ＝ ＝ （a＞0，b＞0），故原题计算正确；
C、 ＝3 ＝ ，故原题计算错误；
D、 ＝ ×16 ＝24 ，故原题计算错误；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法法则： ＝ （a≥0，b≥0），二次根式的除法法则： ＝ （a≥0，b＞0）进行计算即可.
3．（2021八上·渭滨期末）以下各数中与 的积是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 ，是无理数；
B、 ，是有理数；
C、 ，是有理数；
D、 ，是有理数；
故答案为：A.
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算，然后化简再判断即可.
4．（2020八上·滨州期末）计算： 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘除混法法则计算即可。
5．（2019八上·西安月考）已知 ， ，则
A．2a B．ab C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】将被开方数分解为2×3×3，进而根据二次根式乘法法则的逆用解答即可.
6．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第一章二次根式单元检测卷b）已知m＝ ×(－2 )，则有( )
A．5【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： m＝ ×(－2 )
=
=
=
∵∴5＜ ＜6，
即5＜m＜6，
故答案为：A．
【分析】根据实数乘法法则先确定出积的符号，再根据二次根式的乘法法则，系数的积作为积的系数，二次根式部分，根指数不变，被开方数相乘，并将计算的结果化为最简二次根式即可。
7．（2019八下·上林月考）在△ABC中， cm，BC上的高为2 cm，则△ABC的面积为（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ cm，BC上的高为2 cm
∴△ABC的面积为 .
故答案为：C.
【分析】先根据三角形的面积公式列式，再运用二次根式乘法运算法则计算即可.
8．（2020八下·察哈尔右翼前旗期末）一个矩形的长和宽分别是 、 ，则它的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；矩形的性质
【解析】【解答】 ×
=3×2×
=6
= ，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的面积=长乘以宽，列出算式，再利用二次根式的乘法法则计算即可．
9．（2019八下·康巴什新期中） 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ＝2 ，又∵ 是整数，
∴n的最小值为6．
故答案为：B．
【分析】先将 化为最简二次根式，然后根据 是整数可得出正整数n的最小值．
10．（2019八下·襄城月考）如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：① ； ② ＝1；③ ＝－b.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】【解答】∵ab＞0，a＋b＜0，
∴a<0，b<0，
∴ 无意义，故①不正确；
，故②正确
，故③正确.
故答案为：D.
【分析】先根据ab＞0，a＋b＜0，判断出a、b的符号，再逐个式子分析即可.
二、填空题
11．（2020八下·曾都期末）将二次根式 化为最简二次根式为 .
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】根据二次根式的性质： 解答.
12．（2020八上·上海期中）当 时，化简 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由二次根式的定义得： ，
，
，
又 除法运算的除数不能为0，
，
，
则 ，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的性质将二次根式化简即可。
13．（初中数学苏科版八年级下册第十二章 二次根式 章末检测）设 , 则 = .
【答案】-1
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵, , ，
∴.
故答案为：-1.
【分析】利用分母有理数将x的值化简，再将x,y的值代入代数式，约分即可得出答案.
14．（2019八下·鹿角镇期中） = ；
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；积的乘方运算
【解析】【解答】原式= ，
= .
故答案为： .
【分析】将原式化为 ，然后再计算.
15．（初中数学苏科版八年级下册12.1-12.2 二次根式，二次根式的乘除 同步练习）如果 ,那么 的取值范围是 .
【答案】x 6
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵ ,
∴x≥0且x-6≥0
解之：x≥0，x≥6
∴x的取值范围为：x≥6.
故答案为：x≥6.
【分析】利用二次根式的乘法法则：，建立关于x的不等式组，求出不等式组的解集。
16．（2018八下·宁波期中）长方形的面积是 ，其中一边长是 ，则另一边长是 。
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：另一边长是24÷=
故答案为：。
【分析】另一边长为：面积÷一边长。
17．（2017八下·临洮期中）若一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为
cm3．
【答案】12
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：依题意得，正方体的体积为：
2 × × =12cm3．
故答案为：12．
【分析】首先根据正方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘除法法则计算即可求解．
18．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 16.2.1二次根式的乘法同步练习）把( －2) 根号外的因式移到根号内后，其结果是 .
【答案】－
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：根据题意可知，2-a＞0
∴a＜2
∴原式=-。
故答案为：-。
【分析】根据二次函数有意义的条件，即可得到a的取值范围，根据二次根式的性质将根号外的因式移动即可。
三、解答题
19．把下列二次根式化成最简二次根式．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】解：（1）==2；
（2）==3；
（3）==；
（4）==．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
20．
【答案】解：原式=
=﹣3××2×
=﹣
=﹣×10
=﹣．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．
21．（2016八下·东莞期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=﹣
=﹣4
（2）解：
= × × ×
=
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可；（2）首先除法化成乘法，进而利用二次根式乘法运算法则求出即可．
22．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|．
【答案】解：从数轴上a、b的位置关系可知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，
故a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
原式=|a+1|+2|b﹣1|﹣|a﹣b|
=﹣（a+1）+2（b﹣1）+（a﹣b）
=b﹣3．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】本题运用实数与数轴的对应关系确定﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，然后根据开方运算的性质和绝对值的意义化简即可求解．
23．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 16.2.1二次根式的乘法同步练习）如图所示是工人师傅做的一块三角形铁板材料，BC边的长为2 cm，BC边上的高AD为 cm，求该三角形铁板的面积．
【答案】解：解：根据题意可知，S△ABC=BCAD
=2
=
=14
故三角形铁板的面积为14 cm2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据三角形的面积公式列式，运用二次根式乘法的相关知识进行作答即可。
24．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是 cm，宽是 cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径.
【答案】因为长方形面积为 ，圆的面积等于长方形面积，不妨设圆的半径为r，于是 ，所以 cm.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】能够根据题意设计等量关系，并根据二次根式的乘法法则进行正确的计算是非常重要的.
25．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 16.2.2二次根式的除法 同步练习）如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AC＝4 ，BC＝2 ，AB＝2 .
（1）求△ABC的面积；
（2）求高CD的长．
【答案】（1）解：∵AC⊥CB，
∴S△ABC=AC×CB==
（2）解：又∵CD⊥AB，
∴S△ABC==，
∴CD=。
【知识点】二次根式的乘除法；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积等于两直角边积的一半，列式计算即可；
（2）根据直角三角形的面积又等于斜边及其斜边上的高积的一半，结合（1）的结果列式计算即可。
26．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.3《二次根式的加减》）我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
【答案】（1）解：因为（4+ ）（4－ ）=16-2=14 1，所以4+ 与4－ 不互为倒数
（2）解：因为（ + ）（ － ）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数
【知识点】有理数的倒数；平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为14 1，所以它们不互为倒数；（2）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为x-y，根据倒数的意义可得x-y=1。
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