2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末检测试卷(二)（word版含解析）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若x>0，则x＋的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．2 D．4
2．不等式x2－2x－3<0的解集为(　　)
A．{x|x<－3或x>1}
B．{x|－3C．{x|x<－1或x>3}
D．{x|－13．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a2＞b2 B.＜
C.≥ D.＞
4．已知－1≤a≤3,2≤b≤4，则2a－b的取值范围是(　　)
A．－6≤2a－b≤4 B．0≤2a－b≤10
C．－4≤2a－b≤2 D．－5≤2a－b≤1
5．若x>y>1，则下列四个数中最小的数是(　　)
A. B.
C. D.
6．若aA.<1 B.<
C．|a|>－b D．b2>a2
7．关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－1或x>3} 　 B．{x|－1C．{x|13}
8．若规定＝ad－bc，则不等式0<<2的解集是(　　)
A．{x|－1B．{x|－C．{x|1D．{x|－二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若非零实数a，b满足aA.<1 B.＋≥2
C.< D．a2＋a10．下列说法正确的是(　　)
A．x＋(x>0)的最小值是2
B.的最小值是
C.的最小值是2
D．2－3x－的最大值是2－4
11．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax－1)(x＋1)＜0的解集可能是(　　)
A. B.
C. D．R
12．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞0 B．b＞0
C．c＞0 D．a＋b＋c＞0
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．关于x的不等式＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．
14．若不等式ax2＋2ax－1<0的解集为R，则a的取值范围是________．
15．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为________．
16．某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是________．(假设每件衬衫的售价是m)
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某班有48人，计划于元旦乘出租车前往某景区游玩，现需从A，B两种类型的出租车选择一种，A型号的出租车比B型号的少5辆，若选择A型号出租车，每辆车乘坐4人，则出租车不够，每辆车乘坐5人，则有一辆车没有坐满但不空；若选择B型号出租车，每辆车乘坐3人，则出租车不够，每辆车乘坐4人，则出租车有剩余，设A型号的出租车有x辆，用不等式将题目中的不等关系表示出来．
18．(12分)若实数x>0，y>0，且满足x＋y＝8－xy.
(1)求xy的最大值；
(2)求x＋y的最小值．
19．(12分)设命题p：方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围．
20．(12分)已知关于x的不等式(ax－1)(x－1)<0.
(1)当a＝2时，解上述不等式；
(2)当a<1时，解上述关于x的不等式．
21．(12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．
(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大．
(注：价值损失的百分率＝×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)
22．(12分)已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1(t∈R)．
(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0；
(2)若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围．
第二章　一元二次函数、方程和不等式 章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若x>0，则x＋的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．2 D．4
答案　D
解析　∵x>0，∴x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．
2．不等式x2－2x－3<0的解集为(　　)
A．{x|x<－3或x>1}
B．{x|－3C．{x|x<－1或x>3}
D．{x|－1答案　D
解析　∵方程x2－2x－3＝0的两实数根为x1＝－1，x2＝3，
∴不等式x2－2x－3<0的解集为{x|－13．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a2＞b2 B.＜
C.≥ D.＞
答案　D
解析　当a＝1，b＝－2时，1＞－2，而12＜(－2)2＝4，＞，而无意义，故ABC错误；
因为c2＋1＞0，所以＞，D正确．
4．已知－1≤a≤3,2≤b≤4，则2a－b的取值范围是(　　)
A．－6≤2a－b≤4 B．0≤2a－b≤10
C．－4≤2a－b≤2 D．－5≤2a－b≤1
答案　A
解析　因为－1≤a≤3,2≤b≤4，
可得－2≤2a≤6，－4≤－b≤－2，
所以－2－4≤2a－b≤6－2，
即－6≤2a－b≤4.
5．若x>y>1，则下列四个数中最小的数是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为x>y>1，
所以>＝1，＝>＝1，>1，<＝1，
所以四个数中最小的数是.
6．若aA.<1 B.<
C．|a|>－b D．b2>a2
答案　C
解析　若a对于A，－1＝>0，所以>1，故A不成立；
对于B，－＝>0，所以>，故B不成立；
对于C，因为a－b，所以|a|>－b，故C成立；
对于D，由－a>－b>0，所以(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故D不成立．
7．关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－1或x>3} 　 B．{x|－1C．{x|13}
答案　A
解析　不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，故a>0，＝1，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0即a(x－3)>0，即(x＋1)(x－3)>0，故解集是{x|x<－1或x>3}．
8．若规定＝ad－bc，则不等式0<<2的解集是(　　)
A．{x|－1B．{x|－C．{x|1D．{x|－答案　D
解析　因为＝ad－bc，
所以＝3－x2，
所以0<3－x2<2，即1解得1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若非零实数a，b满足aA.<1 B.＋≥2
C.< D．a2＋a答案　ABD
解析　当a当<0时，＋≥2不成立；
因为－＝<0，则<一定成立；
因为a2－b2＋a－b＝(a－b)(a＋b＋1)符号不定，故a2＋a10．下列说法正确的是(　　)
A．x＋(x>0)的最小值是2
B.的最小值是
C.的最小值是2
D．2－3x－的最大值是2－4
答案　AB
解析　由基本不等式可知，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，故A正确；
＝≥，当且仅当x＝0时取得等号，故B正确；
＝＋≥2，当且仅当＝，即x2＋4＝1时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当x＝－1时，2－3×(－1)－＝9＞2－4，没有最大值，故D错误．
11．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax－1)(x＋1)＜0的解集可能是(　　)
A. B.
C. D．R
答案　AB
解析　由(ax－1)(x＋1)＜0，分类讨论a如下．
当a＞0时，－1＜x＜；
当a＝0时，x＞－1；
当－1＜a＜0时，x＜或x＞－1；
当a＝－1时，x≠－1；
当a＜－1时，x＜－1或x＞.
12．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞0 B．b＞0
C．c＞0 D．a＋b＋c＞0
答案　BCD
解析　对于A，∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，
故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，即a＜0，故A错误；
对于B，C，由题意知2和－是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
则有＝2×＝－1＜0，－＝2＋＝＞0，
又∵a＜0，故b＞0，c＞0，故B，C正确；
对于D，将x＝1代入，即a＋b＋c＞0，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．关于x的不等式＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．
答案　m<0
解析　由＞0，得(mx－1)(x－2)＞0，
故不等式(mx－1)(x－2)＞0的解集为，
所以即m＜0，
所以m的取值范围是m＜0.
14．若不等式ax2＋2ax－1<0的解集为R，则a的取值范围是________．
答案　－1解析　当a＝0时，不等式ax2＋2ax－1<0转化为－1<0，解集为R，符合题意；
当a≠0时，不等式ax2＋2ax－1<0解集为R时，
应满足
解得－1综上，实数a的取值范围是－115．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为________．
答案　25
解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)＋(1＋y)＝10≥2，
即(1＋x)(1＋y)≤25，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立．
所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25.
16．某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是________．(假设每件衬衫的售价是m)
答案　45≤m≤65
解析　设每件衬衫提价x元，则每件衬衫的售价为(40＋x)元，
则每天出售衬衫的净收入为(40＋x－30)(40－x)＝(－x2＋30x＋400)元，
由题可知，－x2＋30x＋400≥525，
整理得(x－25)(x－5)≤0，解得5≤x≤25，
∴45≤40＋x≤65.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某班有48人，计划于元旦乘出租车前往某景区游玩，现需从A，B两种类型的出租车选择一种，A型号的出租车比B型号的少5辆，若选择A型号出租车，每辆车乘坐4人，则出租车不够，每辆车乘坐5人，则有一辆车没有坐满但不空；若选择B型号出租车，每辆车乘坐3人，则出租车不够，每辆车乘坐4人，则出租车有剩余，设A型号的出租车有x辆，用不等式将题目中的不等关系表示出来．
解　由已知得，A型号的出租车有x辆，则B型号出租车有(x＋5)辆，
18．(12分)若实数x>0，y>0，且满足x＋y＝8－xy.
(1)求xy的最大值；
(2)求x＋y的最小值．
解　(1)∵x>0，y>0，∴8－xy＝x＋y≥2，
即(＋4)(－2)≤0，解得0＜xy≤4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，
∴xy的最大值为4.
(2)8－(x＋y)＝xy≤2，
∴[(x＋y)＋8][(x＋y)－4]≥0，
∴x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
即x＋y的最小值为4.
19．(12分)设命题p：方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围．
解　(1)若命题p为真命题，即方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根，
则有Δ＝(2m－4)2－4m＝4m2－20m＋16>0，
解得m<1或m>4.
∴实数m的取值范围为{m|m<1或m>4}．
(2)若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立．
设y＝x2－4x＋13只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可．
∵y＝x2－4x＋13＝(x－2)2＋9,2≤x≤3.
∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3.
∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m|－3≤m≤3}．
∵命题p，q一真一假，
∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有
解得m<－3或m>4；
若命题p为假命题，命题q为真命题，则有
解得1≤m≤3.
综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m|m<－3或1≤m≤3或m>4}．
20．(12分)已知关于x的不等式(ax－1)(x－1)<0.
(1)当a＝2时，解上述不等式；
(2)当a<1时，解上述关于x的不等式．
解　(1)当a＝2时，代入可得(2x－1)(x－1)<0，
解不等式可得所以不等式的解集为.
(2)若a<1，关于x的不等式(ax－1)(x－1)<0，
当a＝0时，代入不等式可得－x＋1<0，解得x>1；
当01解不等式可得1当a<0时，化简不等式可得a(x－1)<0，解不等式可得x>1或x<，
综上可知，当a＝0时，不等式解集为{x|x>1}，当021．(12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．
(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大．
(注：价值损失的百分率＝×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)
(1)解　由题意可设价值与重量的关系式为y＝kx2，
∵3克拉的钻石的价值是54 000美元，
∴54 000＝k·32，解得k＝6 000，
∴y＝6 000x2，
∴此钻石的价值与重量的关系式为y＝6 000x2.
(2)证明　若两颗钻石的重量分别为m，n克拉，
则原有价值是6 000(m＋n)2，
现有价值是6 000m2＋6 000n2，价值损失的百分率：
×100%
＝×100%≤＝，
当且仅当m＝n时，等号成立．
∴当m＝n时，价值损失的百分率最大．
22．(12分)已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1(t∈R)．
(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0；
(2)若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围．
解　(1)∵二次函数y＝x2－2tx＋t2－1有两个互为相反数的零点，
∴方程x2－2tx＋t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设为x1，x2，∴x1＋x2＝0.
由根与系数的关系可得，
x1＋x2＝2t＝0，解得t＝0.
∵x2－2tx＋t2－1≥0，
∴x2－1≥0，解得x≥1或x≤－1.
∴该不等式的解集为{x|x≥1或x≤－1}．
(2)∵Δ＝(－2t)2－4(t2－1)＝4t2－4t2＋4＝4>0，
∴ t∈R，该方程总有两个不相等的实数根．
∵方程的两个实数根均大于－2且小于4，
∴解得－1∴实数t的取值范围是{t|－1