人教版数学八年级下册 第十六章 二次根式 单元测试题
一、单选题
1．（2020八上·雅安期中） 的值为（ ）
A．4 B．-4 C．±4 D．2
2．（2020八上·隆昌期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八上·成都期中）估计 的大小应（ ）
A．在2～3之间 B．在3～4之间 C．在4～5之间 D．在5～6之间
4．（2020八上·北京期中）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八上·昌平期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八上·锦江月考）如果 ， ，那么 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·四川期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020八上·青神期中）函数y＝ 的自变量x的取值范围为 ．
12．（2020八上·雅安期中）比较大小： （用 或 填空）
13．（2020八上·普宁期中）①比较大小：- -4；② 的倒数为 ．
14．（2020八上·宜兴期中）若x、y满足y= + ＋4，xy= .
15．（2020九上·射洪期中）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a的值是 ．
16．（2020八上·港南期末）观察下列等式：
① ；
②
③
…
参照上面等式计算方法计算：
.
三、计算题
17．（2020九上·射洪期中）计算或化简：
（1）
（2）
四、解答题
18．（2020九上·衡阳月考）若实数 满足 ，求 的平方根．
19．（2020九上·洛阳月考）已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简 － ＋ .
20．（2020八上·咸阳月考）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： .
五、综合题
21．（2020八上·青山期中）我们将 、 称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和 中的“ ”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如 ， ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）比较大小 （用“ ”、“ ”或“ ”填空）；
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）计算：
22．（2020八上·成都月考）解答题．
（1）已知 ， 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ．
故答案为：A．
【分析】由二次根式的性质，求出答案即可。
2．【答案】D
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，D符合题意．
【分析】根据二次根式的性质及立方根的意义分别解答，然后判断即可.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，16＜24＜25，
∴4＜ ＜5，
即4＜ ＜5，
故答案为：C．
【分析】根据题意，由二次根式的性质，估算其范围即可。
4．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，
3﹣x≥0，
解得，x≤3．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可得到x的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
6．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解： ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】先利用分母有理化得到a=-( )，从而得到a与b的关系．
7．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的加减乘除法则计算即可。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= + - = + - = ，故选B．
【分析】正确进行根式的加减法，迅速运算解答，是解此类单选题的基本途径．
9．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．
【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．
10．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．
11．【答案】x≥-5且x≠0
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得： ，解得x≥-5且x≠0．
故答案为:x≥-5且x≠0．
【分析】根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，即可得到x的取值范围。
12．【答案】<
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：<．
【分析】将两个式子进行分母有理化，再比较大小即可。
13．【答案】＜；
【知识点】无理数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解：①∵ ，
∴
② 的倒数是
【分析】（1）先根据根式的计算公式把根号外的数移到根号内，再根据比较实数大小的方法比较被开方数的大小即可．（2）根据倒数的计算方法计算即可．
14．【答案】8
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x=2，y=4，
∴xy=2×4=8.
故答案为：8.
【分析】根据二次根式有意义的条件可确定x的值，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可.
15．【答案】5
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与
∴2a-3=7，
解得：a=5．
故答案为：5
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，据此解答即可.
16．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 ，
=
=
= .
故答案为： .
【分析】利用分母有理化将每一个式子进行化简，然后利用二次根式的加减计算即可.
17．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
= ．
【知识点】实数的运算；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用负整数幂的性质，零指数幂的性质，二次根式的性质将原式简化，然后进行实数运算即得；
（2）利用二次根式的性质将每个二次根式化为最简二次根式，然后进行加减运算即得.
18．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入上式得 ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
【知识点】平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答．
19．【答案】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|，
=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c），
=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c，
=3a+b﹣c.
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】根据二次根式的性质可得： ，根据三角形三边关系可得：a+b-c＞0，b+c-a＞0，c-b-a<0，然后化简绝对值.
20．【答案】解：由数轴，得 ， ， ， .
则原式 .
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而根据二次根式的性质及绝对值的意义化简合并即可.
21．【答案】（1）>
（2）解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（ ）2﹣2
＝182﹣2
＝324﹣2
＝322
答：x2+y2的值为322．
（3）解：
＝ ＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝1﹣
＝
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵ ＝
；
比较 与
∵ ＞ ，2＞ ，
∴ +2＞ + ，
∴ 〉 ．
【分析】（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；（2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单；（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．
22．【答案】（1）解： ，
，
，
的整数部分是 ，小数部分是 ，
， ，
（2）解： ， ，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）估算x的整数部分的值，即可得出a、b的值，进而求出 的值即可．（2）先由a－b、b－c的值得出a－c的值，再将 转化为 即 ，整体代入求值即可．
1 / 1人教版数学八年级下册 第十六章 二次根式 单元测试题
一、单选题
1．（2020八上·雅安期中） 的值为（ ）
A．4 B．-4 C．±4 D．2
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ．
故答案为：A．
【分析】由二次根式的性质，求出答案即可。
2．（2020八上·隆昌期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，D符合题意．
【分析】根据二次根式的性质及立方根的意义分别解答，然后判断即可.
3．（2020八上·成都期中）估计 的大小应（ ）
A．在2～3之间 B．在3～4之间 C．在4～5之间 D．在5～6之间
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，16＜24＜25，
∴4＜ ＜5，
即4＜ ＜5，
故答案为：C．
【分析】根据题意，由二次根式的性质，估算其范围即可。
4．（2020八上·北京期中）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，
3﹣x≥0，
解得，x≤3．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可得到x的取值范围。
5．（2020八上·昌平期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
6．（2020八上·锦江月考）如果 ， ，那么 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解： ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】先利用分母有理化得到a=-( )，从而得到a与b的关系．
7．（2020九上·四川期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的加减乘除法则计算即可。
8．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= + - = + - = ，故选B．
【分析】正确进行根式的加减法，迅速运算解答，是解此类单选题的基本途径．
9．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．
【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．
10．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．
二、填空题
11．（2020八上·青神期中）函数y＝ 的自变量x的取值范围为 ．
【答案】x≥-5且x≠0
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得： ，解得x≥-5且x≠0．
故答案为:x≥-5且x≠0．
【分析】根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，即可得到x的取值范围。
12．（2020八上·雅安期中）比较大小： （用 或 填空）
【答案】<
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：<．
【分析】将两个式子进行分母有理化，再比较大小即可。
13．（2020八上·普宁期中）①比较大小：- -4；② 的倒数为 ．
【答案】＜；
【知识点】无理数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解：①∵ ，
∴
② 的倒数是
【分析】（1）先根据根式的计算公式把根号外的数移到根号内，再根据比较实数大小的方法比较被开方数的大小即可．（2）根据倒数的计算方法计算即可．
14．（2020八上·宜兴期中）若x、y满足y= + ＋4，xy= .
【答案】8
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x=2，y=4，
∴xy=2×4=8.
故答案为：8.
【分析】根据二次根式有意义的条件可确定x的值，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可.
15．（2020九上·射洪期中）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a的值是 ．
【答案】5
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与
∴2a-3=7，
解得：a=5．
故答案为：5
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，据此解答即可.
16．（2020八上·港南期末）观察下列等式：
① ；
②
③
…
参照上面等式计算方法计算：
.
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 ，
=
=
= .
故答案为： .
【分析】利用分母有理化将每一个式子进行化简，然后利用二次根式的加减计算即可.
三、计算题
17．（2020九上·射洪期中）计算或化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
= ．
【知识点】实数的运算；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用负整数幂的性质，零指数幂的性质，二次根式的性质将原式简化，然后进行实数运算即得；
（2）利用二次根式的性质将每个二次根式化为最简二次根式，然后进行加减运算即得.
四、解答题
18．（2020九上·衡阳月考）若实数 满足 ，求 的平方根．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入上式得 ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
【知识点】平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答．
19．（2020九上·洛阳月考）已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简 － ＋ .
【答案】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|，
=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c），
=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c，
=3a+b﹣c.
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】根据二次根式的性质可得： ，根据三角形三边关系可得：a+b-c＞0，b+c-a＞0，c-b-a<0，然后化简绝对值.
20．（2020八上·咸阳月考）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： .
【答案】解：由数轴，得 ， ， ， .
则原式 .
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而根据二次根式的性质及绝对值的意义化简合并即可.
五、综合题
21．（2020八上·青山期中）我们将 、 称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和 中的“ ”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如 ， ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）比较大小 （用“ ”、“ ”或“ ”填空）；
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）计算：
【答案】（1）>
（2）解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（ ）2﹣2
＝182﹣2
＝324﹣2
＝322
答：x2+y2的值为322．
（3）解：
＝ ＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝1﹣
＝
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵ ＝
；
比较 与
∵ ＞ ，2＞ ，
∴ +2＞ + ，
∴ 〉 ．
【分析】（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；（2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单；（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．
22．（2020八上·成都月考）解答题．
（1）已知 ， 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）解： ，
，
，
的整数部分是 ，小数部分是 ，
， ，
（2）解： ， ，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）估算x的整数部分的值，即可得出a、b的值，进而求出 的值即可．（2）先由a－b、b－c的值得出a－c的值，再将 转化为 即 ，整体代入求值即可．
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