【精品解析】2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第21讲 图形的平移与旋转

2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第21讲 图形的平移与旋转
一、单选题
1．（2020八下·太原月考）如图，△ABC沿BC所在直线向左平移4cm得到△A'B'C'，若△ABC的周长为20cm，则四边形A'B'CA的周长为（　　）
A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】根据题意可知，AD=CF=4，
BF=BC+CF，DF=AC，
AB+BC+AC=20
所以四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=4+AB+BC+4+AC=28
故答案为：C
【分析】根据平移的性质，可找到边长的长度，计算四边形的周长即可。
2．（2020八下·建湖月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念. 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180°后能与原图重合.
3．如图， 与 关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC= C，②AC= ，③OA=O ，④ ABC与 的面积相等，其中正确的有（　　）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵ 与 关于点O成中心对称 ，
∴△ABC≌△A1B1C1，
∴∠BAC=∠B1A1C1，AC=A1C1，△ABC与△A1B1C1的面积相等，
∴①②④正确，
由中心对称的性质，得OA=OA1，∴③正确；
故选D.
【分析】中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，②中心对称的两个图形是全等形，其对应线段互相平行（或共线）且相等；据此逐一判断即可.
4．（2019八上·利辛月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（-3，5)，B(-4，3)，A1(3，3)，则B1的坐标为（　　）
A．(1，2) B．(1，4) C．(2，1) D．(4，1)
【答案】C
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】根据点A的坐标以及点A1的坐标，即可得到点的平移规律
即将四边形的四个点，先往右平移6个单位长度，再往下平移2个单位长度
∴点B1的坐标为（2,1）
故答案为：C。
【分析】根据平移前后的两个点的坐标得到平移的规律，即可计算点B平移后的坐标。
5．下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的图形有（　　）
①正方形；②等边三角形；③长方形；④角；⑤平行四边形；⑥圆
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】正方形、长方形、平行四边形、圆旋转180°能与自身完全重合。
故答案为：C。
【分析】 绕某个点旋转180°能与自身重合的图形是中心对称图形，故可判断有4个。
6．（2019八下·太原期中）如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（2，0）
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．
解：如图，
连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，
两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1).
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等,连接AD、BE，分别作出线段AD、BE的垂直平分线，求出两条直线的交点的坐标即可.
7．（2019八上·景县期中）一辆模型赛车，先前进1m，然后沿原地逆时针方向旋转，旋转角为a(0A．108° B．120° C．72 ° D．36°
【答案】C
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，赛车原地绕了一圈，旋转角为360°÷5=72°。
【分析】根据赛车旋转五次后回到出发点，即可得到其旋转的角度之和为360°，即可得到答案。
8．（2019八上·滦州期中）如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G．则旋转后的图中，全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．
故答案为：C
【分析】根据旋转的性质可得△A′B′C≌△ADC；又∠A′CB′- ∠ACA′=∠ADC-∠ACA′，即 ∠B′CG= ∠DCE，可证得△B′CG≌△DCE，则CG=CE，B′G=DE，∠B′GC=∠DEC，由A′B′-B′G=AD-DE得A′G=AE，180°-∠B′GC=180°-∠DEC得∠A ′GC=∠AEC ，可证得△ACE≌△A′CG；由AC-CG=A′C-CE得AG=A′E，又∠A ′=∠A，∠AFG=∠A′FE,可得△AGF≌△A′EF。所以全等的三角形共有4对。
9．（2018八上·孝感月考）如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形的个数有(不包含△ABC本身)（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】如图可得共三种。
【分析】由旋转易得共三种。
10．（2020七下·明水月考）如图，直角三角形ABC的直角边AB=6，BC=8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交AC于点G，BE=2，三角形CEG的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC平移的距离是4；②EG=4.5；③AD∥CF；④四边形ADFC的面积为6．其中正确的结论是
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】平移的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：(1)因为点B，E是对应点，且BE＝2，所以△ABC平行的距离是2，则①不符合题意；②根据题意得，13.5×2＝(8－2)EG，解得EG＝4.5，则②符合题意；③因为A，D是对应点，C，F是对应点，所以AD∥CF，则③符合题意；④平行四边形ADFC的面积为AB·CF＝AB·BE＝6×2＝12，则④不符合题意．
故答案为：B．
【分析】(1)对应线段的长度即是平移的距离；(2)根据EC的长和△CEG的面积求EG；(3)平移前后，对应点的连线平行且相等；(4)根据平行四边形的面积公式求．
11．（2019八下·丹东期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O……依此规律，得到等腰直角三角形A2 017OB2 017.则点B2 017的坐标（　　）
A．（22 017，－22 017） B．（22 016，－22 016）
C．（22 017，22 017） D．（22 016，22 016）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】∵将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，A1B 1=OA1，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O，A2B2=A2O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=504…1，
∴点B2017与B1同在第四象限，
∵﹣4=﹣22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，-22017），
故答案为：A.
【分析】根据旋转的条件发现每4次旋转一周，且B1（2，﹣2），B2（﹣4，-4），B3（-8，8），B4（16，16）……，因为2017÷4=504……1，所以可得点B2017与B1同在第四象限，由于B1（21，﹣21），从而可得点B2017（22017，-22017）。
12．（2017八下·江阴期中）有两个全等的含30°角的直角三角板重叠在一起，如图，将△A′B′C′绕AC的中点M转动，斜边A′B′刚好过△ABC的直角顶点C，且与△ABC的斜边AB交于点N，连接AA′、C′C、AC′．若AC的长为2，有以下五个结论：①AA′=1；②C′C⊥A′B′；③点N是边AB的中点；④四边形AA′CC′为矩形；⑤A′N=B′C= ，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：①∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC=2，
∴AM=MC=A′M=MC′=1，
∵∠MA′C=30°，
∴∠MCA′=∠MA′C=30°，
∴∠A′MC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴∠A′MA=180°﹣A′MC=180°﹣120°=60°，
∴∠AMA′=∠C′MC=60°，
∴△AA′M是等边三角形，
∴AA′=AM=1，故①正确；
②∵∠A′CM=30°，∠MCC′=60°，
∴∠ACA′=∠A′CM+∠MCC′=90°，
∴CC′⊥A′C，故②正确；
③∵∠A′CA=∠NAC=30°，∠BCN=∠CBN=60°，
∴AN=NC=NB，故③正确；
④∵△AA′M≌△C′CM，
∴AA′=CC′，∠MAA′=∠C′CM=60°，
∴AA′∥CC′，
∴四边形AA′CC′是平行四边形，
∵∠AA′C=∠AA′M+∠MA′C=90°，
四边形AA′CC′为矩形，故④正确；
⑤AN= AB= ，
∠NAA′=30°，∠AA′N=90°，
∴A′N= AN= ，故⑤错误；
故选：C．
【分析】①根据旋转的性质，可得AM=MC=A′M=MC′=1，根据等腰三角形的性质，可得∠MCA′，根据等边三角形的判定，可得答案；
②根据垂线的性质：过直线外一点与已知直线垂直的直线只有一条，可得答案；
③根据等腰三角形的判定，可得答案
④根据平行四边形的判定，可得四边形AA′CC′是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得答案；
⑤根据勾股定理可得BA的长，根据AB与AN的关系，可得AN的长，根据直角三角形的性质，可得答案．
二、填空题
13．如图，楼梯的长为5m，高为3m，计划在楼表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　 m．
【答案】7
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：AC= =4（m），
3+4=7（m）
故答案为：7．
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
14．（2020八上·临颍期末）如图，将 沿 方向平移得到 ，如果 , , ，那么图中阴影部分的面积为　 　
【答案】26
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】∵△ABC沿射线BC的方向平移得到△DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴DE=AB=8，S△ABC=S△DEF，
∵EH=DE-DH，DH=3，
∴EH=8-3=5，
∵S△ABC=S梯形ABEH+S△HEC，S△DEF= S阴影+S△HEC，S△ABC=S△DEF，
∴S阴影=S梯形ABEG，
∴S阴影= (AB+HE)BE= ×(8+5)×4=26(cm2)，
故答案为：26.
【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得△ABC和△DEF全等，然后判断出阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，再列式计算即可得解.
15．（2020八下·栖霞期中）如图，将△ABC绕点 旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G.若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝　 　°.
【答案】65
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：AB=AE，∠BAC=∠EAF，
又∵∠B＝70°，
∴∠BAE=180°-2×70°=40°，
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠FAG=40°，
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=25°，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=40°+25°=65°，
故答案为：65.
【分析】根据旋转前后的图形全等，可推出∠BAE=∠FAG=40°，∠F=∠C=25°，根据三角形外角的性质即可求解.
16．（2019八下·吉安期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为　 　．
【答案】6
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，
∴AB＝2，
∴阴影部分的面积之和为3×2＝6．
故答案为：6．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
17．（2019八下·枣庄期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B，点A的对应点A'是直线y= x上一点，则点B与其对应点B'间的距离为　 　.
【答案】5
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，点A的坐标为（0,4）
∴点A'的纵坐标为4
∵A点的对应点为A'是直线y=上的一点
∴=4，解得x=5.
∴点B与其对应点B'间的距离为5
【分析】根据点A'为直线上的一点，即可计算得到其坐标，根据平移的性质计算得到答案即可。
18．（2018八上·重庆期末）如图，在 中， ， ， ， 可以由 绕点C顺时针旋转得到，其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点，连接 ，且A、 、 在同一条直线上，则 的长为　 　．
【答案】6
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】 在 中， ， ， ，
，故AB ，
由 绕点C顺时针旋转得到，其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点，连接 ，且A、 、 在同一条直线上，
， ，
，
，
，
，
故答案为6．
【分析】利用直角三角形的性质得出 ，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出 ，进而得出答案．
19．（2017八下·宁波期中）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1， A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 　 　
【答案】
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】如图，
过ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，
则易证△OEM≌△OFN，
则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，
如正方形ABCD的边长是1，则OMCN的面积是 ，
因而本题的图形中的每个阴影部分的面积都相等，都是 ，
有n个正方形，则重合部分由n-1个，则总面积是 ．
故答案为：.
【分析】本题要抓住旋转后的阴影面积不变，由不规则的图形，化为已知图形便于求之，还有注意点是，正方形的个数多于阴影面积的个数，这里容易出错，本题有一定的难度.
20．（2019八下·江津期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为　 　.
【答案】(8052，0)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），
∴AB= =5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，
∵2013÷3=671，
∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵671×12=8052，
∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）.
故答案为：（8052，0）.
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可.
三、作图题
21．（2019八下·盐湖期末）在平面直角坐标系中， 的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）.
（1）将 沿 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的 .
（2）将 绕着点 顺时针旋转 ，画出旋转后得到的 ；直接写出点 的坐标.
（3）作出 关于原点 成中心对称的 ，并直接写出 的坐标.
【答案】（1）解： 如图所示；
（2）解： 如图所示，由图可知 ；
（3）解： 如图所示，由图可知 .
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）图形的平移时，我们只需要把三个顶点ABC,按照点的平移方式，平移得到新点 ，然后顺次连接各点即为平移后的 .（2）首先只需要画出B，C旋转后的对应点 ， ，然后顺次连接各点即为旋转过后的 ，然后写出 坐标即可；（3）首先依次画出点ABC关于原点 成中心对称的对应点 ，然后顺次连接各点即可得到 ，然后写出 坐标即可.
四、解答题
22．（2019八下·太原期中）在平面直角坐标系 中， 点的坐标为 ，将 绕原点 顺时针旋转 得到 ，求点 的坐标．
【答案】解： 轴于 ， 轴于 ，如图，
， ，
绕原点 顺时针旋转 得到 可看作是 绕原点 顺时针旋转 得到 ，
则 ， ，
所以点 的坐标为 ．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质，可根据A点的旋转找到 ，写出 的坐标。
23．如图，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1，求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．
【答案】解：∵等边△ABC，
∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP= ，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′= ，∠BP′P=60°，
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′2+PP′2=AP2，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B=30°，BM= ，
由勾股定理得：P′M= ，
∴AM=1+ = ，
由勾股定理得，等边△ABC的边长AB=
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【分析】根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP= ，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′= ，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM= ，P′M= ，根据勾股定理即可求出答案．
24．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF=AE，连接DF：
（1）旋转△ADF可得到哪个三角形？
（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（3）BE与DF的数量关系、位置关系如何？为什么？
【答案】解：（1）旋转△ADF可得△ABE，
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠DAF=90°，
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE，
∴旋转△ADF可得△ABE；
（2）由旋转的定义可知：旋转中心为A，因为AD=AB，所以AD和AB之间的夹角为旋转角即90°；
（3）BE=DF且BE⊥BE．理由如下：
延长BE交F于H点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵△ABE按逆时针方向旋转90°△ADF，
∴BE=DF，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠DHB=∠BAE=90°，
∴BE⊥DF．
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【分析】（1）旋转△ADF可得△ABE，通过证明△ADF≌△ABE即可说明问题；
（2）旋转的定义和旋转角的定义解答即可；
（3）根据旋转的性质得BE=DF，∠1=∠2，再根据三角形内角定理得到∠DHB=∠BAE=90°，所以BE⊥DF．
25．（2019八下·宁化期中）把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图1)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角 满足条件 四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图2).
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）在上述旋转过程中，两个直角三角形的重叠部分面积是否会发生改变？证明你的结论.
【答案】（1）解：BH=CK.四边形CHGK的面积没有变化.∵△ABC是等腰直角三角形,O为斜边中点,∴CG=BG,CG⊥AB,∴∠ACG=∠B=45°,∵∠BGH与∠CGK均为旋转角,∴∠BGH=∠CGK,
因此△CGK可以看作是由△BGH绕点O顺时针旋转而得,故BH=CK,S△CGK=S△BGH,
（2）解：∴S四边形CHGK=S△CGK+S△CGH=S△BGH+S△CGH=S△BCG= S△ABC= × ×4×4=4.
即四边形CHGK的面积在旋转过程中没有变化,始终为4.
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得到旋转角，得出角度关系，判断出线段关系。
（2）利用四边形 CHGK 的面积与两个三角形的关系，可判断是否发生变化。
26．（2019八上·榆树期中）如图①，在△ABC中，AB=AC，D是射线BC上一点(点D不与点B重合)，连结AD，将AD绕着点A逆时针旋转∠BAC的度数得到AE，连结DE、CE。
（1）当点D在边BC上，求证：△BAD≌△CAE。
（2）当点D在边BC上，若∠BAC=a，求∠DCE的大小．(用含a的代数式表示)。
（3）当DE与△ABC的边所在的直线垂直，且∠BAC=40°时，请借助图②，直接写出∠CED的大小。
【答案】（1）解：由旋转，得∠DAE=∠BAC，AD=AE
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE
∵AB=AC
∴△BAD≌△CAE
（2）解：∵∠BAC=α，AB=AC，
∴∠B=∠ACB= (180°-a)
∵△BAD≌△CAE
∴∠ACE=∠B= (180°-a)．
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=180°-a
（3）解：20°或50°
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得∠DAE=∠BAC，AD=AE，则有∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，又已知AB=AC，利用”SAS“可证得△BAD≌△CAE；
（2）先利用等腰三角形的性质由AB=AC得∠B=∠ACB= (180°-a)，由（1）的结论可得∠ACE=∠B= (180°-a)，故∠DCE=∠ACB+∠ACE=180°-a；
（3）分①当DE⊥AC时、②当DE⊥BC时两种情况分别解答即可。
27．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）哪两个图形成中心对称？
（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
（3）已知AB=5，AC=3，求AD的取值范围.
【答案】（1）解：图中△ADC和△EDB成中心对称.
（2）解：
∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8
（3）解：
∵在△ABD和△CDE中，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，AD=DE
∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜8，
∴2＜AD＜8．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积；
（3）可证△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．

（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由；
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
【答案】（1）解：
∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，BC=CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE与BD平行且相等
（2）解：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE，
∵△ABC的面积为5cm2，
∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2
（3）解：
∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形．
理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AD=2AC，BE=2BC，
∴AD=BE，
∴四边形ABDE为矩形．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC=CD，BC=CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；
（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；
（3）∠ACB=60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．
1 / 12020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第21讲 图形的平移与旋转
一、单选题
1．（2020八下·太原月考）如图，△ABC沿BC所在直线向左平移4cm得到△A'B'C'，若△ABC的周长为20cm，则四边形A'B'CA的周长为（　　）
A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm
2．（2020八下·建湖月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图， 与 关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC= C，②AC= ，③OA=O ，④ ABC与 的面积相等，其中正确的有（　　）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019八上·利辛月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（-3，5)，B(-4，3)，A1(3，3)，则B1的坐标为（　　）
A．(1，2) B．(1，4) C．(2，1) D．(4，1)
5．下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的图形有（　　）
①正方形；②等边三角形；③长方形；④角；⑤平行四边形；⑥圆
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2019八下·太原期中）如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（2，0）
7．（2019八上·景县期中）一辆模型赛车，先前进1m，然后沿原地逆时针方向旋转，旋转角为a(0A．108° B．120° C．72 ° D．36°
8．（2019八上·滦州期中）如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G．则旋转后的图中，全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
9．（2018八上·孝感月考）如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形的个数有(不包含△ABC本身)（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2020七下·明水月考）如图，直角三角形ABC的直角边AB=6，BC=8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交AC于点G，BE=2，三角形CEG的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC平移的距离是4；②EG=4.5；③AD∥CF；④四边形ADFC的面积为6．其中正确的结论是
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
11．（2019八下·丹东期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O……依此规律，得到等腰直角三角形A2 017OB2 017.则点B2 017的坐标（　　）
A．（22 017，－22 017） B．（22 016，－22 016）
C．（22 017，22 017） D．（22 016，22 016）
12．（2017八下·江阴期中）有两个全等的含30°角的直角三角板重叠在一起，如图，将△A′B′C′绕AC的中点M转动，斜边A′B′刚好过△ABC的直角顶点C，且与△ABC的斜边AB交于点N，连接AA′、C′C、AC′．若AC的长为2，有以下五个结论：①AA′=1；②C′C⊥A′B′；③点N是边AB的中点；④四边形AA′CC′为矩形；⑤A′N=B′C= ，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．如图，楼梯的长为5m，高为3m，计划在楼表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　 m．
14．（2020八上·临颍期末）如图，将 沿 方向平移得到 ，如果 , , ，那么图中阴影部分的面积为　 　
15．（2020八下·栖霞期中）如图，将△ABC绕点 旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G.若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝　 　°.
16．（2019八下·吉安期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为　 　．
17．（2019八下·枣庄期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B，点A的对应点A'是直线y= x上一点，则点B与其对应点B'间的距离为　 　.
18．（2018八上·重庆期末）如图，在 中， ， ， ， 可以由 绕点C顺时针旋转得到，其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点，连接 ，且A、 、 在同一条直线上，则 的长为　 　．
19．（2017八下·宁波期中）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1， A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 　 　
20．（2019八下·江津期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为　 　.
三、作图题
21．（2019八下·盐湖期末）在平面直角坐标系中， 的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）.
（1）将 沿 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的 .
（2）将 绕着点 顺时针旋转 ，画出旋转后得到的 ；直接写出点 的坐标.
（3）作出 关于原点 成中心对称的 ，并直接写出 的坐标.
四、解答题
22．（2019八下·太原期中）在平面直角坐标系 中， 点的坐标为 ，将 绕原点 顺时针旋转 得到 ，求点 的坐标．
23．如图，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1，求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．
24．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF=AE，连接DF：
（1）旋转△ADF可得到哪个三角形？
（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（3）BE与DF的数量关系、位置关系如何？为什么？
25．（2019八下·宁化期中）把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图1)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角 满足条件 四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图2).
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）在上述旋转过程中，两个直角三角形的重叠部分面积是否会发生改变？证明你的结论.
26．（2019八上·榆树期中）如图①，在△ABC中，AB=AC，D是射线BC上一点(点D不与点B重合)，连结AD，将AD绕着点A逆时针旋转∠BAC的度数得到AE，连结DE、CE。
（1）当点D在边BC上，求证：△BAD≌△CAE。
（2）当点D在边BC上，若∠BAC=a，求∠DCE的大小．(用含a的代数式表示)。
（3）当DE与△ABC的边所在的直线垂直，且∠BAC=40°时，请借助图②，直接写出∠CED的大小。
27．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）哪两个图形成中心对称？
（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
（3）已知AB=5，AC=3，求AD的取值范围.
28．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．

（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由；
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】根据题意可知，AD=CF=4，
BF=BC+CF，DF=AC，
AB+BC+AC=20
所以四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=4+AB+BC+4+AC=28
故答案为：C
【分析】根据平移的性质，可找到边长的长度，计算四边形的周长即可。
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念. 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180°后能与原图重合.
3．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵ 与 关于点O成中心对称 ，
∴△ABC≌△A1B1C1，
∴∠BAC=∠B1A1C1，AC=A1C1，△ABC与△A1B1C1的面积相等，
∴①②④正确，
由中心对称的性质，得OA=OA1，∴③正确；
故选D.
【分析】中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，②中心对称的两个图形是全等形，其对应线段互相平行（或共线）且相等；据此逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】根据点A的坐标以及点A1的坐标，即可得到点的平移规律
即将四边形的四个点，先往右平移6个单位长度，再往下平移2个单位长度
∴点B1的坐标为（2,1）
故答案为：C。
【分析】根据平移前后的两个点的坐标得到平移的规律，即可计算点B平移后的坐标。
5．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】正方形、长方形、平行四边形、圆旋转180°能与自身完全重合。
故答案为：C。
【分析】 绕某个点旋转180°能与自身重合的图形是中心对称图形，故可判断有4个。
6．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．
解：如图，
连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，
两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1).
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等,连接AD、BE，分别作出线段AD、BE的垂直平分线，求出两条直线的交点的坐标即可.
7．【答案】C
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，赛车原地绕了一圈，旋转角为360°÷5=72°。
【分析】根据赛车旋转五次后回到出发点，即可得到其旋转的角度之和为360°，即可得到答案。
8．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．
故答案为：C
【分析】根据旋转的性质可得△A′B′C≌△ADC；又∠A′CB′- ∠ACA′=∠ADC-∠ACA′，即 ∠B′CG= ∠DCE，可证得△B′CG≌△DCE，则CG=CE，B′G=DE，∠B′GC=∠DEC，由A′B′-B′G=AD-DE得A′G=AE，180°-∠B′GC=180°-∠DEC得∠A ′GC=∠AEC ，可证得△ACE≌△A′CG；由AC-CG=A′C-CE得AG=A′E，又∠A ′=∠A，∠AFG=∠A′FE,可得△AGF≌△A′EF。所以全等的三角形共有4对。
9．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】如图可得共三种。
【分析】由旋转易得共三种。
10．【答案】B
【知识点】平移的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：(1)因为点B，E是对应点，且BE＝2，所以△ABC平行的距离是2，则①不符合题意；②根据题意得，13.5×2＝(8－2)EG，解得EG＝4.5，则②符合题意；③因为A，D是对应点，C，F是对应点，所以AD∥CF，则③符合题意；④平行四边形ADFC的面积为AB·CF＝AB·BE＝6×2＝12，则④不符合题意．
故答案为：B．
【分析】(1)对应线段的长度即是平移的距离；(2)根据EC的长和△CEG的面积求EG；(3)平移前后，对应点的连线平行且相等；(4)根据平行四边形的面积公式求．
11．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】∵将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，A1B 1=OA1，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O，A2B2=A2O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=504…1，
∴点B2017与B1同在第四象限，
∵﹣4=﹣22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，-22017），
故答案为：A.
【分析】根据旋转的条件发现每4次旋转一周，且B1（2，﹣2），B2（﹣4，-4），B3（-8，8），B4（16，16）……，因为2017÷4=504……1，所以可得点B2017与B1同在第四象限，由于B1（21，﹣21），从而可得点B2017（22017，-22017）。
12．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：①∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC=2，
∴AM=MC=A′M=MC′=1，
∵∠MA′C=30°，
∴∠MCA′=∠MA′C=30°，
∴∠A′MC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴∠A′MA=180°﹣A′MC=180°﹣120°=60°，
∴∠AMA′=∠C′MC=60°，
∴△AA′M是等边三角形，
∴AA′=AM=1，故①正确；
②∵∠A′CM=30°，∠MCC′=60°，
∴∠ACA′=∠A′CM+∠MCC′=90°，
∴CC′⊥A′C，故②正确；
③∵∠A′CA=∠NAC=30°，∠BCN=∠CBN=60°，
∴AN=NC=NB，故③正确；
④∵△AA′M≌△C′CM，
∴AA′=CC′，∠MAA′=∠C′CM=60°，
∴AA′∥CC′，
∴四边形AA′CC′是平行四边形，
∵∠AA′C=∠AA′M+∠MA′C=90°，
四边形AA′CC′为矩形，故④正确；
⑤AN= AB= ，
∠NAA′=30°，∠AA′N=90°，
∴A′N= AN= ，故⑤错误；
故选：C．
【分析】①根据旋转的性质，可得AM=MC=A′M=MC′=1，根据等腰三角形的性质，可得∠MCA′，根据等边三角形的判定，可得答案；
②根据垂线的性质：过直线外一点与已知直线垂直的直线只有一条，可得答案；
③根据等腰三角形的判定，可得答案
④根据平行四边形的判定，可得四边形AA′CC′是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得答案；
⑤根据勾股定理可得BA的长，根据AB与AN的关系，可得AN的长，根据直角三角形的性质，可得答案．
13．【答案】7
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：AC= =4（m），
3+4=7（m）
故答案为：7．
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
14．【答案】26
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】∵△ABC沿射线BC的方向平移得到△DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴DE=AB=8，S△ABC=S△DEF，
∵EH=DE-DH，DH=3，
∴EH=8-3=5，
∵S△ABC=S梯形ABEH+S△HEC，S△DEF= S阴影+S△HEC，S△ABC=S△DEF，
∴S阴影=S梯形ABEG，
∴S阴影= (AB+HE)BE= ×(8+5)×4=26(cm2)，
故答案为：26.
【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得△ABC和△DEF全等，然后判断出阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，再列式计算即可得解.
15．【答案】65
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：AB=AE，∠BAC=∠EAF，
又∵∠B＝70°，
∴∠BAE=180°-2×70°=40°，
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠FAG=40°，
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=25°，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=40°+25°=65°，
故答案为：65.
【分析】根据旋转前后的图形全等，可推出∠BAE=∠FAG=40°，∠F=∠C=25°，根据三角形外角的性质即可求解.
16．【答案】6
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，
∴AB＝2，
∴阴影部分的面积之和为3×2＝6．
故答案为：6．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
17．【答案】5
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，点A的坐标为（0,4）
∴点A'的纵坐标为4
∵A点的对应点为A'是直线y=上的一点
∴=4，解得x=5.
∴点B与其对应点B'间的距离为5
【分析】根据点A'为直线上的一点，即可计算得到其坐标，根据平移的性质计算得到答案即可。
18．【答案】6
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】 在 中， ， ， ，
，故AB ，
由 绕点C顺时针旋转得到，其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点，连接 ，且A、 、 在同一条直线上，
， ，
，
，
，
，
故答案为6．
【分析】利用直角三角形的性质得出 ，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出 ，进而得出答案．
19．【答案】
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】如图，
过ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，
则易证△OEM≌△OFN，
则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，
如正方形ABCD的边长是1，则OMCN的面积是 ，
因而本题的图形中的每个阴影部分的面积都相等，都是 ，
有n个正方形，则重合部分由n-1个，则总面积是 ．
故答案为：.
【分析】本题要抓住旋转后的阴影面积不变，由不规则的图形，化为已知图形便于求之，还有注意点是，正方形的个数多于阴影面积的个数，这里容易出错，本题有一定的难度.
20．【答案】(8052，0)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），
∴AB= =5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，
∵2013÷3=671，
∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵671×12=8052，
∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）.
故答案为：（8052，0）.
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可.
21．【答案】（1）解： 如图所示；
（2）解： 如图所示，由图可知 ；
（3）解： 如图所示，由图可知 .
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）图形的平移时，我们只需要把三个顶点ABC,按照点的平移方式，平移得到新点 ，然后顺次连接各点即为平移后的 .（2）首先只需要画出B，C旋转后的对应点 ， ，然后顺次连接各点即为旋转过后的 ，然后写出 坐标即可；（3）首先依次画出点ABC关于原点 成中心对称的对应点 ，然后顺次连接各点即可得到 ，然后写出 坐标即可.
22．【答案】解： 轴于 ， 轴于 ，如图，
， ，
绕原点 顺时针旋转 得到 可看作是 绕原点 顺时针旋转 得到 ，
则 ， ，
所以点 的坐标为 ．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质，可根据A点的旋转找到 ，写出 的坐标。
23．【答案】解：∵等边△ABC，
∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP= ，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′= ，∠BP′P=60°，
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′2+PP′2=AP2，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B=30°，BM= ，
由勾股定理得：P′M= ，
∴AM=1+ = ，
由勾股定理得，等边△ABC的边长AB=
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【分析】根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP= ，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′= ，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM= ，P′M= ，根据勾股定理即可求出答案．
24．【答案】解：（1）旋转△ADF可得△ABE，
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠DAF=90°，
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE，
∴旋转△ADF可得△ABE；
（2）由旋转的定义可知：旋转中心为A，因为AD=AB，所以AD和AB之间的夹角为旋转角即90°；
（3）BE=DF且BE⊥BE．理由如下：
延长BE交F于H点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵△ABE按逆时针方向旋转90°△ADF，
∴BE=DF，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠DHB=∠BAE=90°，
∴BE⊥DF．
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【分析】（1）旋转△ADF可得△ABE，通过证明△ADF≌△ABE即可说明问题；
（2）旋转的定义和旋转角的定义解答即可；
（3）根据旋转的性质得BE=DF，∠1=∠2，再根据三角形内角定理得到∠DHB=∠BAE=90°，所以BE⊥DF．
25．【答案】（1）解：BH=CK.四边形CHGK的面积没有变化.∵△ABC是等腰直角三角形,O为斜边中点,∴CG=BG,CG⊥AB,∴∠ACG=∠B=45°,∵∠BGH与∠CGK均为旋转角,∴∠BGH=∠CGK,
因此△CGK可以看作是由△BGH绕点O顺时针旋转而得,故BH=CK,S△CGK=S△BGH,
（2）解：∴S四边形CHGK=S△CGK+S△CGH=S△BGH+S△CGH=S△BCG= S△ABC= × ×4×4=4.
即四边形CHGK的面积在旋转过程中没有变化,始终为4.
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得到旋转角，得出角度关系，判断出线段关系。
（2）利用四边形 CHGK 的面积与两个三角形的关系，可判断是否发生变化。
26．【答案】（1）解：由旋转，得∠DAE=∠BAC，AD=AE
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE
∵AB=AC
∴△BAD≌△CAE
（2）解：∵∠BAC=α，AB=AC，
∴∠B=∠ACB= (180°-a)
∵△BAD≌△CAE
∴∠ACE=∠B= (180°-a)．
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=180°-a
（3）解：20°或50°
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得∠DAE=∠BAC，AD=AE，则有∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，又已知AB=AC，利用”SAS“可证得△BAD≌△CAE；
（2）先利用等腰三角形的性质由AB=AC得∠B=∠ACB= (180°-a)，由（1）的结论可得∠ACE=∠B= (180°-a)，故∠DCE=∠ACB+∠ACE=180°-a；
（3）分①当DE⊥AC时、②当DE⊥BC时两种情况分别解答即可。
27．【答案】（1）解：图中△ADC和△EDB成中心对称.
（2）解：
∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8
（3）解：
∵在△ABD和△CDE中，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，AD=DE
∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜8，
∴2＜AD＜8．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积；
（3）可证△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．
28．【答案】（1）解：
∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，BC=CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE与BD平行且相等
（2）解：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE，
∵△ABC的面积为5cm2，
∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2
（3）解：
∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形．
理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AD=2AC，BE=2BC，
∴AD=BE，
∴四边形ABDE为矩形．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC=CD，BC=CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；
（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；
（3）∠ACB=60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．
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