高中数学人教新课标B版必修3--《1.3 中国古代数学中的算法案例》教学设计4
文档属性
| 名称 | 高中数学人教新课标B版必修3--《1.3 中国古代数学中的算法案例》教学设计4 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 141.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-26 14:12:05 | ||
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文档简介
1.3中国古代数学中的算法案例
秦九韶算法
教学目标：
知识与技能：了解秦九韶算法的计算方法和步骤，了解秦九韶算法的程序框图。
过程与方法：改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻辑思维能力。
情感态度与价值观：体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
教学重点：秦九韶算法的计算方法和步骤。
教学难点：体会秦九韶算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、电子白板
教学基本流程 ：改进算法,提高运算效率
介绍秦九韶算法,求一般多项式的值
用循环结构表示秦九韶算法的关键步骤
对秦九韶算法和算法本身的特点进行小结
教学方法：“再创造”活动学习、小组合作学习
教学过程 (秦九韶计算多项式的方法)
一、教学引入：人物介绍——秦九韶
秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，自称鲁郡（今山东）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，不久死于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。
二、新课探究:
思考1：怎样求多项式f(x)=2x3- 4x2+3x+1 ，当x=2时的值呢？
(设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法.)
算法1： f(2)=2*23- 4*22+3*2+1
f(2)=2*2*2*2-4*2*2+3*2+1
问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？
结论：3+2+1=6次乘法运算，3次加法运算
算法2：f(x)=2x3- 4x2+3x+1
步骤：1、提公因式x，改写为：f(x)=( (2x-4)x+3)x+1
2、从内向外逐层计算，先计算2x-4=2*2-4=0，再计算0*x+3=3,再计算3*x+1=7
问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？
结论：共做了3次乘法运算，3次加法运算。
通过具体实例引出--如何用秦九韶算法完成一般多项式的求值问题？
1、《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一元n 次的多项式，f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
首先多项式改写为：f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
f(x)=（…(anx+an-1)x+an-2）x+…+a1)x+a0
先算最内层的一次多项式的值，即v1=anx+an-1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
V2=v1x+an-2
…
Vn=vn-1x+a0
提问：共计算多少次乘法，多少次加法？
结论：共计算n次乘法，n次加法
定义：这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
比较:一元n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 直接计算需要多少次乘法，多少次加法？
n+(n-1)+(n-2)+...+2+1=(n+1)n/2 次乘法
n次加法
秦九韶算法的优点：
大大减少了乘法的计算次数,提高计算效率.
递推公式：v0=an
vk=vk-1x+an-k(k=1,2,…,n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
思考2:该算法的程序框图如何表示？
2、程序框图：
三、理论迁移：
例1：已知多项式f(x)=3x4+2x2+4x+2，用秦九韶算法求f(-2)的值及V1,V3的值。
解：
补全 f(x)=3x4+0x3+2x2+4x+2
改写成 f(x)=((( 3x+0 ) x+2) x+4) x+2
V1=3*（-2）+0=-6
V2=-6*（-2）+2=14
V3=14*（-2）+4=-24
V4=-24*（-2）+2=50
所以v1=-6，v3=-24，f（-2）=50
提问：共用了多少次乘法，多少次加法？
结论：4次乘法，3次加法
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.
四、巩固练习：
练习1：已知多项式f(x)=3x4+2x3-5x2-5x+1当用秦九韶算法求这个多项式当x=-1时的值,并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
2.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )
A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5
3.(2010·山东模拟)利用秦九韶算法计算函数f(x)=x+2x2+3x3+4x4+5x5的值时,需要做加法 乘法的次数分别为________ ________.
五、课堂小结：(提问方式)
1、秦九韶算法的方法和步骤
2、秦九韶算法的程序框图
六、课后作业：
1、P45 2
2、P48 2
3、课后练习
秦九韶算法
教学目标：
知识与技能：了解秦九韶算法的计算方法和步骤，了解秦九韶算法的程序框图。
过程与方法：改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻辑思维能力。
情感态度与价值观：体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
教学重点：秦九韶算法的计算方法和步骤。
教学难点：体会秦九韶算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、电子白板
教学基本流程 ：改进算法,提高运算效率
介绍秦九韶算法,求一般多项式的值
用循环结构表示秦九韶算法的关键步骤
对秦九韶算法和算法本身的特点进行小结
教学方法：“再创造”活动学习、小组合作学习
教学过程 (秦九韶计算多项式的方法)
一、教学引入：人物介绍——秦九韶
秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，自称鲁郡（今山东）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，不久死于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。
二、新课探究:
思考1：怎样求多项式f(x)=2x3- 4x2+3x+1 ，当x=2时的值呢？
(设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法.)
算法1： f(2)=2*23- 4*22+3*2+1
f(2)=2*2*2*2-4*2*2+3*2+1
问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？
结论：3+2+1=6次乘法运算，3次加法运算
算法2：f(x)=2x3- 4x2+3x+1
步骤：1、提公因式x，改写为：f(x)=( (2x-4)x+3)x+1
2、从内向外逐层计算，先计算2x-4=2*2-4=0，再计算0*x+3=3,再计算3*x+1=7
问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？
结论：共做了3次乘法运算，3次加法运算。
通过具体实例引出--如何用秦九韶算法完成一般多项式的求值问题？
1、《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一元n 次的多项式，f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
首先多项式改写为：f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
f(x)=（…(anx+an-1)x+an-2）x+…+a1)x+a0
先算最内层的一次多项式的值，即v1=anx+an-1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
V2=v1x+an-2
…
Vn=vn-1x+a0
提问：共计算多少次乘法，多少次加法？
结论：共计算n次乘法，n次加法
定义：这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
比较:一元n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 直接计算需要多少次乘法，多少次加法？
n+(n-1)+(n-2)+...+2+1=(n+1)n/2 次乘法
n次加法
秦九韶算法的优点：
大大减少了乘法的计算次数,提高计算效率.
递推公式：v0=an
vk=vk-1x+an-k(k=1,2,…,n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
思考2:该算法的程序框图如何表示？
2、程序框图：
三、理论迁移：
例1：已知多项式f(x)=3x4+2x2+4x+2，用秦九韶算法求f(-2)的值及V1,V3的值。
解：
补全 f(x)=3x4+0x3+2x2+4x+2
改写成 f(x)=((( 3x+0 ) x+2) x+4) x+2
V1=3*（-2）+0=-6
V2=-6*（-2）+2=14
V3=14*（-2）+4=-24
V4=-24*（-2）+2=50
所以v1=-6，v3=-24，f（-2）=50
提问：共用了多少次乘法，多少次加法？
结论：4次乘法，3次加法
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.
四、巩固练习：
练习1：已知多项式f(x)=3x4+2x3-5x2-5x+1当用秦九韶算法求这个多项式当x=-1时的值,并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
2.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )
A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5
3.(2010·山东模拟)利用秦九韶算法计算函数f(x)=x+2x2+3x3+4x4+5x5的值时,需要做加法 乘法的次数分别为________ ________.
五、课堂小结：(提问方式)
1、秦九韶算法的方法和步骤
2、秦九韶算法的程序框图
六、课后作业：
1、P45 2
2、P48 2
3、课后练习