高中数学人教新课标B版必修3--《1.3 中国古代数学中的算法案例》课件4(共16张PPT)

(共16张PPT)
1.3中国古代数学中的算法案例
秦九韶算法
秦九韶
秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，自称鲁郡（今山东）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，不久死于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。
学习目标：
知识与技能：了解秦九韶算法的计算方法和步骤，了解秦九韶算法的程序框图。
过程与方法：改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻辑思维能力。
情感态度与价值观：体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
重点：秦九韶算法的计算方法和步骤
难点：体会秦九韶算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题
新课探究:
思考1：怎样求多项式f(x)=2x3- 4x2+3x+1 当x=2时的值呢？
算法1：
问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？
f(2)=
3+2+1=6次乘法运算，3次加法运算
f(2)=
求多项式f(x)=2x3-4x2+3x+1 ，当x=2时的值
算法2：
共做了3次乘法运算，3次加法运算。
f(x)=2x3- 4x2+3x+1
改写为：f(x)=( (2x-4)x+3)x+1
问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？
接下来应该如何计算？
思考2：如何用秦九韶算法完成一般多项式的求值问题？
一、《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一元n 次的多项式
首先多项式改写为：
f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+...+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+...+a2)x+a1)x+a0
= ......
=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
共计算n次乘法，n次加法
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
f(x)=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
共计算多少次乘法，多少次加法？
比较:一元n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 常规方法计算需要多少次乘法，多少次加法？
n+(n-1)+(n-2)+...+2+1= 次乘法
n次加法
秦九韶算法的优点：
大大减少了乘法的计算次数,提高计算效率
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
递推公式：
二、程序框图：
输入ai
开始
输入n, an, x
i>=0
输出v
结束
v=vx+ai
i=i-1
Y
N
i=n-1
V=an
思考3:该算法的程序框图如何表示？
例1：已知多项式f(x)=3x4+2x2+4x+2，用秦九韶算法求f(-2)的值及V1,V3的值。
解：
理论迁移
补全 f(x)=3x4+0x3+2x2+4x+2
改写成 f(x)=((( 3x+0 ) x+2) x+4) x+2
共用了多少次乘法，多少次加法？
4次乘法，3次加法
练习1：已知多项式f(x)=3x4+2x3-5x2-5x+1当用秦九韶算法求这个多项式当x=-1时的值,并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
1.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )
A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5
A
2.(2010·山东模拟)利用秦九韶算法计算函数f(x)=x+2x2+3x3+4x4+5x5的值时,需要做加法 乘法的次数分别为________ ________.
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课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤
2、秦九韶算法的程序框图