24.1.2 垂直于弦的直径 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
第二十四章 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版九年级数学上册
1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；
2．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
重点难点
重点：垂径定理及应用。
难点：垂径定理的证明。
学习素养
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴
探究新知
你能证明刚才的结论吗？
·
O
A
D
E
C
B
如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA,OB.
在△OAB中，
∵OA=OB,
∴ △OAB是等腰三角形
而OE⊥AB
∴AE=EB
即CD是AB的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点B,因此⊙O关于直线CD对称。
探究新知
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
·
O
A
D
E
C
B
【提问】根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段（半径除外）和弧？
线段： AE=BE
⌒
⌒
即直径CD平分弦AB，并且平分AB,ACB
⌒
⌒
弧：AC＝BC　，AD＝BD
⌒
⌒
探究新知
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
∵ ① CD是直径， ② CD⊥AB
∴ ③AE=BE，④AC=BC，⑤AD=BD.
⌒
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⌒
⌒
·
O
A
E
C
D
B
探究新知
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
情况二：弦不是直径
O
C
D
A
B
·
O
A
E
C
B
D
利用图形轴对称的性质，可以证明情况二成立
探究新知
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ ① CD是直径 ② AE=BE且AB不是直径
符号语言：
∴ ③ CD⊥AB， ④AC=BC，⑤AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
O
C
D
A
B
E
探究新知
1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m)。
【解题关键】
将实际问题转化为几何问题。
探究新知
解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
37
18.5
R
R-7.23
在RT△ADO中，由勾股定理得
=
解得R≈27.3m
答：略
思路：通过垂径定理，构造直角三角形（半径半弦弦心距 ），结合勾股定理，建立方程。
1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m)。
探究新知
半径
半弦
弦心距
在直角三角形中，由勾股定理得：=
弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）。
探究新知
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为4cm，求⊙O的半径．
A
B
.
O
E
3
4
解：
在Rt △ AOE 中 ,
,(垂径定理）
过圆心O 作OE⊥AB于E，
.
探究新知
变式二：⊙O 的直径为10 cm，圆心O 到弦AB的
距离OE=4cm，则弦AB 的长是 .
变式一：半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是 .
A
B
O
E
A
B
O
6cm
E
1
4
5
4
探究新知
变式三：如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴
交于C，D 两点，若M(2,0)，B(5,0)，
则C点的坐标是 .
2
5
3
探究新知
如图是一个圆弧形门拱，拱高，跨度，那么这个门拱的半径为（ ）。
A.2m B.2.5m C.3m D.5m
解：设这个门拱的半径为r，则OB=r 1，
∵CD=4m，AB⊥CD，
∴BC= CD=2m，
在Rt△BOC中，
∵BC +OB =OC ,即2 +(r 1) =r ，解得r=2.5m.
故选B.
巩固练习
如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（　　）
A.4m B.5m C.6m D.8m
解：连接OA，
∵桥拱半径OC为5m，
∴OA=5m，
∵CD=8m，
∴OD=8 5=3(m)，
∴AD= (m)
∴AB=2AD=2×4=8(m)
故选D.
巩固练习
如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（ ）。
A. B.2 C.2 D.2
解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴OH=OP=2
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴
∴AB=2AH=2
故选C
H
巩固练习
C
巩固练习
10或70
巩固练习
巩固练习
巩固练习
课堂小结
课堂小结
规律：对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(非直径)；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．简记为“知二推三”．
谢谢
人教版九年级数学上册