24.1.4 圆周角 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
人教版九年级数学上册
1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。
2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;
3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明。
学习素养
特征：顶点在圆上，两边都与圆相交。
将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C 观察得到的∠ACB有什么特征？
O
A
C
B
探究新知
概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的特征：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交。
·
A
B
C
D
E
O
你能指出右图中存在的圆周角吗？
探究新知
在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角，测量它们的度数，你能得出什么结论？
经过测量，
同弧所对的圆周角度数等于
所对圆心角的一半。
O
A
C
B
探究新知
下面我们分以下三种情况验证上述猜想：
探究新知
情景一（证明∠BAC= ）:
1
2
3
证明一：
∵∠3是△AOC的外角，
∴∠3＝∠1 ＋∠2.
∵OA＝OC
（同圆半径相同） ，
∴∠1＝∠2 .
∴∠3＝2∠1 .
即
=>
证明二：
OA=OC=>∠1＝∠2
∠3＝∠1 ＋∠2
符号“=>”读作“推出”，
“A =>B”表示由A条件推出结论B.
探究新知
情景二（证明∠BAC= ）:
1
2
3
4
5
6
证明一：
∵∠5是△AOB的外角，∴∠5＝∠1 ＋∠3.
∵OA＝OB（同圆半径相同） ，
∴∠1＝∠3 .∴∠5＝2∠1
同理∠6＝2∠2
=∠5+∠6= 2（∠1 +∠2）= 2
即
D
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
探究新知
情景二（证明∠BAC= ）:
1
2
3
4
5
6
D
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
证明二：
OA=OC=>∠4＝∠2
OA=OB=>∠1＝∠3
∠5＝∠1 ＋∠3
∠6＝∠5 ＋∠4
=∠5+∠6
=>
探究新知
情景三（证明∠BAC= ）:
作直径AD
D
1
5
2
3
4
证明一：
=2∠1 (情景一)
=2∠4 (情景一)
= -
= -
=>
探究新知
综上所述,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系是:
即 ∠BAC = ∠BOC.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
探究新知
在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？
·
O
A
B
B1
A1
将弧AB绕圆心O旋转，使弧AB与弧A1B1重合
∴点A与A1重合，B与B1重合
∴射线OB与OB1重合，射线OA与OA1重合
∴∠AOB＝∠A1OB1
而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半
∴它们所对应的的圆周角相同。
即同弧或等弧所对的圆周角相等。
⌒
⌒
C
探究新知
·
A
B
C1
O
C2
C3
证明：90°的圆周角所对的弦是直径？
探究新知
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径∴ ∠ACB= ∠ADB=90°
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴ AD=BD.
探究新知
O
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆。
A
D
C
B
探究新知
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
O
A
D
C
B
连接BO和DO
∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD
又∵ BCD和BAD所对圆心角的和为周角
∴ ∠A+ ∠C= ×360°=180°
即圆内接四边形的对角互补。
⌒
⌒
⌒
⌒
探究新知
填空
（1）如果∠A=45°,则∠BOC=____,∠OBC= 。
（2）如果∠BOC=46°,则∠A=____。
（3）如果BC的度数是46°，那么这条弧所对
的圆心角和圆周角分别等于 ， 。
（4）n°弧所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 。
O
A
B
C
23°
46°
23°
n°
n°
90°
45°
⌒
巩固练习
如图，AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD是半径,且OD∥AC，
求证：CD=BD.
连接OC，
∵OD∥AC，
∴∠BOD=∠A，∠COD=∠C，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∴∠COD=∠BOD，
∴=.
巩固练习
如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长．
由图得∠B＝∠C＝30°．
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°．
而AD=5∴BD＝
巩固练习
如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC。
(1)尺规作图：作弦CD，使CD＝BC(点D不与点B重合)，连接AD；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求四边形ABCD的周长。
巩固练习
巩固练习
巩固练习
巩固练习
巩固练习
巩固练习
巩固练习
圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角．
如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，则∠ABC、∠ACB、∠BAC、∠ACD、∠BCD、∠CDE都是圆周角。
注意：判断一个角是否是圆周角，关键看两点：①角的顶点是否在圆上；②角的两边是否分别与圆相交．两个条件，缺一不可。
课堂小结
圆周角定理及其推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：(1)同弧或等弧所对的圆周角相等；
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
核心提示：圆中常作的辅助线：有直径，常作出直径所对的圆周角，这个圆周角是直角。
课堂小结
谢谢
人教版九年级数学上册