24.4.1 弧长和扇形面积 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
人教版九年级数学上册
24.4.1 弧长和扇形的面积（第1课时）
导入新知
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
1. 能推导弧长和扇形面积的计算公式.
2.知道公式中字母的含义，并能正确运用这些公式进行相关计算.
素养目标
化简下列各式：
(1) (－3a＋2b) ＋3(a－b)；
(2) －5a＋4b－(－3a＋b).
解：(1) 原式= －3a＋2b ＋ 3a－3b =－b；
(2) 原式=－5a＋4b ＋ 3a － b= －2a+3b.
知识点
利用去括号解一元一次方程
探索新知
去掉“+ ( )”，括号内各项的符号不变.
去掉“–( )”，括号内各项的符号改变.
去括号法则:
用三个字母a，b，c表示去括号前后的变化规律：
a + (b + c) =
a -(b + c) =
a + b + c
a -b - c
探索新知
分析 ： 找等量关系.这艘船往返的路程相等，即
顺流速度___顺流时间___逆流速度___逆流时间.
×
＝
×
例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 2.5 h．已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度.
素养考点 2
利用一元一次方程解答实际问题
探索新知
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
O
R
问题2 ①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所对的弧长是多少？③n°的圆心角所对的弧长是多少？
弧长计算公式及相关的计算
知识点 1
探索新知
弧长 = ·2πR
=
弧长 = ·2πR
=
弧长 = ·2πR
=
弧长= ·2πR
=
问题3 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几 弧长是多少？
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
探索新知
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
注意
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.
弧长公式
探索新知
例 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
700mm
700mm
R=900mm
(
100 °
A
C
B
D
O
700mm
弧长公式的应用
素养考点
探索新知
解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°.
解得 n≈90°.
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？
·
O
A
探索新知
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
扇形面积计算公式及相关的计算
知识点 2
探索新知
判断下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
探索新知
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
O
r
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢
问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
探索新知
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形的
面积
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
探索新知
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
注意：①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
探索新知
大小不变时，对应的扇形面积与 有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
O ●
A
B
D
C
E
F
O ●
A
B
C
D
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
探索新知
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 :扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
探索新知
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
O
R
60°
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
扇形的周长为
扇形面积公式的应用
素养考点 1
探索新知
已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S扇= ．
已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .
探索新知
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
(1)
O .
B
A
C
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
求阴影部分的面积
素养考点 2
探索新知
O.
B
A
C
D
(2)
O.
B
A
C
D
(3)
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积.
探索新知
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.
∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
　从而 ∠AOD＝60 , ∠AOB=120 .
O.
B
A
C
D
(3)
　　有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
探索新知
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
探索新知
2π
如图 ，扇形 OAB 的圆心角为 60°，半径为 6 cm，C，D 是弧 AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_____．
解析：阴影部分的面积就是扇形OAC的面积，由题意得：
∠AOC=60°÷3=20°.
S扇形OAC= =2π.
2π
探索新知
1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（　　）
A． B． C． 2π D．
解析：连接OD，∵∠ABD=30°
∴∠AOD=2∠ABD=60°
∴∠BOD=120°，
∴ 的长= = .
D
课堂练习
2.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．2π C．3π D．6π
C
解析：在平行四边形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴∠C=120°，
又∵⊙C的半径为3，
∴图中阴影部分的面积是： =3π.
课堂练习
6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ）
B．
C. D.
5.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长 .
C
A
B
C
O
H
C1
A1
H1
O1
课堂练习
7. 如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .
A
B
C
D
课堂练习
8. 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
A1
A2
C1
l
课堂练习
9.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
O
A
B
D
C
E
解：
课堂练习
解: 由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长.
∵等边三角形ABC的边长为10cm，
∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.
∴l弧AA'
10.如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.
A
B
A'
B'
C
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
课堂练习
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
课堂小结
谢 谢