1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题： 二面角（中档）同步练习（Word版含解析）

《空间向量》专题12－1 二面角（中档）
（8套，8页，含答案）
如图，在三棱台ABC－DEF中，二面角B－AD－C是直二面角，AB⊥AC，AB＝3，．
（1）求证：AB⊥平面ACFD；
（2）求二面角F－BE－D的平面角的余弦值[endnoteRef:0]．
[0: 答案：；
（1）连接，在等腰梯形中，过作交于点，因为，所以，，，所以，所以，即， 2分
又二面角是直二面角，平面，所以平面， 4分
又平面，所以，又因为，，、平面，所以平面． 6分
（2）如图，在平面内，过点作，由（1）可知，以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则，，，， 7分
所以，，设是平面的一个法向量，则，所以，
取，则，，
即， 9分
由（1）可知平面，
所以是平面的一个法向量， 10分
所以， 11分
又二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为． 12分]
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF＝60°．
（1）求证：BF⊥AE；
（2）求二面角B－EF－D的平面角的正切值．（[endnoteRef:1]）
[1: 答案：；
【解析】（1）依题意，在等腰梯形中，，，
∵，∴，即，·········1分
∵平面平面，∴平面，·········2分
而平面，∴．·········3分
连接，∵四边形是菱形，∴，·········4分
∴平面，
∵平面，∴．·········6分
（2）取的中点，连接，因为四边形是菱形，且．
所以由平面几何易知，∵平面平面，∴平面．
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：，，，，，．······7分
设平面和平面的法向量分别为，，
∵，．
∴由，令，则，··9分
同理，求得．·········10分
∴，故二面角的平面角的正切值为．·······12分
]
已知四棱锥S－ABCD，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB//DC，∠DAB＝90°，
AB＝2DC，，M是SB中点．
（1）求证：CM//平面SAD；
（2）若直线DM与平面SAB所成角的正切值为，F是SC的中点，求二面角C－AF－D的余弦值．（[endnoteRef:2]）
[2: 答案：；
【解析】（1）证明：取中点，连接，，
在中，，，，，
四边形为平行四边形．·········2分
，·········3分
又平面，平面，
平面．·········4分
（2）由已知得：，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．·········5分
，，，平面，
就是与平面所成的角．
在中，，即，·········7分
设，则，，；
中，为斜边中点，，
．
则，，，，，
所以，，．
设是平面的一个法向量，则
，
令，得．·········9分
设是平面的一个法向量，则
，
令，．·········11分
．
二面角的余弦值为．·········12分]
《空间向量》专题12－2 二面角（中档）
在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，O为AD中点，，AD＝AB＝2CD＝2.
求证：平面POB⊥平面PAC；
求二面角A－PC－D的余弦值.[endnoteRef:3]
[3: 答案：；
证明：由条件可知，，，
，.
，且为中点，.
，平面.
又平面，.
又，平面.
平面，平面平面.
解：以为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，
设为平面的一个法向量，
由得，解得.
令，则.
同理可得，平面的一个法向量，
二面角的平面角的余弦值.
]
如图，在几何体ABCDEF中，底面CDEF是平行四边形，AB//CD，，DB⊥平面CDEF，CE与DF交于点O.
（1）求证：OB//平面ACF；
（2）若平面CAF与平面DAF所成的锐二面角余弦值为，求线段DB的长度.[endnoteRef:4]
[4: 答案：或；
解：(Ⅰ)取中点，连接，
在中，是的中点，是的中点，
所以，
又，
所以
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
故平面.
（Ⅱ）由，，
可得，所以，
又平面，故以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，，
所以，，.
设平面的一个法向量，
则即，
取得，
设平面的一个法向量，
则即，
取得，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
整理得，
解得或，
所以或.
]
《空间向量》专题12－3 二面角（中档）
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，，AC∩BD＝O，过O点作平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H.
(1)求GH的长度；
(2)求二面角B－FH－E的余弦值.[endnoteRef:5]
[5: 答案：，；
解：（Ⅰ）【法一】（Ⅰ）因为平面，平面平面，
，平面平面，所以，同理，
因为∥，所以∽，且，
所以，，
同理，连接，则有∥，
所以，，所以，同理，，
过点作∥交于，则
【法二】因为平面，平面平面，，
平面平面，
根据面面平行的性质定理，所以，同理，
因为，所以，且，
又因为∽，，所以，
同理，，
如图：作，
所以，故四边形为矩形，即，
在中，所以，所以.
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，
， 设平面的法向量为，
，令，得，
因为平面平面，所以平面的法向量
，二面角的余弦值为.
]
如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB//CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC1B1
（Ⅱ）若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1与DC1B1平面所成角（锐角）的余弦值．[endnoteRef:6]
[6: 答案：；
证明：（1）连结DE，D1E，∵AB∥CD，AB＝2CD，E是AB的中点，
∴BE∥CD，BE＝CD， ∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，又DE平面BCC1B1，
∴DE∥平面BCC1B1， 同理D1D∥平面BCC1B1，又D1D∩DE＝D，
∴平面DED1∥平面BCC1B1， ∵EF平面DED1，
∴EF∥平面BCC1B1． ................6分
方法一（2）∵AB＝BC＝CC1＝2CD，∠BCD＝∠C1CD＝60°，
设CD＝1，则BC＝2，BD2＝3 ∴BD⊥CD． 同理：C1D⊥CD，
∵平面D1C1CD⊥平面ABCD，平面D1C1CD∩平面ABCD＝CD，C1D平面D1C1CD，
∴C1D⊥平面ABCD， ∴C1D⊥BC．∴C1D⊥B1C1
在平面ABCD中，过D作DH⊥BC，垂足为H，连结C1H．
∴BC⊥平面C1DH，∵C1H平面C1DH，
∴BC⊥C1H， 所以，B1C1⊥C1H，
∴∠DC1H为平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角．
在Rt△BCD中， C1D＝， 在Rt△C1DH，C1H＝，∴cos∠DC1H＝
∴平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角（锐角）的余弦值为 ................12分
方法二：可以建立空间坐标系解答，（略）]
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠AA1B1＝45°，AC＝BC，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，E为CC1中点.
（1）求证：BB1⊥AC；
（2）若直线A1C1与平面ABB1A1所成角为45°，求平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值．[endnoteRef:7]
[7: 答案：；
【证明】（1）过点做交于，因为面 ，，
所以，故，………2分
又因为，所以，故，
因为，所以，又因为，所以面，
故．………5分
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标，
，
设面的法向量为， 则令，
得； ………7分
设面的法向量为，则令
得；………9分
………11分
面与面所成锐二面角的余弦值为．………12分
]
《空间向量》专题12－4 二面角（中档）
如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个四棱锥P－ABCD组合而成，其中.
（1）证明：AD⊥平面ABFE；
（2）若四棱锥P－ABCD的高2，求二面角C－AF－P的余弦值.[endnoteRef:8]
[8: 答案：；
（1）证明：直三棱柱中，平面，所以，
又，所以平面；
（2）解：由（1）知平面，以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系（如图所示），，则，，，，，，，设平面的一个法向量，
则，取，则，所以.
设平面的一个法向量，则，取，则.
所以，所以，
因为二面角的平面角是锐角，所以所求二面角的余弦值为.
]
如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，
若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB＝2A1B1＝4A1A．
（Ⅰ）若，，证明：DE∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）若二面角C1﹣AA1﹣B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．[endnoteRef:9]
[9: 答案：；
【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，BC1，
在梯形A1C1CA中，AC＝2A1C1，
∵AC1∩A1C＝D，，
∴，
又，∴DE∥BC1，
∵BC1 平面BCC1B1，DE 平面BCC1B1，
∴DE∥平面BCC1B1 ；
（Ⅱ）解：侧面A1C1CA是梯形，∵A1A⊥A1C1，∴AA1⊥AC，
又A1A⊥AB，∴∠BAC为二面角C1﹣AA1﹣B的平面角，则∠BAC＝，
∴△ABC，△A1B1C1均为正三角形，
在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，
不妨设AA1＝1，则A1B1＝A1C1＝2，AC＝AC＝4，
故点A1（0，0，1），C（0，4，0），．
设平面A1B1BA的法向量为，
则有，取，得；
设平面C1B1BC的法向量为，
则有，取，得．
∴，
故平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值为．
]
《空间向量》专题12－5 二面角（中档）
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均2，D为棱BB1（不包括端点）上一动点，E是AB的中点．
（Ⅰ）若AD⊥A1C，求BD的长；
（Ⅱ）当D在棱BB1（不含端点）上运动时，求平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围．[endnoteRef:10] [10: 答案：（，]；
证明：（Ⅰ），由AC＝BC，AE＝BE，知CE⊥AB，
又平面ABC⊥平面ABB1A1，所以CE⊥平面ABB1A1
而AD 平面ABB1A1，∴AD⊥CE，又AD⊥A1C所以AD⊥平面A1CE，
所以AD⊥A1E．易知此时D为BB1的中点，故BD＝1．…………………5分
（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，
过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，设 BD＝t，
则A（－1，0，0），D（1，0，t），C1（0，，2），
＝（2，0，t），＝（1，，2），设平面ADC1的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得，
平面ABC的法向量＝（0，0，1），设平面ADC1与平面ABC的夹角为θ，
∴cosθ＝＝＝＝
由于t∈（0，2），故cosθ∈（，]．
即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为（，]．………………12分]
菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝2，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF位置，.
（1）证明：D′H⊥平面ABCD；
（2）求二面角B－D′A－C的正弦值.[endnoteRef:11]
[11: 答案：；
解：(1)∵，
∴，∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，∴，∴
∵，
∴；
又，，∴，∴，∴，
∴，∴，又∵，
∴平面.
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，
设平面的一个法向量为，
由得，取，
∴，同理可得平面的法向量为，
∴，∴.
]
如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，，，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.
（1）求证：PD⊥平面ABC；
（2）若PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角.[endnoteRef:12]
[12: 答案：；
（1）证明：连接，由题意知
，则，...............2分
又因为，所以
因为，都在平面内，
所以平面 ；...............4分
（2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系，
且与平面所成的角为，有，
则
∴
因为
由（1）知平面，∴ 平面...............8分
∴为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，则
∴，令，则，...............10分
∴为平面的一个法向量.
∴
故平面与平面的锐二面角的余弦值为，
所以平面与平面的锐二面角为................12分]
《空间向量》专题12－6 二面角（中档）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，，.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）若，，，求二面角的余弦值.[endnoteRef:13]
[13: 答案：90°，；
解：（1）取中点，连接，可证面，
所以异面直线与所成的角为90°
（2）设，则，，又，可得.
由（1）知，从而平面，
以为坐标原点，的方向分别为轴建立坐标系.
则，，，，
，所以，
，，，
可求得平面的法向量，
平面的法向量，
所以
又二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
]
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为与的交点，为上任意一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，并且二面角的大小为，求的值.[endnoteRef:14]
[14: 答案：；
解：（1）因为平面，∴，
又是菱形，∴，故平面
∴平面平面.
（2）解：连结，因为平面，
所以，所以平面，
又是的中点，故此时为的中点，
以为坐标原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系
设，则，
向量为平面的一个法向量
设平面的一个法向量为，
则且
即且，
取，则，，则
∴，解得
故.
]
《空间向量》专题12－7 二面角（中档）
如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．（[endnoteRef:15]）
[15: 答案：；
解:（Ⅰ）(解法一)：由题意可知 ，解得 ，……分
在中，， …………分
∴，又∵是的中点，∴.　　　① …………分
∵为圆的直径，∴.
由已知知 ，∴，
∴ . …………分
∴. ②
∴由①②可知：，
∴. …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，∴，，
∴是二面角的平面角 . …………8分
， ， .
∴ .
. ………12分
(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，
由题意可知.解得.
则，，， ，
∵是的中点，
∴ 可求得. …………3分
（Ⅰ），，
∴.
∵，
∴. …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ，
， .
∵，.∴是平面的法向量. ……8分
设是平面的法向量，由，，
解得 ………10分
.
所以二面角的平面角的余弦值. …………12分]
如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组合而成，其中，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若四棱锥的高2，求二面角的余弦值．[endnoteRef:16]
[16: 答案：；
（Ⅰ）证明：直三棱柱中，平面，……………… 2分
所以，又，，……………… 3分
所以平面．　……………… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系（如图所示），，则，，，，，，．……………… 6分
设平面的一个法向量，
则取，则，
所以．……………… 8分
设平面的一个法向量，则
取，则，，所以．……………… 10分
所以……………… 11分
因为二面角的平面角是锐角，
所以所求二面角的余弦值为．……………… 12分
]
如图，直角梯形中，，等腰梯形中，，且平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．[endnoteRef:17]
[17: 答案：；
解：（1）∵平面平面，，平面平面，
∴平面，又平面，∴，
又∵，且，∴平面；
（2）设，∵四边形为等腰梯形，，
∴，
∵，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，∴平面，
∴为与平面所成的角，∴，
又∵，∴，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，∵平面，∴平面的法向量为，
设平面的一个法向量为，
由得，令得，，
，∴二面角的余弦值为．]
《空间向量》专题12－8 二面角（中档）
如图，在直角梯形中，，且分别为的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的大小.[endnoteRef:18]
[18: 答案：；
（1）证明：有题可得，则，
又，且，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
（2）解：过点作交于点，连接，则平面，.
又，所以平面.
易得，则，得.
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
故.
设是平面的法向量，则
令得.
设是平面的法向量，则同理.
因为，所以二面角为.
]
如图，四棱柱的底面为菱形，且.
（1）证明：四边形为矩形；
（2）若，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.[endnoteRef:19]
[19: 答案：；
（1）证明:连接，设，连接.
∵，∴.
又为的中点，∴..
∴平面，∴.
∵，∴.
又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.
（2）解:过点作平面，垂足为，由已知可得点在上，∴.
设，则.
在菱形中，，∴.
∴点与点重合，则平面.
以为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则.
∴.
设平面的法向量为，则 ，∴即
取，可得为平面的一个法向量.
同理可得平面的一个法向量为。
∵.所以二面角的余弦值为.
]