2020年暑期衔接训练人教版数学八年级下册：第1讲 二次根式
一、单选题
1．（2020八下·长兴期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八下·广州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八下·沈阳月考）若 有意义，则 的值是（ ）
A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数
4．如果 ，那么 的取值范围是（ ）.
A． ≥0 B． ≥6
C．0≤ ≤6 D． 为一切实数
5．如果两个最简二次根式 与 同类二次根式，那么使 有意义的x取值范围是（ ）.
A． ≤10 B． ≥10 C． <10 D． >0
6．（2020八下·北京期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019八上·玉田期中）如图，表示 的点应在（ ）
A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上
8．（2019八上·平川期中）下列运算正确的是（ ）
A． + =
B． ×（ ﹣ ）= × =
C． =±3
D．| ﹣ |= ﹣
9．（2019八上·浦东期中）下列根式中与 不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
二、填空题
11．计算（5+ ）（ ﹣ ）= ．
12．（2019八下·东至期末）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则a= ．
13．（2019八下·蚌埠期末）若代数式 有意义，则实数x的取值范围 ．
14．（2019八下·新余期末）ab＜0，则 化简结果是 ．
15．（2020八下·越秀期中）若 =3-x，则x的取值范围是 ．
16．（2020八下·杭州期中）若a= ，则a3-a+1= 。
17．（2019八下·涡阳期末）已知y= + +3，则 的值为 ．
18．（2019八下·武城期末）把（a-2） 根号外的因式移到根号内,其结果为 .
19．（2019八上·浦东期中）化简 .
20．如果（x﹣ ）（y﹣ ）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007= ．
三、计算题
21．（2020八下·广州期中）计算
（1）
（2）
四、解答题
22．若 是一个正整数，那么正整数m的最小值是多少？请探究．
23．已知函数 ，当自变量x取何值时，函数y有最小值？并求出最小值．
24．已知：a= ﹣2，b= +2，分别求下列代数式的值：
（1）a2+ab+b2
（2）
25．若 为实数,且 ,求 的值.
五、综合题
26．先化简，再求值．
（1） +6 ﹣2x ，其中x=4
（2） +3 +x ，其中x=6．
27．综合题
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A，，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、被开方数含有小数，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、的被开方数含有分数，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用最简二次根式的定义：被开方数不能含有能开得尽方的因数和因式，被开方数不能喊分母，再对各选项逐一判断。
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
3．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 有意义，则 ＞0,
＜0，
故答案为：D.
【分析】由二次根式有意义的条件得： ＜0，分子分母都乘以 ，且 ，由化简的结果可得答案.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意可得，解得x≥6.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数不为负数，列出不等式组，求解即可.
5．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意可知：3a-8=17-2a，解得a=5，
将a=5代入
得，
要使有意义则满足4×5-2x≥0，
解得 x≤10.
故答案为：A.
【分析】将各个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式，根据定义列出关于a的一元一次方程，求解得出a的值，将a的值代入，进而根据二次根式有意义的条件是被开方数需不小于0，从而列出不等式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ， 故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，符合题意；
故答案为D．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则进行排除即可．
7．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵8＜ ＜9，5＜ ＜6，
∴3＜ ＜4，
∴那么与实数 对应的点在线段BC上，
故答案为：B．
【分析】先估算 、 的大小，再确定 的大小，可得结论．
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 + ≠ ，故A选项错误；
B、 ×（ ﹣ ）= × - × = - = - = ，故B选项错误；
C、 =3，故C选项错误；
D、| ﹣ |= ﹣ ，故D选项正确.
故答案为：D
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的乘法即加减法法则进行计算，可对B作出判断；利用算术平方根的性质，可对C作出判断；根据任何数的绝对值都是非负数，可对D作出判断。
9．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 = ，
A、 与 是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、 与 = 是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、 与 是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、 与 =b 不是同类二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先把 化成最简二次根式 ，再根据同类二次根式的定义判断即可．
10．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
11．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=（5+ ）（ － ）= + - - = ．
【分析】快速准确的进行二次根式的加减混合运算是学生学习本节的一项基本要求．
12．【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵ =2 ，
∴a=2，
故答案为：2．
【分析】根据同类二次根式的概念求解可得
13．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x-3≥0，
解得：x≥3
故答案为：x≥3．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
14．【答案】﹣a
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ab＜0， 有意义，
∴a＜0，b＞0，
∴ ＝﹣a ，
故答案为：﹣a ．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.
15．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ =3﹣x，
∴x-3≤0，
解得：x≤3，
【分析】根据二次根式的值的非负性，即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
两边平方得：4a2+4a=4
∴a2+a=1即a2=1-a，
∴原式=a2·a-a+1=a（1-a）-a+1=-a2+1
=.
故答案为：.
【分析】将等式转化为a2=1-a，再将代数式转化为a2·a-a+1，然后代入可得到-a2+1，再将a的值代入计算可求值。
17．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵x-4≥0，4-x≥0，
∴x=4，
∴y=3，
则 = ．
故答案为： ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．
18．【答案】-
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】根据二次根式有意义的条件，可知2-a＞0，解得a＜2，即a-2＜0，因此可知（a－2） 根号外的因式移到根号内后可得（a－2） = .
故答案为－ .
【分析】由题意得，2 a＞0，则a 2＜0，那么此根式为负，把负号留在根号外，a 2平方后，移到根号内，约分即可．
19．【答案】 .
【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义知， ，
∴ ，
∴ = .
故答案为： .
【分析】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.
20．【答案】1
【知识点】二次根式的应用；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：设a= ，b= ，则x2﹣a2=y2﹣b2=2008，
∴（x+a）（x﹣a）=（y+b）（y﹣b）=2008①
∵（x﹣a）（y﹣b）=2008②
∴由①②得
x+a=y﹣b，x﹣a=y+b
∴x=y，a+b=0，
∴ + =0，
∴x2=y2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008﹣2×2008+3（x﹣y）﹣2007=2008+3×0﹣2007=1．
故答案为：1
【分析】本题先通过设辅助未知数a、b，再代入已知式子对其变形，即可分别找到x与y、a与b的关系，从而利用算术平方根的非负性求出x、y的值，最后代入所求式子可得结果。
21．【答案】（1）
=
=
（2）
=
=
=
= ．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解．
22．【答案】解：∵ 是一个正整数，
∴根据题意， 是一个最小的完全平方数，
∴m=5．
【知识点】二次根式的定义
【解析】【分析】由于 =2 是一个正整数，所以根据题意， 也是一个正整数，故可得出m的值
23．【答案】解：∵ ≥0，
∴y= +5≥5，
∴当 =0时，y有最小值，
即3x+4=0，
所以x=﹣ ，y有最小值5
【知识点】二次根式的定义
【解析】【分析】由于 ≥0，则y= +5≥5，当 =0时，y有最小值，然后求出此时的x与y的值．
24．【答案】（1）解：∵a=-2，b=+2，
∴a+b=（-2）+（+2）=2
ab=（-2）（+2）=3-4=-1
∴a +ab+b =（a+b） -ab=（2） -（-1）=13
（2）解：===-2
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）求出a+b和ab的值，把所求代数式化成含有a+b和ab的形式，代入即可；（2）通分后把a+b和ab的值代入求出即可．
25．【答案】解：由题意可得：
解得 x=;
将x=代入
得y=，
∴ =.
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求解得出x的值，将x的值代入方程即可求出y的值，最后将代数式变形后代入x,y的值，根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式即可.
26．【答案】（1）解： +6 ﹣2x ，
=2 +3 ﹣2
=3
把x=4代入上式得：
原式=3× =6；
（2）解： +3 +x ，
=2 + +
=4 ，
把x=6代入上式得：
原式=4× =12
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并，然后把x的值代入计算即可；
27．【答案】（1）解： ，
，
故 ＜
（2）解： ，
，
故 ＜
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）比较两个二次根式的大小，用分母有理化的法则先将其化为最简二次根式，再比较大小即可；（2）方法同（1）.
1 / 12020年暑期衔接训练人教版数学八年级下册：第1讲 二次根式
一、单选题
1．（2020八下·长兴期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A，，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、被开方数含有小数，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、的被开方数含有分数，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用最简二次根式的定义：被开方数不能含有能开得尽方的因数和因式，被开方数不能喊分母，再对各选项逐一判断。
2．（2020八下·广州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
3．（2020八下·沈阳月考）若 有意义，则 的值是（ ）
A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 有意义，则 ＞0,
＜0，
故答案为：D.
【分析】由二次根式有意义的条件得： ＜0，分子分母都乘以 ，且 ，由化简的结果可得答案.
4．如果 ，那么 的取值范围是（ ）.
A． ≥0 B． ≥6
C．0≤ ≤6 D． 为一切实数
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意可得，解得x≥6.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数不为负数，列出不等式组，求解即可.
5．如果两个最简二次根式 与 同类二次根式，那么使 有意义的x取值范围是（ ）.
A． ≤10 B． ≥10 C． <10 D． >0
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意可知：3a-8=17-2a，解得a=5，
将a=5代入
得，
要使有意义则满足4×5-2x≥0，
解得 x≤10.
故答案为：A.
【分析】将各个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式，根据定义列出关于a的一元一次方程，求解得出a的值，将a的值代入，进而根据二次根式有意义的条件是被开方数需不小于0，从而列出不等式求解即可.
6．（2020八下·北京期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ， 故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，符合题意；
故答案为D．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则进行排除即可．
7．（2019八上·玉田期中）如图，表示 的点应在（ ）
A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵8＜ ＜9，5＜ ＜6，
∴3＜ ＜4，
∴那么与实数 对应的点在线段BC上，
故答案为：B．
【分析】先估算 、 的大小，再确定 的大小，可得结论．
8．（2019八上·平川期中）下列运算正确的是（ ）
A． + =
B． ×（ ﹣ ）= × =
C． =±3
D．| ﹣ |= ﹣
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 + ≠ ，故A选项错误；
B、 ×（ ﹣ ）= × - × = - = - = ，故B选项错误；
C、 =3，故C选项错误；
D、| ﹣ |= ﹣ ，故D选项正确.
故答案为：D
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的乘法即加减法法则进行计算，可对B作出判断；利用算术平方根的性质，可对C作出判断；根据任何数的绝对值都是非负数，可对D作出判断。
9．（2019八上·浦东期中）下列根式中与 不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 = ，
A、 与 是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、 与 = 是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、 与 是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、 与 =b 不是同类二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先把 化成最简二次根式 ，再根据同类二次根式的定义判断即可．
10．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
二、填空题
11．计算（5+ ）（ ﹣ ）= ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=（5+ ）（ － ）= + - - = ．
【分析】快速准确的进行二次根式的加减混合运算是学生学习本节的一项基本要求．
12．（2019八下·东至期末）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则a= ．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵ =2 ，
∴a=2，
故答案为：2．
【分析】根据同类二次根式的概念求解可得
13．（2019八下·蚌埠期末）若代数式 有意义，则实数x的取值范围 ．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x-3≥0，
解得：x≥3
故答案为：x≥3．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
14．（2019八下·新余期末）ab＜0，则 化简结果是 ．
【答案】﹣a
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ab＜0， 有意义，
∴a＜0，b＞0，
∴ ＝﹣a ，
故答案为：﹣a ．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.
15．（2020八下·越秀期中）若 =3-x，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ =3﹣x，
∴x-3≤0，
解得：x≤3，
【分析】根据二次根式的值的非负性，即可得到答案．
16．（2020八下·杭州期中）若a= ，则a3-a+1= 。
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
两边平方得：4a2+4a=4
∴a2+a=1即a2=1-a，
∴原式=a2·a-a+1=a（1-a）-a+1=-a2+1
=.
故答案为：.
【分析】将等式转化为a2=1-a，再将代数式转化为a2·a-a+1，然后代入可得到-a2+1，再将a的值代入计算可求值。
17．（2019八下·涡阳期末）已知y= + +3，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵x-4≥0，4-x≥0，
∴x=4，
∴y=3，
则 = ．
故答案为： ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．
18．（2019八下·武城期末）把（a-2） 根号外的因式移到根号内,其结果为 .
【答案】-
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】根据二次根式有意义的条件，可知2-a＞0，解得a＜2，即a-2＜0，因此可知（a－2） 根号外的因式移到根号内后可得（a－2） = .
故答案为－ .
【分析】由题意得，2 a＞0，则a 2＜0，那么此根式为负，把负号留在根号外，a 2平方后，移到根号内，约分即可．
19．（2019八上·浦东期中）化简 .
【答案】 .
【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义知， ，
∴ ，
∴ = .
故答案为： .
【分析】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.
20．如果（x﹣ ）（y﹣ ）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007= ．
【答案】1
【知识点】二次根式的应用；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：设a= ，b= ，则x2﹣a2=y2﹣b2=2008，
∴（x+a）（x﹣a）=（y+b）（y﹣b）=2008①
∵（x﹣a）（y﹣b）=2008②
∴由①②得
x+a=y﹣b，x﹣a=y+b
∴x=y，a+b=0，
∴ + =0，
∴x2=y2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008﹣2×2008+3（x﹣y）﹣2007=2008+3×0﹣2007=1．
故答案为：1
【分析】本题先通过设辅助未知数a、b，再代入已知式子对其变形，即可分别找到x与y、a与b的关系，从而利用算术平方根的非负性求出x、y的值，最后代入所求式子可得结果。
三、计算题
21．（2020八下·广州期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1）
=
=
（2）
=
=
=
= ．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解．
四、解答题
22．若 是一个正整数，那么正整数m的最小值是多少？请探究．
【答案】解：∵ 是一个正整数，
∴根据题意， 是一个最小的完全平方数，
∴m=5．
【知识点】二次根式的定义
【解析】【分析】由于 =2 是一个正整数，所以根据题意， 也是一个正整数，故可得出m的值
23．已知函数 ，当自变量x取何值时，函数y有最小值？并求出最小值．
【答案】解：∵ ≥0，
∴y= +5≥5，
∴当 =0时，y有最小值，
即3x+4=0，
所以x=﹣ ，y有最小值5
【知识点】二次根式的定义
【解析】【分析】由于 ≥0，则y= +5≥5，当 =0时，y有最小值，然后求出此时的x与y的值．
24．已知：a= ﹣2，b= +2，分别求下列代数式的值：
（1）a2+ab+b2
（2）
【答案】（1）解：∵a=-2，b=+2，
∴a+b=（-2）+（+2）=2
ab=（-2）（+2）=3-4=-1
∴a +ab+b =（a+b） -ab=（2） -（-1）=13
（2）解：===-2
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）求出a+b和ab的值，把所求代数式化成含有a+b和ab的形式，代入即可；（2）通分后把a+b和ab的值代入求出即可．
25．若 为实数,且 ,求 的值.
【答案】解：由题意可得：
解得 x=;
将x=代入
得y=，
∴ =.
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求解得出x的值，将x的值代入方程即可求出y的值，最后将代数式变形后代入x,y的值，根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式即可.
五、综合题
26．先化简，再求值．
（1） +6 ﹣2x ，其中x=4
（2） +3 +x ，其中x=6．
【答案】（1）解： +6 ﹣2x ，
=2 +3 ﹣2
=3
把x=4代入上式得：
原式=3× =6；
（2）解： +3 +x ，
=2 + +
=4 ，
把x=6代入上式得：
原式=4× =12
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并，然后把x的值代入计算即可；
27．综合题
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
【答案】（1）解： ，
，
故 ＜
（2）解： ，
，
故 ＜
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）比较两个二次根式的大小，用分母有理化的法则先将其化为最简二次根式，再比较大小即可；（2）方法同（1）.
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