《三角函数》专题29 和差公式（中下）学案（Word版含答案）

《三角函数》专题29-1 和差公式（中下）
（8套，5页，含答案）
知识点1：
先凑数，后展开： 有些题目，按常规方法展开，会出现两项未知项，运算繁琐。可以先凑数，再展开。 也可以用换元法。
典型例题1：
已知sin＝，<α<，则cosα的值是(　[endnoteRef:0]　)
A. B. C. D. [0: [答案]　A；
[解析]　∵<α<，∴<＋α<π.
∴cos＝－＝－.
∴cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
]
已知均为锐角，，，则角为（ [endnoteRef:1] ）
A. B. C. D. [1: 答案：A；]
知识点2：
考虑角度正负： 有些题目要考虑角度范围，再决定正负。
典型例题2：
，，，是第三象限角，则（　[endnoteRef:2]　）
A、 B、 C、 D、 [2: 答案：A；]
随堂练习2（换元法、考虑角度正负）：
已知，且，则 [endnoteRef:3] ． [3: 答案：；]
都是锐角，且，，则的值是（[endnoteRef:4]　　）
A、 B、 C、 D、 [4: 答案：C；]
已知锐角满足，求（1） （2）（[endnoteRef:5]） [5: 答案：（1）；（2）； ]
《三角函数》专题29-2 和差公式（中下）
已知sinα＝，cosβ＝－，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．[endnoteRef:6] [6: 答案：sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－；
[解析]　∵sinα＝>0，cosβ＝－，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．
(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时，
cosα＝，sinβ＝
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×(－)＋×＝.
∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
×(－)－×＝＝－.
(2)当α为第二象限角且β为第三象限角时
∵sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝－，sinβ＝－，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×(－)＋(－)×(－)＝
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×(－)－(－)×(－)＝－，
综上可知：sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－.
]
在中，，那么的值为（ [endnoteRef:7] ）
A. 或 B. C. D. [7: 答案：A；]
已知，且，则 [endnoteRef:8] ． [8: 答案：；]
已知0＜α＜＜β＜π，sinα= , cos（α＋β）=－ ,则sinβ等于（ [endnoteRef:9] ）
A．0 B．0或 C． D．0或 － [9: 答案：B；]
《三角函数》专题29-3 和差公式（中下）
在△ABC中，cosA＝且cosB＝，则 [endnoteRef:10] ． [10: 答案：；]
已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M(，)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α、β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．[endnoteRef:11] [11: [解析]　(1)由题意，知A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)．将点M(，)代入，得sin(＋φ)＝.而0<φ<π，∴＋φ＝π，∴φ＝，故f(x)＝sin(x＋)＝cosx.
(2)由题意，有cosα＝，cosβ＝.
∵α、β∈(0，)，∴sinα＝＝，sinβ＝＝，
∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝
]
已知，且均为锐角，则 [endnoteRef:12] ． [12: 答案：；]
已知，，且、均为锐角，则 [endnoteRef:13] ． [13: 答案：1或；]
《三角函数》专题29-4 和差公式（中下）
已知sinα=－,cosβ= ,且α、β在同一象限，则sin（α－β）的值是（ [endnoteRef:14] ）
A． B．－ C． D．－ [14: 答案：D；]
已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(　[endnoteRef:15]　)
A．0　　　　 B.　　 　 C．0或　　 D．0或± [15: [答案]　A
[解析]　由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.
]
已知，，且，则 [endnoteRef:16] ． [16: 答案：；]
已知，，=，=，则=（ [endnoteRef:17] ）
A. B. C. D. [17: 答案：A；]
《三角函数》专题29-5 和差公式（中下）
已知锐角满足，求（1） （2）（[endnoteRef:18]） [18: 答案：（1）；（2）；]
已知函数，．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，求．（[endnoteRef:19]） [19: 【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）
因为，，所以，
所以，
所以．
]
已知，且，则 [endnoteRef:20] ． [20: 答案：；]
已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝(　[endnoteRef:21]　)
A．－ B．－ C. D. [21: 答案：C；
[解析]　∵α、 β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
]
《三角函数》专题29-6 和差公式（中下）
[endnoteRef:22]如图，正方形的边长为，
延长至，使，连接、则（ ）
A、 B、 C、 D、 [22: 答案：B；
]
已知函数，（其中，）的最小正周期为10π．
（1）求的值；
（2）设，，，求的值．（[endnoteRef:23]） [23: 【答案】（1），所以；
（2），所以．
，所以．
因为、，所以，，
所以．
]
已知cos＝cosα，则tanα＝_____[endnoteRef:24]___. [24: 答案：；
[解析]　cos＝cosαcos＋sinαsin
＝cosα＋sinα＝cosα，∴sinα＝cosα，∴＝，即tanα＝.
]
若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　[endnoteRef:25]　)
A. B. C. D. [25: 答案：C；
　[∵cos α＝，cos(α＋β)＝，∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.]]
《三角函数》专题29-7 和差公式（中下）
已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(　[endnoteRef:26]　)
A．0　　　　 B.　　 　 C．0或　　 D．0或± [26: 答案：A；
[解析]　由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.
]
．（1）求的值；
（2）设求的值．（[endnoteRef:27]） [27: 【答案】解：（1）；
（2），，又，，
，，
又，，
．
]
已知，且，则 [endnoteRef:28] ． [28: 答案：；]
已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．[endnoteRef:29] [29: 答案：；
解　∵α∈，tan α＝4，∴sin α＝，cos α＝.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.]
《三角函数》专题29-8 和差公式（中下）
已知锐角满足，则等于（[endnoteRef:30] ）
[30: 答案：C；]
若sinα·sinβ＝1，则cos(α－β)的值为(　[endnoteRef:31]　)
A．0 B．1 C．±1 D．－1 [31: [答案]　B
[解析]　∵sinαsinβ＝1，∴或，
由cos2α＋sin2α＝1得cosα＝0，∴cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0＋1＝1.
]
已知，且，则 [endnoteRef:32] ． [32: 答案：；]
都是锐角，且，，则的值是（[endnoteRef:33]　　）
A、 B、 C、 D、 [33: 答案：C；]