人教版数学八年级上册第13章 13.3.1等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．等腰三角形是轴对称轴图形，它的对称轴是（ ）
A．过顶点的直线 B．底边上的高
C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在直线，底边高所在的直线，底边中线所在直线，
A、过顶点的直线，错误；
B、底边上的高，错误；
C、顶角的平分线所在的直线，正确；
D、腰上的高所在的直线错误，错误．
故选C．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质，可得出答案．
2．下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=30°，∠B=60° B．AB=5，AC=12，BC=13
C．∠A=50°，∠B=80° D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解；A、当∠A=30°，∠B=60°时，∠C=90°，不是等腰三角形，所以A选项错误．
B、当AB=5，AC=12，BC=13，52+122=132，所以是直角三角形，不是等腰三角形，错误；
C、当A=50°，∠B=80°，∠C=50°，是等腰三角形，正确，
D、当∠A：∠B：∠C=3：4：5，不是等腰三角形，所以D选项错误．
故选C．
【分析】根据等腰三角形判定，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
3．在平面直角坐标系内点A、点B的坐标分别为（0，3）、（4，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有7个．
故选C．
【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．
4．下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A，因为有两个角为30°、60°，则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B，因为有两个角为40°、80°，则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C，因为有两个角为50°、80°，则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D，因为100°+120°＞180°，所以此选项不正确；
故选C．
【分析】根据三角形内角和定理可求得第三个角的度数，再根据有两个角相等的三角形是等腰三角形进行判定．
5．在平面直角坐标系中，已知A（1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PAO为等腰三角形，这样的P点有几个（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，使得△PAO为等腰三角形，这样的P点有8个．
故选B．
【分析】建立平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．
6．下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（ ）
A．1，1，2 B．4，2，4 C．2，3，4 D．3，3，7
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A、因为1+1=2，所以本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；
B、因为4﹣4＜2＜4+4，所以本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确；
C、因为这个三角形没有一组相等的边，所以构不成等腰三角形；故本选项错误；
D、因为3+3＜7，所以本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；
故选B．
【分析】根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断．
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
8．如图，直线m，n交于点B，m、n的夹角为50°，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等腰三角形，
∴分三种情况：①当以∠C为顶角时，则有BC=AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，可知满足条件；②当以∠A为顶角时，则有AC=AB，由两直线夹角为50°，可知此时点C只能在直线m的上方，有一个点；③当以∠B为顶角时，则有AB=CB，此时点C可以在直线m的上方，也可以在直线n的上方，有两个点，
综上可知满足条件的C点有4个，
故选D．
【分析】分别以∠A、∠B、∠C为顶角进行讨论即可求得答案．
9．（2017八下·定安期末）如图，在正方形ABCD内部作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，
∴∠ABC=90°，∠EBC=60°，AB=BC=BE，
∴∠ABE=30°，
∴∠BAE=∠AEB= =75°，
故选D．
【分析】根据正方形和等边三角形的性质得到∠ABC=90°，∠EBC=60°，AB=BC=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
10．下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=50°，∠B=40° B．∠A=70°，∠B=40°
C．AB=AC=4，BC=8 D．AB=3，BC=8，周长为16
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：解；当顶角为∠B=40°时，∠C=70°≠50°，
当顶角为∠A=50°时，∠C=65°≠40°
所以A选项错误．
当顶角为∠A=70°时，∠B=∠C=40°，
当顶角为∠B=40°时，∠B=∠C=70°，
所以B选项正确．
当AB=AC=3，BC=63+3=6，不能构成三角形，
所以C选项错误．
当AB=3、BC=8，周长为16，
AC=5，
所以D选项错误，
故选B．
【分析】根据等腰三角形判定，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
11．（2017八下·海淀期末）如图，在△ 中， ， ， 边上的中线 ，那么 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵ ， 边上的中线，
∴BD=3.
，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
∴AC=AB=5，故选A.
12．（2017八下·遂宁期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的中线 ，若∠A=20°，则∠BDC=（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD．
∴∠A＝∠DCA＝20°，
∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝20°＋20°＝40°．
故选B．
二、填空题
13．△ABC中其周长为7，AB=3，当BC= 时，△ABC为等腰三角形．
【答案】1或2
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：因为△ABC中其周长为7，AB=3，
设AB为腰，BC为底时，则BC=7﹣3﹣3=1，可构成三角形；
设AB为腰，BC为腰时，则BC=3，可构成三角形。
设AB为底，则BC= ，可构成三角形；
故答案为：1或2或3
【分析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了周长，根据三角形的条件即可求解．
14．已知△ABC是等腰三角形，其边长为3和7，△DEF≌△ABC，则△DEF的周长是 ．
【答案】17
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3为腰时，3+3=6，
∵6＜7，
∴3、3、7不能组成三角形；
当7为腰时，3+7=10，
∵7＜10，
∴3、7、7能组成三角形．
∴△ABC的周长为3+7+7=17．
又∵△DEF≌△ABC，
∴△DEF的周长是17．
故答案为：17．
【分析】根据等腰三角形的性质结合三角形三边关系即可得出等腰三角形的三边长为3、7、7，再根据全等三角形的性质结合三角形的周长即可得出结论．
15．如图，四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则∠BDP= ．
【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，
∴BC=DC=CP，∠DCB=90°，∠PCB=60°，
∴∠DCP=90°﹣60°=30°，∠CDB=∠CBD=45°，
∠CDP=∠CPD= （180°﹣30°）=75°，
∴∠BDP=∠CDP﹣∠CDB=75°﹣45°=30°，
故答案为：30°．
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质得出BC=DC=CP，∠DCB=90°，∠PCB=60°，求出∠DCP=30°，∠CDB=∠CBD=45°，∠CDP=∠CP=75°，即可求出答案．
16．（2017八上·北海期末）如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC边上一点，连接AD，若AB=AD=DC，则∠B= ．
【答案】72°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
∵AB=AD=DC，
∴∠B=∠ADB，∠C=∠CAD，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠B=2∠C，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴5∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴∠B=72°，
故答案为：72°．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠CAB，∠B=∠ADB，∠C=∠CAD，由三角形的外角的性质得到∠ADB=∠C+∠CAD，得到∠B=2∠C，根据三角形的内角和即可得到结论．
17．（2017八上·宜春期末）如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．
【答案】120°或75°或30°
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】
解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
①当E在E1时，OE=CE，
∵∠AOC=∠OCE=30°，
∴∠OEC=180°﹣30°﹣30°=120°；
②当E在E2点时，OC=OE，
则∠OCE=∠OEC= （180°﹣30°）=75°；
③当E在E3时，OC=CE，
则∠OEC=∠AOC=30°；
故答案为：120°或75°或30°．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE=CE，OC=OE，OC=CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
18．（2017八上·双台子期末）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，
AP=20﹣3x，AQ=2x
即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故答案为：4．
【分析】设运动的时间为x，则AP=20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20﹣3x=2x，解得x即可．
三、解答题
19．（2017八下·房山期末）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．过点D作AB的平行线，过点B作AC的平行线，两平行线相交于点E， BC交DE于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．
【答案】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC∴AD=DC，BD⊥CA∵AB∥DE， AD∥BE∴四边形ABED是平行四边形∴AD=BE，AD∥BE， AB=DE∴DC=BE，DC∥BE∴四边形BECD是平行四边形∵BD⊥CA∴∠BDC=90°∴四边形BECD是矩形
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形. 结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到◇BECD是矩形.
20．（2017八下·宁德期末）如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，M，F．若∠CAD=20°，求∠MCD的度数．
【答案】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∵∠CAD=20°，
∴∠ACD=70°，
∵EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∴∠ACM=∠CAD=20°，
∴∠MCD=50°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和得到∠ACD=70°，根据线段垂直平分线的性质得到∠ACM=∠CAD=20°，于是得到结论．
四、综合题
21．（2017八下·定安期末）如图，已知△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：BD=CD；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD
（2）解：当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴ AFBD是矩形
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
22．（2017八下·石景山期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF=CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F=60°， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AB=CD，AD∥BC．∴∠F=∠1．又∵ AF平分∠BAD，∴∠2=∠1．
∴∠F=∠2．
∴AB=BF．
∴BF=CD．
（2）解：∵AB=BF，∠F=60°，∴△ABF为等边三角形．
∵BE⊥AF，∠F=60°，
∴∠BEF=90°，∠3=30°．
在Rt△BEF中，设 ，则 ，
∴ ．∴ ．
∴AB=BF=4．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）已知四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD∥BC，所以∠F=∠1．再由AF平分∠BAD，可得∠2=∠1．所以∠F=∠2，根据等腰三角形的判定可得AB=BF，即可得BF=CD；
（2）根据AB=BF，∠F=60°判定△ABF为等边三角形，由等腰三角形的性质判定△BEF为Rt△，在Rt△BEF根据勾股定理即可求解.
23．（2017八下·东莞期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且∠AEF=90°，延长AE交BC的延长线于点G.
（1）求GE的长；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）求CF的长.
【答案】（1）解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC∴∠D=∠DCG=90°，∠DAE=∠G∵E是CD的中点∴DE=CE∴△ADE≌△GCE∴AD=CG∵AD=DC=4
∴CG=4，CE=2
在Rt△GCE中，
∴GE=
（2）证明：由（1）得：△ADE≌△GCE
∴AE=GE
∵∠AEF=90°
∴EF垂直平分AG
∴AF=GF
∴∠FAE=∠G
∵∠DAE=∠G
∴∠FAE=∠DAE
∴AE平分∠DAF
（3）解：在正方形ABCD中
∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4
∴DE=CE=2
设CF=x，则BF=4-x
根据勾股定理得：
AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2
EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4
AE2=AD2+ DE2=42+22=20
在Rt△AEF中，AF2= EF2+ AE2
∴32-8x+ x2= x2+4+20
解得：x=1
∴CF=1
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可以得到△ADE≌△GCE（AAS），根据全等三角形的性质可以得AD=CG；在Rt△GCE中，由勾股定理得到GE长。
（2）由（1）得：△ADE≌△GCE，根据全等三角形的性质可以得AE=GE；再∠AEF=90°，由等腰三角形的性质三线合一可以得到EF垂直平分AG，
AF=GF；再根据等边对等角得∠FAE=∠G，由等量代换可以∠FAE=∠DAE；即AE平分∠DAF。
（3）设CF=x，则BF=4-x，由勾股定理得：AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2；EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4；AE2=AD2+ DE2=42+22=20；
在Rt△AEF中，由AF2= EF2+ AE2解得x=1，即CF=1
1 / 1人教版数学八年级上册第13章 13.3.1等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．等腰三角形是轴对称轴图形，它的对称轴是（ ）
A．过顶点的直线 B．底边上的高
C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线
2．下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=30°，∠B=60° B．AB=5，AC=12，BC=13
C．∠A=50°，∠B=80° D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
3．在平面直角坐标系内点A、点B的坐标分别为（0，3）、（4，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
5．在平面直角坐标系中，已知A（1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PAO为等腰三角形，这样的P点有几个（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（ ）
A．1，1，2 B．4，2，4 C．2，3，4 D．3，3，7
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9个
8．如图，直线m，n交于点B，m、n的夹角为50°，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2017八下·定安期末）如图，在正方形ABCD内部作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
10．下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=50°，∠B=40° B．∠A=70°，∠B=40°
C．AB=AC=4，BC=8 D．AB=3，BC=8，周长为16
11．（2017八下·海淀期末）如图，在△ 中， ， ， 边上的中线 ，那么 的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（2017八下·遂宁期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的中线 ，若∠A=20°，则∠BDC=（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
二、填空题
13．△ABC中其周长为7，AB=3，当BC= 时，△ABC为等腰三角形．
14．已知△ABC是等腰三角形，其边长为3和7，△DEF≌△ABC，则△DEF的周长是 ．
15．如图，四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则∠BDP= ．
16．（2017八上·北海期末）如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC边上一点，连接AD，若AB=AD=DC，则∠B= ．
17．（2017八上·宜春期末）如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．
18．（2017八上·双台子期末）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
三、解答题
19．（2017八下·房山期末）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．过点D作AB的平行线，过点B作AC的平行线，两平行线相交于点E， BC交DE于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．
20．（2017八下·宁德期末）如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，M，F．若∠CAD=20°，求∠MCD的度数．
四、综合题
21．（2017八下·定安期末）如图，已知△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：BD=CD；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
22．（2017八下·石景山期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF=CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F=60°， ，求 的长．
23．（2017八下·东莞期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且∠AEF=90°，延长AE交BC的延长线于点G.
（1）求GE的长；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）求CF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在直线，底边高所在的直线，底边中线所在直线，
A、过顶点的直线，错误；
B、底边上的高，错误；
C、顶角的平分线所在的直线，正确；
D、腰上的高所在的直线错误，错误．
故选C．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质，可得出答案．
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解；A、当∠A=30°，∠B=60°时，∠C=90°，不是等腰三角形，所以A选项错误．
B、当AB=5，AC=12，BC=13，52+122=132，所以是直角三角形，不是等腰三角形，错误；
C、当A=50°，∠B=80°，∠C=50°，是等腰三角形，正确，
D、当∠A：∠B：∠C=3：4：5，不是等腰三角形，所以D选项错误．
故选C．
【分析】根据等腰三角形判定，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有7个．
故选C．
【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A，因为有两个角为30°、60°，则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B，因为有两个角为40°、80°，则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C，因为有两个角为50°、80°，则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D，因为100°+120°＞180°，所以此选项不正确；
故选C．
【分析】根据三角形内角和定理可求得第三个角的度数，再根据有两个角相等的三角形是等腰三角形进行判定．
5．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，使得△PAO为等腰三角形，这样的P点有8个．
故选B．
【分析】建立平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A、因为1+1=2，所以本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；
B、因为4﹣4＜2＜4+4，所以本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确；
C、因为这个三角形没有一组相等的边，所以构不成等腰三角形；故本选项错误；
D、因为3+3＜7，所以本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；
故选B．
【分析】根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断．
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等腰三角形，
∴分三种情况：①当以∠C为顶角时，则有BC=AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，可知满足条件；②当以∠A为顶角时，则有AC=AB，由两直线夹角为50°，可知此时点C只能在直线m的上方，有一个点；③当以∠B为顶角时，则有AB=CB，此时点C可以在直线m的上方，也可以在直线n的上方，有两个点，
综上可知满足条件的C点有4个，
故选D．
【分析】分别以∠A、∠B、∠C为顶角进行讨论即可求得答案．
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，
∴∠ABC=90°，∠EBC=60°，AB=BC=BE，
∴∠ABE=30°，
∴∠BAE=∠AEB= =75°，
故选D．
【分析】根据正方形和等边三角形的性质得到∠ABC=90°，∠EBC=60°，AB=BC=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：解；当顶角为∠B=40°时，∠C=70°≠50°，
当顶角为∠A=50°时，∠C=65°≠40°
所以A选项错误．
当顶角为∠A=70°时，∠B=∠C=40°，
当顶角为∠B=40°时，∠B=∠C=70°，
所以B选项正确．
当AB=AC=3，BC=63+3=6，不能构成三角形，
所以C选项错误．
当AB=3、BC=8，周长为16，
AC=5，
所以D选项错误，
故选B．
【分析】根据等腰三角形判定，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
11．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵ ， 边上的中线，
∴BD=3.
，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
∴AC=AB=5，故选A.
12．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD．
∴∠A＝∠DCA＝20°，
∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝20°＋20°＝40°．
故选B．
13．【答案】1或2
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：因为△ABC中其周长为7，AB=3，
设AB为腰，BC为底时，则BC=7﹣3﹣3=1，可构成三角形；
设AB为腰，BC为腰时，则BC=3，可构成三角形。
设AB为底，则BC= ，可构成三角形；
故答案为：1或2或3
【分析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了周长，根据三角形的条件即可求解．
14．【答案】17
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3为腰时，3+3=6，
∵6＜7，
∴3、3、7不能组成三角形；
当7为腰时，3+7=10，
∵7＜10，
∴3、7、7能组成三角形．
∴△ABC的周长为3+7+7=17．
又∵△DEF≌△ABC，
∴△DEF的周长是17．
故答案为：17．
【分析】根据等腰三角形的性质结合三角形三边关系即可得出等腰三角形的三边长为3、7、7，再根据全等三角形的性质结合三角形的周长即可得出结论．
15．【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，
∴BC=DC=CP，∠DCB=90°，∠PCB=60°，
∴∠DCP=90°﹣60°=30°，∠CDB=∠CBD=45°，
∠CDP=∠CPD= （180°﹣30°）=75°，
∴∠BDP=∠CDP﹣∠CDB=75°﹣45°=30°，
故答案为：30°．
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质得出BC=DC=CP，∠DCB=90°，∠PCB=60°，求出∠DCP=30°，∠CDB=∠CBD=45°，∠CDP=∠CP=75°，即可求出答案．
16．【答案】72°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
∵AB=AD=DC，
∴∠B=∠ADB，∠C=∠CAD，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠B=2∠C，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴5∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴∠B=72°，
故答案为：72°．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠CAB，∠B=∠ADB，∠C=∠CAD，由三角形的外角的性质得到∠ADB=∠C+∠CAD，得到∠B=2∠C，根据三角形的内角和即可得到结论．
17．【答案】120°或75°或30°
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】
解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
①当E在E1时，OE=CE，
∵∠AOC=∠OCE=30°，
∴∠OEC=180°﹣30°﹣30°=120°；
②当E在E2点时，OC=OE，
则∠OCE=∠OEC= （180°﹣30°）=75°；
③当E在E3时，OC=CE，
则∠OEC=∠AOC=30°；
故答案为：120°或75°或30°．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE=CE，OC=OE，OC=CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
18．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，
AP=20﹣3x，AQ=2x
即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故答案为：4．
【分析】设运动的时间为x，则AP=20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20﹣3x=2x，解得x即可．
19．【答案】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC∴AD=DC，BD⊥CA∵AB∥DE， AD∥BE∴四边形ABED是平行四边形∴AD=BE，AD∥BE， AB=DE∴DC=BE，DC∥BE∴四边形BECD是平行四边形∵BD⊥CA∴∠BDC=90°∴四边形BECD是矩形
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形. 结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到◇BECD是矩形.
20．【答案】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∵∠CAD=20°，
∴∠ACD=70°，
∵EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∴∠ACM=∠CAD=20°，
∴∠MCD=50°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和得到∠ACD=70°，根据线段垂直平分线的性质得到∠ACM=∠CAD=20°，于是得到结论．
21．【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD
（2）解：当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴ AFBD是矩形
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
22．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AB=CD，AD∥BC．∴∠F=∠1．又∵ AF平分∠BAD，∴∠2=∠1．
∴∠F=∠2．
∴AB=BF．
∴BF=CD．
（2）解：∵AB=BF，∠F=60°，∴△ABF为等边三角形．
∵BE⊥AF，∠F=60°，
∴∠BEF=90°，∠3=30°．
在Rt△BEF中，设 ，则 ，
∴ ．∴ ．
∴AB=BF=4．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）已知四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD∥BC，所以∠F=∠1．再由AF平分∠BAD，可得∠2=∠1．所以∠F=∠2，根据等腰三角形的判定可得AB=BF，即可得BF=CD；
（2）根据AB=BF，∠F=60°判定△ABF为等边三角形，由等腰三角形的性质判定△BEF为Rt△，在Rt△BEF根据勾股定理即可求解.
23．【答案】（1）解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC∴∠D=∠DCG=90°，∠DAE=∠G∵E是CD的中点∴DE=CE∴△ADE≌△GCE∴AD=CG∵AD=DC=4
∴CG=4，CE=2
在Rt△GCE中，
∴GE=
（2）证明：由（1）得：△ADE≌△GCE
∴AE=GE
∵∠AEF=90°
∴EF垂直平分AG
∴AF=GF
∴∠FAE=∠G
∵∠DAE=∠G
∴∠FAE=∠DAE
∴AE平分∠DAF
（3）解：在正方形ABCD中
∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4
∴DE=CE=2
设CF=x，则BF=4-x
根据勾股定理得：
AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2
EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4
AE2=AD2+ DE2=42+22=20
在Rt△AEF中，AF2= EF2+ AE2
∴32-8x+ x2= x2+4+20
解得：x=1
∴CF=1
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可以得到△ADE≌△GCE（AAS），根据全等三角形的性质可以得AD=CG；在Rt△GCE中，由勾股定理得到GE长。
（2）由（1）得：△ADE≌△GCE，根据全等三角形的性质可以得AE=GE；再∠AEF=90°，由等腰三角形的性质三线合一可以得到EF垂直平分AG，
AF=GF；再根据等边对等角得∠FAE=∠G，由等量代换可以∠FAE=∠DAE；即AE平分∠DAF。
（3）设CF=x，则BF=4-x，由勾股定理得：AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2；EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4；AE2=AD2+ DE2=42+22=20；
在Rt△AEF中，由AF2= EF2+ AE2解得x=1，即CF=1
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