人教版数学八年级上册第11章 11.2.1三角形的内角 同步练习
一、单选题
1．如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE垂直平分BC，若∠A=120°，则∠C的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．如图，DE为△ABC的边BC的垂直平分线，交BC于E，交AB于D，且∠B=40°，∠A=60°，则∠ACD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．30° D．45°
3．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
4．下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
5．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A=80°，∠B=40°，那么∠C′的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．120°
6．（2017八上·上杭期末）△ABC中，∠A=∠B+∠C，则对△ABC的形状判断正确的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．（2017八上·三明期末）如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（ ）
A．75° B．45° C．30° D．15°
8．（2017八上·海勃湾期末）一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
9．（2017八上·丰都期末）如图，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE沿着DE对折，点A落在BC边上的点F，若∠B=50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
10．（2017八下·西城期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转 角（0°< <180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则 等于（ ）.
A．150° B．90° C．60° D．30°
11．如图，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，则下列结论正确的是（ ）
A．2α+∠A=180° B．α+∠A=90°
C．2α+∠A=90° D．α+∠A=180°
二、填空题
12．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=30°，则∠BAC等于 ．
13．如图，△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，则∠ACE的度数等于 ．
14．（2017八上·宜春期末）如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE= ．
15．（2017八下·定安期末）已知：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE= .
16．（2017八下·遂宁期末）如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在点E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°，则∠BOD=
三、解答题
17．（2017八上·丰都期末）附加题：如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x的值．
18．（2016八上·重庆期中）如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．
19．（2017八上·鞍山期末）有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．△ABC中，∠A=50°，求∠DBA+∠DCA的度数．
20．证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
21．（2017八下·宁德期末）如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，M，F．若∠CAD=20°，求∠MCD的度数．
22．（2017八下·桂林期中）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.
（Ⅰ）请写出AF与BE的数量关系与位置关系分别是什么，并证明.
（Ⅱ）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC，第（1）问中的结论是否仍然成立 请作出判断并给予证明；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD=DB，
∴∠C=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD，
又∵在Rt△ABC中，∠A=120°，且∠A+∠ACB+∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠ACB=∠DBC=∠ABD=20°．
故选B．
【分析】先由角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC，再由线段垂直平分线的性质及等边对等角得出∠C=∠DBC，根据直角三角形的性质得出∠ACB度数．
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣40°=80°，
∵DE为△ABC边BC的垂直平分线，
∴∠BCD=∠B=40°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=80°﹣40°=40°．
故选A．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由线段垂直平分线的性质求出∠BCD的度数，根据∠ACD=∠ACB﹣∠BCD即可得出结论．
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A，因为有两个角为30°、60°，则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B，因为有两个角为40°、80°，则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C，因为有两个角为50°、80°，则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D，因为100°+120°＞180°，所以此选项不正确；
故选C．
【分析】根据三角形内角和定理可求得第三个角的度数，再根据有两个角相等的三角形是等腰三角形进行判定．
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：
在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，
∴∠C=180°﹣80°﹣40°=60°，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C′=∠C=60°，
故选C．
【分析】在△ABC中由三角形内角和定理可求得∠C，再由全等三角形的性质可知∠C′=∠C，可求得答案．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
解得∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【分析】根据在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠A的度数，进而得出结论．
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，∠1=45°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，
∴∠α=45°+30°=75°，
故选A．
【分析】首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，
∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，
故选A．
【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°，
∵△DEF是△DEA经过翻折变换得到的，
∴∠EDF=50°，
∴∠BDF=180°﹣2∠ADE=180°﹣100°=80°．
故选：D．
【分析】先根据点D、E分别边AB、AC的中点可知DE是△ABC的中位线，故可求出∠ADE=∠B=50°，再由翻折变换的性质可知∠EDF=50°，由平角的性质即可求解．
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB =90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°.
∵AC=A′C，
∴△AA′C是等边三角形，
∴∠A′CA=60°，
∴α=∠A′CA =60°
故选C.
11．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、正确．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C=α，∴2α+∠A=180°．
B、错误．不妨设，α+∠A=90°，∵2α+∠A=180°，∴α=90°，这个显然与已知矛盾，故结论不成立．
C、错误．∵2α+∠A=180°，∴2α+∠A=90°不成立．
D、错误．∵2α+∠A=180°，∴α+∠A=180°不成立．
故选A．
【分析】根据三角形内角和定理即可判断．
12．【答案】75°或105°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：①如图，当∠BAC为锐角时，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，
∴DA=DB，EC=EA，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠DAE=∠BAD+∠CAE﹣∠BAC，且∠DAE=30°，
∴30°=∠B+∠C﹣∠BAC，即30°=（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC，
解得∠BAC=75°．
②当∠BAC为钝角时，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
同理∠C=∠EAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE=180°，
∴∠DAB+∠EAC=，
∴∠BAC=180°-75°=105°.
故答案为：75°或105°．
【分析】分∠BAC为锐角和∠BAC为钝角两种情况讨论.
13．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：
∵△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，
∴∠ACB=180°﹣100°﹣20°=60°，
∵边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=20°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=60°﹣20°=40°，
故答案为：40°．
【分析】由三角形内角和可求得∠ACB，由线段垂直平分线的性质可求得BE=EC，则可求得∠ECB，则可求得∠ACE的度数．
14．【答案】124°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（法一）在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠A=180°﹣48°﹣76°=56°
在四边形AFDE中，
∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°
又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=56°
∴∠FDE=360°﹣90°﹣90°﹣56°
=124°
故答案为：124°
（法二）∵∠AEB=∠ACB+∠EBC=90°，∠AFC=∠ABC+∠FCB=90°，
∴∠CBE=14°，∠FCB=42°，
∵∠BDC=180°﹣∠CBE﹣∠FCB=124°，
∴∠FDE=124°．
故答案为：124°
【分析】由三角形的内角和定理求出∠A的度数，再有四边形AFDE的内角和求出∠FDE的度数．
15．【答案】45°
【知识点】垂线；三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
∵∠DCE：∠ECB=3：1，
∴∠DCE= ×90°=67.5°，∠ECB=22.5°
∴∠EBC=∠ACB=90°-∠ECB=67.5°
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=67.5°-22.5°=45°.
【分析】根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可。
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图,∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC=15°.
又由折叠的性质知,∠EBD=∠CBD=15°,即∠OBD=15°，
∴在△OBD中,∠BOD=180° ∠OBD ∠ODB=150°，
17．【答案】解：∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠4= （∠ABC+∠ACB）=40°，
∴x=180°﹣（∠2+∠4）=140°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据的是三角形内角和定理以及角平分线性质解答即可．
18．【答案】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°．
又∵∠DBE+∠ADB+∠BED=180°，∠BED=70°，
∴∠DBE=180°﹣∠ADB﹣∠BED=20°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=40°．
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=80°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据AD是△ABC的高得出∠ADB=90°，再由三角形内角和定理及三角形外角的性质可知∠DBE+∠ADB+∠BED=180°，故∠DBE=180°﹣∠ADB﹣∠BED=20°．根据BE平分∠ABC得出∠ABC=2∠DBE=40°． 根据∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°即可得出结论．
19．【答案】解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠DBA+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）
=130°﹣90°
=40°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据∠A=50°，得到∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，再根据∠D=90°，可得∠DBC+∠DCB=90°，最后根据∠DBA+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）进行计算即可．
20．【答案】证法1：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．
证法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】证法1：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论；证法2：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°，根据三角形外角性质得到∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论．
21．【答案】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∵∠CAD=20°，
∴∠ACD=70°，
∵EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∴∠ACM=∠CAD=20°，
∴∠MCD=50°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和得到∠ACD=70°，根据线段垂直平分线的性质得到∠ACM=∠CAD=20°，于是得到结论．
22．【答案】试题
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定
【解析】（Ⅰ）AF=BE，AF⊥BE. 证明参考（Ⅱ）
（Ⅱ）结论成立.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.
在△EAD和△FDC中，
∴△EAD≌△FDC.
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF.
∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF +∠BAF=90°，
∴∠ABE +∠BAF=90°，
∴AF⊥BE.
【分析】试题分析：（Ⅰ）根据SAS易证△ADE≌△DCF，即可证明AF与BE的数量关系是AF=BE，位置关系是AF⊥BE； （Ⅱ）成立，证明△ADE≌△DCF，然后证明△ABE≌△ADF即可证得BE=AF，然后根据三角形内角和定理证明∠AMB=90°，从而结论得证.
1 / 1人教版数学八年级上册第11章 11.2.1三角形的内角 同步练习
一、单选题
1．如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE垂直平分BC，若∠A=120°，则∠C的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD=DB，
∴∠C=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD，
又∵在Rt△ABC中，∠A=120°，且∠A+∠ACB+∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠ACB=∠DBC=∠ABD=20°．
故选B．
【分析】先由角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC，再由线段垂直平分线的性质及等边对等角得出∠C=∠DBC，根据直角三角形的性质得出∠ACB度数．
2．如图，DE为△ABC的边BC的垂直平分线，交BC于E，交AB于D，且∠B=40°，∠A=60°，则∠ACD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．30° D．45°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣40°=80°，
∵DE为△ABC边BC的垂直平分线，
∴∠BCD=∠B=40°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=80°﹣40°=40°．
故选A．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由线段垂直平分线的性质求出∠BCD的度数，根据∠ACD=∠ACB﹣∠BCD即可得出结论．
3．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．
4．下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A，因为有两个角为30°、60°，则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B，因为有两个角为40°、80°，则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C，因为有两个角为50°、80°，则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D，因为100°+120°＞180°，所以此选项不正确；
故选C．
【分析】根据三角形内角和定理可求得第三个角的度数，再根据有两个角相等的三角形是等腰三角形进行判定．
5．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A=80°，∠B=40°，那么∠C′的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：
在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，
∴∠C=180°﹣80°﹣40°=60°，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C′=∠C=60°，
故选C．
【分析】在△ABC中由三角形内角和定理可求得∠C，再由全等三角形的性质可知∠C′=∠C，可求得答案．
6．（2017八上·上杭期末）△ABC中，∠A=∠B+∠C，则对△ABC的形状判断正确的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
解得∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【分析】根据在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠A的度数，进而得出结论．
7．（2017八上·三明期末）如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（ ）
A．75° B．45° C．30° D．15°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，∠1=45°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，
∴∠α=45°+30°=75°，
故选A．
【分析】首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．
8．（2017八上·海勃湾期末）一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，
∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，
故选A．
【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
9．（2017八上·丰都期末）如图，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE沿着DE对折，点A落在BC边上的点F，若∠B=50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°，
∵△DEF是△DEA经过翻折变换得到的，
∴∠EDF=50°，
∴∠BDF=180°﹣2∠ADE=180°﹣100°=80°．
故选：D．
【分析】先根据点D、E分别边AB、AC的中点可知DE是△ABC的中位线，故可求出∠ADE=∠B=50°，再由翻折变换的性质可知∠EDF=50°，由平角的性质即可求解．
10．（2017八下·西城期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转 角（0°< <180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则 等于（ ）.
A．150° B．90° C．60° D．30°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB =90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°.
∵AC=A′C，
∴△AA′C是等边三角形，
∴∠A′CA=60°，
∴α=∠A′CA =60°
故选C.
11．如图，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，则下列结论正确的是（ ）
A．2α+∠A=180° B．α+∠A=90°
C．2α+∠A=90° D．α+∠A=180°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、正确．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C=α，∴2α+∠A=180°．
B、错误．不妨设，α+∠A=90°，∵2α+∠A=180°，∴α=90°，这个显然与已知矛盾，故结论不成立．
C、错误．∵2α+∠A=180°，∴2α+∠A=90°不成立．
D、错误．∵2α+∠A=180°，∴α+∠A=180°不成立．
故选A．
【分析】根据三角形内角和定理即可判断．
二、填空题
12．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=30°，则∠BAC等于 ．
【答案】75°或105°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：①如图，当∠BAC为锐角时，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，
∴DA=DB，EC=EA，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠DAE=∠BAD+∠CAE﹣∠BAC，且∠DAE=30°，
∴30°=∠B+∠C﹣∠BAC，即30°=（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC，
解得∠BAC=75°．
②当∠BAC为钝角时，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
同理∠C=∠EAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE=180°，
∴∠DAB+∠EAC=，
∴∠BAC=180°-75°=105°.
故答案为：75°或105°．
【分析】分∠BAC为锐角和∠BAC为钝角两种情况讨论.
13．如图，△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，则∠ACE的度数等于 ．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：
∵△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，
∴∠ACB=180°﹣100°﹣20°=60°，
∵边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=20°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=60°﹣20°=40°，
故答案为：40°．
【分析】由三角形内角和可求得∠ACB，由线段垂直平分线的性质可求得BE=EC，则可求得∠ECB，则可求得∠ACE的度数．
14．（2017八上·宜春期末）如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE= ．
【答案】124°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（法一）在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠A=180°﹣48°﹣76°=56°
在四边形AFDE中，
∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°
又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=56°
∴∠FDE=360°﹣90°﹣90°﹣56°
=124°
故答案为：124°
（法二）∵∠AEB=∠ACB+∠EBC=90°，∠AFC=∠ABC+∠FCB=90°，
∴∠CBE=14°，∠FCB=42°，
∵∠BDC=180°﹣∠CBE﹣∠FCB=124°，
∴∠FDE=124°．
故答案为：124°
【分析】由三角形的内角和定理求出∠A的度数，再有四边形AFDE的内角和求出∠FDE的度数．
15．（2017八下·定安期末）已知：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE= .
【答案】45°
【知识点】垂线；三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
∵∠DCE：∠ECB=3：1，
∴∠DCE= ×90°=67.5°，∠ECB=22.5°
∴∠EBC=∠ACB=90°-∠ECB=67.5°
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=67.5°-22.5°=45°.
【分析】根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可。
16．（2017八下·遂宁期末）如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在点E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°，则∠BOD=
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图,∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC=15°.
又由折叠的性质知,∠EBD=∠CBD=15°,即∠OBD=15°，
∴在△OBD中,∠BOD=180° ∠OBD ∠ODB=150°，
三、解答题
17．（2017八上·丰都期末）附加题：如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x的值．
【答案】解：∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠4= （∠ABC+∠ACB）=40°，
∴x=180°﹣（∠2+∠4）=140°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据的是三角形内角和定理以及角平分线性质解答即可．
18．（2016八上·重庆期中）如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．
【答案】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°．
又∵∠DBE+∠ADB+∠BED=180°，∠BED=70°，
∴∠DBE=180°﹣∠ADB﹣∠BED=20°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=40°．
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=80°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据AD是△ABC的高得出∠ADB=90°，再由三角形内角和定理及三角形外角的性质可知∠DBE+∠ADB+∠BED=180°，故∠DBE=180°﹣∠ADB﹣∠BED=20°．根据BE平分∠ABC得出∠ABC=2∠DBE=40°． 根据∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°即可得出结论．
19．（2017八上·鞍山期末）有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．△ABC中，∠A=50°，求∠DBA+∠DCA的度数．
【答案】解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠DBA+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）
=130°﹣90°
=40°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据∠A=50°，得到∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，再根据∠D=90°，可得∠DBC+∠DCB=90°，最后根据∠DBA+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）进行计算即可．
20．证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
【答案】证法1：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．
证法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】证法1：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论；证法2：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°，根据三角形外角性质得到∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论．
21．（2017八下·宁德期末）如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，M，F．若∠CAD=20°，求∠MCD的度数．
【答案】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∵∠CAD=20°，
∴∠ACD=70°，
∵EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∴∠ACM=∠CAD=20°，
∴∠MCD=50°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和得到∠ACD=70°，根据线段垂直平分线的性质得到∠ACM=∠CAD=20°，于是得到结论．
22．（2017八下·桂林期中）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.
（Ⅰ）请写出AF与BE的数量关系与位置关系分别是什么，并证明.
（Ⅱ）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC，第（1）问中的结论是否仍然成立 请作出判断并给予证明；
【答案】试题
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定
【解析】（Ⅰ）AF=BE，AF⊥BE. 证明参考（Ⅱ）
（Ⅱ）结论成立.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.
在△EAD和△FDC中，
∴△EAD≌△FDC.
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF.
∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF +∠BAF=90°，
∴∠ABE +∠BAF=90°，
∴AF⊥BE.
【分析】试题分析：（Ⅰ）根据SAS易证△ADE≌△DCF，即可证明AF与BE的数量关系是AF=BE，位置关系是AF⊥BE； （Ⅱ）成立，证明△ADE≌△DCF，然后证明△ABE≌△ADF即可证得BE=AF，然后根据三角形内角和定理证明∠AMB=90°，从而结论得证.
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