人教A版2019数学必修1 第四章习题课 函数模型的应用 学案（Word版含答案）

习题课　函数模型的应用
学习目标　1.能自建确定性函数模型解决实际问题.2.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．
一、建立函数模型解决实际问题
例1　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0(1)求x的值；
(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？
解　(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－ .
(2)设从今年开始，还需治理n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n，
令a(1－x)n≤a，即(1－x)n≤，
，≥，解得n≥15，
故至少还需治理15年．
反思感悟　与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答．
跟踪训练1　某化工厂生产一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为x(x∈N*)时溶液杂质含量为y，
(1)分别求出1次过滤、2次过滤以后的溶液杂质含量y1，y2的值；
(2)写出y与x的函数关系式(要求写出定义域)；
(3)按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg 2≈0.301)
解　(1)1次过滤后，溶液杂质含量y1＝×＝0.01＝1%，
2次过滤后，溶液杂质含量y2＝××＝0.005＝0.5%.
(2)因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，
所以过滤次数为x(x∈N*)时溶液杂质含量y＝2%×x＝×x，x∈N*.
(3)设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，
则×x≤0.02%，
即x≤，所以x≥＝≈6.6，
又x∈N*，所以x≥7，
即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求．
二、实际问题中的函数模型选择问题
例2　近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表：
年份 2018 2019 2020
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2021年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2021年实际销售123万斤，超额完成预定目标．
(1)将2018,2019,2020,2021年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；幂函数模型为g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)．请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系；
(2)依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2022年度的农产品销售量？
解　(1)若选择二次函数模型，
依题意，将前三年数据分别代入f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
得即解得
所以f(x)＝7x2－7x＋41.
将x＝4代入f(x)，得f(4)＝7×42－7×4＋41＝125，
所以此与2021年实际销售量的误差为125－123＝2(万斤)．
若选择幂函数模型，
依题意，将前三年数据分别代入g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)，
得即
解得所以g(x)＝x3＋x＋34.
将x＝4代入g(x)，得g(4)＝×43＋×4＋34＝132，
所以此与2021年实际销售量的误差为132－123＝9(万斤)．
显然2<9，
因此，选用二次函数模型f(x)＝7x2－7x＋41能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系．
(2)依据(1)，选用二次函数模型f(x)＝7x2－7x＋41进行预测，得f(5)＝7×52－7×5＋41＝181(万斤)．
即预测该创业团队在2022年的农产品销售量为181万斤．
反思感悟　建立拟合函数与预测的基本步骤
跟踪训练2　北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心精准发射，约582秒后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第21次飞行任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务．航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现：该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝2＋(常数k＞0)．该商品的日销售量Q(x)(百个)与时间x(天)的部分数据如下表所示：
x(天) 5 10 17 26
Q(x)(百个) 4 5 6 7
已知第10天该商品的日销售收入为3 500元．
(1)求实数k的值；
(2)给出以下三种函数模型：①Q(x)＝px＋q，②Q(x)＝a|x－18|＋b；③Q(x)＝m＋n，请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，说明你选择的理由，并借助你选择的模型，预估该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N*)(元)在哪一天达到最低？
解　(1)由题意，500·＝3 500，∴k＝15.
(2)∵表格中Q(x)对应的数据匀速递增时，x对应的数据并未匀速变化，∴排除模型①.
又∵Q(x)＝a|x－18|＋b表示在x＝18两侧“等距”的函数值相等(或叙述为函数图象必然关于直线x＝18对称)，而表格中的数据并未体现此规律(5≠7)，∴排除模型②.
对于模型③，将(5,4)，(10,5)代入模型③，有解得
此时，Q(x)＝＋2，经验证，(17,6)，(26,7)均满足，∴选模型③.
f(x)＝100Q(x)·P(x)＝100(＋2)·＝100
≥100×(19＋4)＝1 900＋400.
取等条件为2＝，即x＝16.
∴在第16天达到最低．
1．知识清单：
(1)建立函数模型解决实际问题．
(2)实际问题中的函数模型选择问题．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对函数拟合效果的分析不能做出正确选择．
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
答案　D
2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A. y＝ B．y＝0.957 6100x
C．y＝x D．y＝1－
答案　A
解析　设镭的衰变率为p，
则x，y的函数关系是y＝(1－p)x，
当x＝100时，y＝0.957 6，即0.957 6＝(1－p)100，
解得1－p＝.
即y＝.
3．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)
A．125 B．100 C．75 D．50
答案　C
解析　由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝ .
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·，
∴＝，∴＝，即t1＝75.
4．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是________．
答案　－1
解析　设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，
则a(1＋x)11＝ma，
所以1＋x＝，即x＝－1.
1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
答案　D
解析　今年产量为a，经过1年后产量为y＝a(1＋5%)，经过2年后产量为y＝a(1＋5%)2，依此类推，经过x年后产量为y＝a(1＋5%)x.
2．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　)
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝mx＋n(m>0)
C．y＝max＋n(m>0，a>0，a≠1)
D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)
答案　C
解析　由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型．
3．某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用(　　)
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案　D
解析　由题目信息可得，初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系．
4．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是(注：1丈＝10尺)(　　)
A．y＝10x，x>0 B．y＝x，x>0
C．y＝x＋10，x>0 D．y＝x＋9，x>0
答案　A
解析　因为一丈等于十尺，所以“道高一尺，魔高一丈”更适合用y＝10x，x>0来表示．
5．某公司2022一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性发放)．
方案1：奖金10万元；
方案2：前半年的半年奖金4.5万元，后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的1.2倍；
方案3：第一个季度奖金2万元，以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加5 000元；
方案4：第n个月的奖金＝基本奖金7 000元＋200n元．
如果你是该公司员工，你选择的奖金方案是(　　)
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案4
答案　C
解析　方案2：所得奖金为4.5＋4.5×1.2＝9.9(万元)，
方案3：所得奖金为2＋(2＋0.5)＋(2＋1)＋(2＋1.5)＝11(万元)，
方案4：所得奖金为(7 000＋200)＋(7 000＋200×2)＋…＋(7 000＋200×12)＝99 600(元)＝9.96(万元)．
所以应选方案3.
6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A．6 B．9 C．8 D．7
答案　BC
解析　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则 ×n≤，即n≤，由nlg ≤－lg 20，
即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4.
7．通过市场调查知某商品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天 4 10 36
市场价y元 90 51 90
根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是________(只需写出序号即可)．
答案　②
解析　根据表格提供数据可知，y随着x的增大先变小，后变大，即至少有递减和递增两个过程，而①，③对应的函数为单调函数，不符合题意；②为二次函数，有递减和递增两个区间，当a>0时，能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系．
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2015年产生的垃圾量为a吨，由此预测该区2022年的垃圾量应为________吨．
答案　a(1＋b)7
解析　2016年的垃圾量为a(1＋b)吨，从2015年开始经过7年到2022年时该区的垃圾量应为a(1＋b)7吨．
9．某轮船航行过程中每小时的燃料费与其速度的平方成正比．已知当速度为10千米/时时，燃料费为10元/时，其他与速度无关的费用每小时180元．
(1)求轮船的速度为多少时，每千米航程成本最低？
(2)若轮船限速不超过20千米/时，求每千米航程的最低成本．
解　(1)设船速为v千米/时，则令轮船航行过程中每小时的燃料费为u＝av2(a＞0)，
而当速度为10千米/时时，燃料费为10元/时，于是得10＝a×102，解得a＝，
因此，轮船每千米航程成本f(v)＝·＝v＋，v＞0，
显然，函数f(v)在(0,30]上单调递减，在[30，＋∞)上单调递增，当v＝30时，f(v)min＝f(30)＝6，
所以当轮船的速度为30千米/时时，每千米航程成本最低．
(2)由(1)知，函数f(v)在(0,20]上单调递减，则当v＝20时，f(v)min＝f(20)＝×20＋＝11，
所以当轮船限速不超过20千米/时时，每千米航程的最低成本为11元．
10．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解　(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得
解得a＝，b＝－，c＝.
所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)由(1)可得，函数Q为图象开口向上，对称轴为
t＝－＝150的抛物线，
所以当t＝150天时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
11．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5 730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克(　　)
A．5 730 B．11 460 C．17 190 D．22 920
答案　B
解析　由题意可得，碳14的半衰期为5 730年，则再过5 730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11 460年后，质量可消耗到0.125克．
12．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
答案　D
解析　由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.
将c＝60代入＝15，得A＝16.
13．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了，要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤______小时(参考数据：lg 2≈0.3)
(　　)
A．40 B．38 C．44 D．42
答案　A
解析　根据题设，得p0＝p0e－k，
∴e－k＝，所以p(t)＝p0t；
由p(t)＝p0t≤p0，得t≤10－4，两边分别取以10为底的对数，并整理得
t(1－3lg 2)≥4，∴t≥40，因此，至少还需过滤40小时．
14．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
答案　
解析　由记录的部分数据，可知当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2.
则
由②－①得0.2＝alg ，即0.2＝alg 2.
所以a＝≈＝.
15．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元及以上时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
①y＝0.025x；②y＝1.003x；
③y＝1＋log7x；④y＝x2.
答案　③
解析　由题意知，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10,1 000]时，
(1)函数为增函数；
(2)函数的最大值不超过5；
(3)y≤x·25%＝x，
①中，函数y＝0.025x，易知满足(1)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(1)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
③中，函数y＝1＋log7x，易知满足(1)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋log71 000＝1＋<5，且1＋log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
④中，函数y＝x2，易知满足(1)，但当x＝400时，y>5不满足公司要求．
16．科学家发现某种特别物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律满足关系式：y＝m·2x＋21－x(0≤x≤4，m>0)．
(1)若m＝2，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度？
(2)如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
解　(1)由题意，得m＝2，
令y＝2·2x＋21－x＝2·2x＋＝5，
解得x＝1(负值舍去)，
因此，经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度．
(2)由题意得m·2x＋21－x≥2对一切0≤x≤4恒成立，
则由m·2x＋21－x≥2，
得m≥－，
令t＝2－x，
则≤t≤1，且m≥2t－2t2，
构造函数f(t)＝2t－2t2＝－22＋，
所以当t＝时，函数y＝f(t)取得最大值，
则m≥.
因此，实数m的取值范围是.