人教A版2019数学必修一第四章 指数函数与对数函数 章末复习课 学案（Word版含答案）

　　　　　　　　　　　　　　　　
一、指数、对数的运算
1．指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明．
2．掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养．
例1　计算：
(1)1－－－ ＋(－)0；
(2)log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－.
解　(1)1－－－＋(－)0
＝1－－－＋1
＝1－－2＋－＋1＝－.
(2)log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－
＝log2＋＋lg 4＋lg 52－
＝－2＋＋81＋lg 100－2＝.
反思感悟　指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
跟踪训练1　计算：(2 023)0＋3×＋(lg 4＋lg 25)的值是________．
答案　5
解析　原式＝1＋3×＋lg 100＝1＋2＋2＝5.
二、指数、对数函数的图象及应用
1．指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题．
2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．
例2　已知a>0，且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)
答案　C
解析　函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B；
若0此时g(x)＝loga是减函数，C，D都不满足；
若a>1，则f(x)＝ax是增函数，
此时g(x)＝loga是增函数，C满足．
反思感悟　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．
跟踪训练2　对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)
答案　A
解析　若0又由函数y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴x＝在y轴左侧，排除C，D；
若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
函数y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴x＝在y轴右侧，
因此B项不正确，只有选项A满足．
三、指数、对数性质的应用
1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．
2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养．
例3　(1)设a＝log2π，b＝，c＝π－2，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
答案　C
解析　∵a＝log2π>log22＝1，b＝＝0，
c＝π－2＝，即0∴a>c>b.
(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
解　①因为loga3>loga2，
所以f(x)＝logax在[a，3a]上单调递增．
又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，
即loga3＝1，
所以a＝3.
②函数y＝(log3x)2－log3＋2
＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.
令t＝log3x，
因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，
即0≤t≤1.
所以y＝2＋∈，
所以所求函数的值域为.
反思感悟　要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质．方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决．
跟踪训练3　若0A．3y<3x B．logx3C．log4x答案　C
解析　因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误；
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误；
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝x在R上为减函数，故x>y，D错误．
四、函数的零点
1．函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题．
2．掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养．
例4　(1)设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案　B
解析　因为函数f(x)＝log2x＋2x－3，
所以f(1)＝log21＋21－3＝－1<0，
f(2)＝log22＋22－3＝2>0，
所以根据函数零点存在定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，1)
C．(－1,0) D．[－1,0)
答案　D
解析　由3x－1＝0可得x＝>0，若函数在R上有两个零点，可转化为ex＋a＝0在x≤0上有一个实根，即y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，因为当x≤0时，ex∈(0,1]；又y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，所以0<－a≤1，即－1≤a<0.
反思感悟　(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．
跟踪训练4　(1)方程＝x的根x0所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案　B
解析　将方程变形，并构造函数f(x)＝－x，
因为y＝和y＝－x均为增函数，
所以f(x)＝－x也为增函数，
由函数解析式可得f(0)＝0－1＝－1<0，
f(1)＝－＝－<0，
f(2)＝2－＝>0，
由函数零点存在定理可得f(x)＝－x的零点在(1,2)内，
即方程＝x的根x0所在的区间为(1,2)．
(2)设[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程2x－2[x]－1＝0的根有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案　B
解析　方程2x－2[x]－1＝0根的个数等价于y＝2x－1与y＝2[x]的图象的交点个数，
在平面直角坐标系中，分别作出两个函数的图象如图所示：
由图象可知，两个函数共有3个不同的交点，
∴方程2x－2[x]－1＝0有3个根．