人教A版2019数学必修一 4.4.3 不同函数增长的差异 学案（Word版含答案）

4.4.3　不同函数增长的差异
学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型．
导语
同学们，等你们大学毕业了，显然要面对一个现实的问题，那就是如何使你的收入最大化，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！
一、几个函数模型增长差异的比较
问题1　结合之前所学，请同学们自行阅读课本136页～138页，同桌之间可以相互讨论，5分钟后检查讨论结果．
提示　通过对y＝2x与y＝2x的比较我们发现，函数y＝2x的增长速度保持不变，函数y＝2x的增长速度在变化，而且增长速度越来越快，虽然函数y＝2x在一定范围内比函数y＝2x增长快些，但存在一个x0，当x>x0时，总有2x>2x，即使一次函数y＝kx(k>0)，k的值远远大于指数函数y＝ax(a>1)中a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度．通过对函数y＝lg x与y＝x的比较我们发现，函数y＝x的增长速度保持不变，函数y＝lg x的增长速度在变化，而且增长速度越来越慢，虽然函数y＝lg x在一定范围内比函数y＝x增长快些，但存在一个x0，当x>x0时，总有x>lg x，即使对数函数y＝logax(a>1)中底数a的值远远大于一次函数y＝kx(k>0)中k的值，一次函数y＝kx(k>0)的增长速度最终都会超过对数函数y＝logax(a>1)的增长速度．
问题2　把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异．
提示　
一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lg x增长最慢．
知识梳理
三种常见函数模型的增长差异
　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
注意点：
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．
(3)一次函数增长速度不变，平稳变化．
(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．
例1　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 023x B．y＝x2 023
C．y＝log2 023x D．y＝2 023x
答案　A
解析　比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快．
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
答案　C
解析　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数．
反思感悟　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
跟踪训练1　下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
答案　B
解析　D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
二、函数增长速度的比较
例2　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 022)，g(2 022)的大小．
解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1所以x1<6x2，
从图象上可以看出，当x1所以f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，
所以f(2 022)>g(2 022)．
又因为g(2 022)>g(6)，
所以f(2 022)>g(2 022)>g(6)>f(6)．
反思感悟　指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
跟踪训练2　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出C1，C2分别对应的函数；
(2)以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．
解　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1；C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
三、函数模型的选择
问题3　现在你能对你资金的三种投资方案做出选择了吗？方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
提示　如果做短期投资，方案二收益较高；如果做长期投资，显然方案三最终回报最高．
例3　汽车制造商在2022年年初公告：公司计划2022年的生产目标为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如表所示：
年份(年) 2019 2020 2021
产量(万辆) 8 18 30
如果我们分别将2019,2020,2021,2022定义为第一、二、三、四年．现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？
解　建立年产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，
可得解得
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1万辆．
②构造指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点的坐标代入，可得解得
则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝×4－42＝44.4，
与计划误差为1.4万辆．
由①②可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系．
反思感悟　建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
跟踪训练3　在飞机制造业中，发现一条规律：制造第2架飞机所需的工时数是第1架的80%；第4(即22)架是第2架的80%；第8(即23)架是第4架的80%；…，这就是说，通过积累经验，可以提高效率．这也是符合学习规律的，这里的80%称为“进步率”，所制造的飞机架数与所需工时数之间的函数关系所确定的曲线常称为“学习曲线”．设制造第1架飞机需要用k个工时，进步率为r，试求出制造第x架飞机与需用的工时数y之间的函数表达式．
解　由题意，可知第1架用k个工时，第2架用kr个工时，第22架用kr2个工时，…，第2n架用krn个工时．
令x＝2n，则n＝log2x，
因此y＝krn＝，
所以制造第x架飞机与需用的工时数y之间的函数表达式为y＝(x＞0)．
1．知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：不理解三种函数增长的差异．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝log2x
C．y＝2x D．y＝2x
答案　D
2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
答案　B
解析　在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.
3．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1答案　B
4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用 ________作为函数模型．
答案　甲
解析　把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
1．在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －1.01 0.01 0.98 2.00
则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
答案　D
解析　将x＝0.50，y＝－1.01代入计算，可以排除A；
将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B，C；
将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的y倍，需经过x年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)
答案　B
解析　根据题意，得函数解析式为 y＝(1＋10.4%)x＝1.104x(x＞0)，
所以函数为指数函数，
因为指数函数的底数1.104＞1，
所以函数单调递增，且过点(0,1)．
3．有一组实验数据如表所示：
t 1 2 3 4 5
s 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是(　　)
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
答案　C
解析　由表中数据可知，s随t的增大而增大且其增长速度越来越快，A，D中的函数增长速度越来越慢；B中的函数增长速度保持不变；C中的函数y随x的增大而增大，且增长速度越来越快．
4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
答案　C
解析　小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.
5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
答案　B
解析　由题意可知，三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的，所以4y1>y3.
6．(多选)下面对函数f(x)＝与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　)
A．f(x)的衰减速度越来越慢， g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
答案　ABD
解析　在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，
由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢．
7.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
答案　②④
解析　由图可知，前三年产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；
第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确．
8．下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，最有前途的生意是 ________.
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；
③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
答案　①
解析　由于指数型函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，
∴y＝10×1.05x是最有前途的生意．
9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%.
哪个方案较好？
解　方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，
因为15.386>15，所以方案二较好．
10．某快捷酒店有150个标准客房，经过一段时间的试营业，得到一些每个标准客房的价格和客房的入住率的数据如下：
标准客房的价格/元 160 140 120 100
客房的入住率 55% 65% 75% 85%
根据这些数据，要使该快捷酒店每天的营业额最高(入住率越高，营业额越高)，应如何定价？
解　设入住率为y%，标准客房价格是x元，根据已知数据，得y＝kx＋b，
由解得即y＝－x＋135，经检验，x＝140或x＝120时也符合．
令y＝100，－x＋135＝100，x＝70，
此时入住率是100%，营业额最高．标准客房的定价为70元．
11．下列函数图象中，估计有可能用函数y＝a＋blg x(b>0)来模拟的是(　　)
答案　C
解析　由于函数y＝lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y＝a＋blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的．
12.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是(　　)
答案　B
解析　开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合．
13．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败)．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分)满足的函数关系式为h(t)＝m·at.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果取整数)(　　)
A．33分钟 B．40分钟
C．43分钟 D．50分钟
答案　C
解析　由题意得
解得a＝，m＝0.05，
故h(t)＝0.05×，
令h(t)＝0.05×＝1，得＝20，
故t＝＝≈≈43(分钟)．
14.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是________．
答案　①②③
解析　看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故②正确；两函数图象的交点的横坐标对应于4.5，故③正确，④错误．
15.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述：
①第4个月时，有害物质的剩留量低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确叙述的序号是________．
答案　①③
解析　根据题意，函数的图象经过点，
所以a2＝，解得a＝(负舍)，
故函数为y＝t，
当t＝4时，y＝<，故①正确；
当t＝1时，y＝，减少；当t＝2时，y＝，减少，每月减少的有害物质量不相等，故②不正确；
分别令y＝，，，解得t1＝，t2＝，t3＝， t1＋t2＝t3，故③正确．
16．在2021年的全国两会上，“碳达峰”“碳中和”被首次写入政府工作报告，也进一步成为网络热词．为了减少自身消费的碳排放，节省燃料．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(40≤v≤120)的数据关系如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v)＝0.9v＋a，Q(v)＝0.04v＋b，
Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋cv.
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
解　(1)该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合；
若选择第二种模型，代入(40,5.2)得5.2＝0.04×40＋b，解得b＝3.6，
∴Q(v)＝0.04v＋3.6，此时Q(90)＝7.2，Q(100)＝7.6，Q(120)＝8.4，与实际数据相差较大，故第二种不符合；
经观察﹐第三种函数模型最符合实际，
代入(40,5.2)，可得0.000 025×403－0.004×402＋c×40＝5.2，即1.6－6.4＋c×40＝5.2，解得c＝0.25，
∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25 v，
此时，Q(60)＝6，Q(90)＝8.325，Q(100)＝10，Q(120)＝15.6，符合题意，
∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v.
(2)设总耗油量为W，
∵W＝×Q＝0.002 5v2－0.4v＋25
＝0.002 5(v－80)2＋9,40≤v≤120，
当v＝80时，W取得最小值为9，
∴这辆车应以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少．