人教A版2019数学必修一4.5.1 函数的零点与方程的解 学案（Word版含答案）

4.5.1　函数的零点与方程的解
学习目标　1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
导语
同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50～100年间编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，11世纪的时候，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧．
一、函数的零点与方程的解
问题1　观察下列三组方程与函数：
方程 函数
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系．
提示　方程x2－2x－3＝0的根为－1,3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1,0)，(3,0)；
x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1,0)；
x2－2x＋3＝0没有实根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点．
问题2　问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？
提示　不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标．
知识梳理
1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：
注意点：
(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标．
(2)求零点可转化为求对应方程的解．
(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解．
例1　(多选)方程(x2－4)＝0的解可以是(　　)
A．x＝－2 B．x＝－ C．x＝ D．x＝2
答案　CD
解析　由题意，得方程(x2－4)＝0，则x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝±2或x＝，
又由2x－1≥0，解得x≥，
所以方程(x2－4)＝0的解为x＝2或x＝.
反思感悟　探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1　求下列函数的零点：
(1)f(x)＝
(2)f(x)＝(lg x)2－lg x.
解　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，
∴函数f(x)的零点是1,10.
二、函数零点存在定理
问题3　探究函数y＝x2＋4x－5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？
提示　利用图象可知，零点－5∈(－6，－4)，零点1∈(0,2)，且f(－6)f(－4)<0，f(0)f(2)<0，且函数图象在零点附近是连续不断的．再比如：函数f(x)＝2x－1的零点为，∈(0,1)，且有f(0)f(1)<0；函数f(x)＝log2(x－1)的零点为2,2∈，且有f f(3)<0，且以上函数在零点附近的图象也都是连续的．
知识梳理
函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意点：
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件．
(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点．
例2　(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是(　　)
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
答案　ABD
解析　由题知f(0)f(1)<0，
所以根据函数零点存在定理可得，f(x)在区间(0,1)上一定有零点，
又f(1)f(2)>0，
因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点．
反思感悟　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练2　函数f(x)＝lg x－的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,10)
C．(10,100) D．(100，＋∞)
答案　B
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在定义域内单调递增，
f(1)＝－1<0，f(10)＝1－>0，
∴在(1,10)内，函数f(x)存在零点．
三、函数零点个数的问题
问题4　你现在能说出问题1中的三个函数的零点的个数吗？是怎么判断的？
提示　第一个函数有两个零点，第二个函数有一个零点，第三个函数没有零点．可以直接求解或利用二次函数的判别式判断个数，对于一般的函数可利用函数图象判断与x轴的交点个数．
例3　判断下列函数的零点的个数．
(1)f(x)＝x2－x＋；
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
解　(1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，
得Δ＝2－4×＝－<0，
所以方程x2－x＋＝0没有实数根，
即f(x)零点的个数为0.
(2)方法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数．
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．
从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以零点只有一个．
反思感悟　判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝若k＞0，则函数y＝|f(x)|－1的零点个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　令y＝|f(x)|－1＝0，得|f(x)|＝1，
即f(x)＝1或f(x)＝－1.
当x＞0时，由ln x＝1或ln x＝－1，
得x＝e或x＝；
当x≤0时，由kx＋2＝1或kx＋2＝－1，
得x＝－＜0或x＝－＜0.
则函数y＝|f(x)|－1的零点个数是4.
1．知识清单：
(1)函数的零点的定义．
(2)函数的零点与方程的解的关系．
(3)函数零点存在定理．
(4)函数零点个数的判断．
2．方法归纳：定理法、方程法、数形结合法．
3．常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题．
1．函数f(x)＝log2x的零点是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1.
2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)
A．(1，＋∞) B. C. D.
答案　B
解析　易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(x)＝2x－，得f ＝－2<0，
f(1)＝2－1＝1>0，
∴f f(1)<0.
∴零点所在区间为.
3．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则(　　)
A．方程f(x)＝0一定有一实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
答案　D
解析　∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管有f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解．
4．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有____个．
答案　3
解析　∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(　　)
A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
答案　C
解析　对于选项A，可能存在；对于选项B，必存在但不一定唯一；选项D显然不成立．
2．下列函数不存在零点的是(　　)
A．y＝x－
B．y＝
C．y＝logax2(a>0且a≠1)
D．y＝
答案　D
解析　令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；
选项B中函数的零点为－和1；
只有选项D中函数无零点．
3．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间(　　)
A．(5,6) B．(3,4)
C．(2,3) D．(1,2)
答案　B
解析　f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4)．
4．已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
答案　A
解析　因为奇函数的图象关于原点对称，
所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
5．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B．－2,0 C. D．0
答案　D
解析　当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝(舍)．
综上所述，函数f(x)的零点为0.
6．(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有(　　)
答案　CD
解析　根据零点的定义，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标，
选项A中函数图象与x轴没有交点，即函数没有零点；
选项B中函数图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点；
选项C，D中函数图象与x轴有两个交点，即函数有两个零点．
7．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
答案　－，－
解析　由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，
∴即a＝5，b＝－6，
∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－，
即为函数g(x)的零点．
8．请写出同时满足以下条件的一个函数：________.
①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②该函数是偶函数；
③该函数恰有2个零点．
答案　f(x)＝x2－1(答案不唯一)
解析　因为函数为定义在R上的偶函数，且恰有两个零点，故可取f(x)＝x2－1(答案不唯一)．
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点．
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．
解　(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
10．函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g(x)＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间．
解　∵－1和2是函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点，
∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解，
∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2.
∴g(x)＝－x3－2x＋4.
∵g(1)＝1，g(2)＝－8，g(1)g(2)<0，
∴y＝g(x)在区间(1,2)内有零点．
又∵y＝g(x)在R上是单调函数，
∴y＝g(x)只有一个零点．
综上可知，函数g(x)的零点所在的大致区间为(1,2)．
11．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一实数解 B．至多有一实数解
C．没有实数解 D．必有唯一的实数解
答案　D
解析　由题意知函数f(x)为连续函数，
∵f(a)f(b)＜0，
∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，
又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，
∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，
故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数解．
12．已知函数y＝f(x)的图象是条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是(　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
A.函数y＝f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B．函数y＝f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C．函数y＝f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D．函数y＝f(x)在区间[1,2]上无零点
答案　B
解析　由表可知f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0.
由函数零点存在定理，知函数y＝f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别至少存在1个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．
虽然f(1)f(2)>0，但函数y＝f(x)在[1,2]上也有可能存在零点．
13．方程x－ ＝0的解的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．2或3或4
答案　A
解析　方程x－＝0的解的个数，等于函数y＝x和函数y＝ 的图象的交点个数，如图所示．
数形结合可得，函数y＝x和函数y＝的图象的交点个数为2，
故方程x－＝0的解的个数为2.
14．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)
答案　a解析　画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a15．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，当x1答案　(－8，－4]
解析　由解析式可得图象如图所示，
由图象知， x1，x2，x3∈R，当x1∴(x1＋x2)·f(x3)∈(－8，－4]．
16．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；
(3)若y＝f(x)与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围．
解　(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0;
当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)；单调递减区间为(－1,1).
(3)因为方程f(x)＝m有三个不同的解，由图象可知， －1