人教A版2019数学必修一4.5.3 函数模型的应用 学案（Word版含答案）

4.5.3　函数模型的应用
学习目标　1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题．
导语
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
问题1　你能写出几种函数模型？
提示　
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
问题2　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？
提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
一、应用已知函数模型解决实际问题
例1　Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.9K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(　　)
(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)
A．60 B．62 C．66 D．69
答案　B
解析　∵I(t*)＝ ＝0.9K，
∴1＋＝，＝，
则－0.24(t*－53)＝ln ＝－ln 9≈－2.2，
解得t*≈62.
反思感悟　利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算．
跟踪训练1　我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　)
A.倍 B．10倍 C．10 倍 D．ln 倍
答案　B
解析　由题意得，70＝10lg ，则I1＝I0×107.
同理得I2＝I0×106，所以＝10.
二、指数型函数模型
例2　习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的重要理念，说明呵护地球，人人有责．某省为响应该理念，计划每年都增长相同百分比的绿化面积，且3年时间绿化面积增长4.5%(参考数据：≈10.150，lg 1 015≈3.006，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)，试求：
(1)每年绿化面积的增长率；
(2)按此增长率，若2022年年初时，该省的绿地面积是提出该理念时的倍，请问习近平总书记最迟是哪一年首次提出该理念．
解　(1)设每年绿化面积的增长率为p，则(1＋p)3＝1.045，则p＝－1≈0.015，
故每年绿化面积的增长率约为1.5%.
(2)设经过n年后该省的绿地面积是提出该理念时的倍，
则1.015n＝，则n＝＝＝≈8.5，而2 022－9＝2 013，
因此，习近平总书记最迟在2013年首次提出该理念．
反思感悟　在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
跟踪训练2　某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2023年 B．2024年
C．2025年 D．2026年
答案　B
解析　设x年后研发资金开始超过200万元，
所以130(1＋12%)x>200，
所以1.12x>，所以x>log1.12，
所以x>，所以x>3.8，
故2024年研发资金开始超过200万元．
三、对数型函数模型
例3　5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至2 000，则C大约增加了(　　)
A．10% B．30% C．50% D．100%
答案　A
解析　当＝1 000时，C＝Wlog2(1＋1 000)，
当＝2 000时，C＝Wlog2(1＋2 000)，
则
＝－1≈－1＝lg 2，
又＝根据选项分析，lg 2≈0.1，
所以将信噪比从1 000提升至2 000，C大约增加了10%.
反思感悟　对数型函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
跟踪训练3　20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.5级地震给人的震感已经比较明显，7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的(　　)
A．20倍 B．lg 20倍 C．100倍 D．1 000倍
答案　C
解析　设7级地震最大振幅为A1，则7＝lg A1－lg A0，
5级地震最大振幅为A2，则5＝lg A2－lg A0，
所以7－5＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－lg A0)
＝lg A1－lg A2＝lg ＝2，
所以＝102，即A1＝100A2，
所以7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍．
1．知识清单：
(1)应用已知函数模型解决实际问题．
(2)指数型函数模型．
(3)对数型函数模型．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论．
1．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为(　　)
A．y＝x(x∈N*) B．y＝(x∈N*)
C．y＝2x(x∈N*) D．y＝(x∈N*)
答案　D
2．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
答案　A
解析　由所给的散点图可得，图象大约过(2,4)，(4,16)，(6,64)，所以该函数模型应为指数函数．
3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)
A．略有亏损 B．略有盈利
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
答案　A
解析　由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3
＝0.970 299≈0.97<1.
因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．
4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是________m/s.
答案　
解析　当O＝2 700时，v＝log3
＝log3＝log327＝(m/s)．
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(　　)
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
答案　D
2．某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中，能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是(　　)
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100x
答案　C
解析　将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应．
3．某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－x2＋12x－10，那么该商品的日利润最大时，当日售价为(　　)
A．5元 B．6元 C．7元 D．26元
答案　B
解析　y＝－x2＋12x－10＝－(x－6)2＋26，所以当x＝6时，y取最大值26.
4．在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝－x＋40，其中20A．实数m的值为10 000
B．销售单价越低，直播在线购买人数越多
C．当x的值为30时利润最大
D．利润最大值为10 000
答案　D
解析　因为在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝－x＋40，其单调递减，所以B正确；
将x＝25，y＝2 015代入y＝－x＋40，
可得2 015＝－25＋40，解得m＝10 000，所以A正确；
由题意可得所得利润为
f(x)＝(x－20)＝－x2＋60x＋9 200＝－(x－30)2＋10 100，
所以当x＝30时利润最大，最大利润为10 100元，C正确，D错误．
5．为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益，解放军组织多种战机巡航．已知海面上的大气压强是760 mmHg，大气压强P(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间的关系为P＝760e－hk(e为自然对数的底数，k是常数)，根据实验知500 m高空处的大气压强是700 mmHg，则当歼20战机巡航高度为1 000 m，歼16D战机的巡航高度为1 500 m时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的______倍(精确度为0.01)(　　)
A．0.67 B．0.92 C．1.09 D．1.26
答案　C
解析　依题意知，700＝760e－500k，即e500k＝，则歼20战机所受的大气压强P20＝760e－1 000k，
歼16D战机所受的大气压强P16＝760e－1 500k，＝＝e500k＝≈1.09，
所以歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的1.09倍．
故选C.
6.(多选)如图，某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at(a>0，且a≠1)，以下叙述中正确的是(　　)
A．这个指数函数的底数是2
B．第5个月时，浮萍的面积就会超过35 m2
C．浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月
D．浮萍每个月增加的面积都相等
答案　AC
解析　将点(1,2)代入y＝at中，得a＝2，所以y＝2t，所以A正确；
当t＝5时，y＝25＝32<35，所以B错误；
当y＝4时，t＝2，当y＝16时，t＝4，所以浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月，所以C正确；
由指数函数y＝2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误．
7．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8 100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为________元．
答案　2 400
解析　12年后的价格可降为8 100×3＝2 400(元)．
8．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ为正常数．由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为________________．
答案　t＝－ln
解析　因为N＝N0e－λt，所以＝e－λt，两边取以e为底的对数，所以t＝－ln .
9．英国物理学家和数学家牛顿(Isaac Newton,1643－1727年)曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t后物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－kt，其中k为正常数．某冬晨，警局接到报案，在街头发现一位已经死亡的流浪者，早上六点测量其体温为13 ℃，到早上七点时，其体温下降到11 ℃. 若假设室外温度约维持在10 ℃，且人体正常体温为37 ℃，请你运用牛顿冷却模型判定流浪汉在早上几点死亡．
解　设流浪汉在早上t0时刻死亡，根据牛顿冷却模型，有
即
则＝，解得t0＝4.
所以可以判定流浪汉在早上4点死亡．
10．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解　(1)依题意，得一年后这种鸟类的个数为1 000＋1 000×8%＝1 080，
两年后这种鸟类的个数为1 080＋1 080×8%≈1 166.
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，
则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N.
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得lg 1.08x≥lg 3，即xlg 1.08≥
lg 3，
因为lg 1.08>0，所以x≥，
所以x≥＝，
因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2，
所以x≥
≈≈14.3，
故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上．
11．某公司职工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区始终在同一直线上，位置如图所示，公司接送车筹划在此间只设一个停靠点，要使所有职工步行到停靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在(　　)
A．A区 B．B区
C．C区 D．A，B两区之间
答案　A
解析　由题意得，
若停靠在A区，所有员工路程和为15×100＋10×300＝4 500(米)；
若停靠在B区，所有员工的路程和为30×100＋10×200＝5 000(米)；
若停靠在C区，所有员工的路程和为30×300＋15×200＝12 000(米)；
若停靠点在A区和B区之间，设距离A区为x米，所有员工的路程和为30x＋15×(100－x)＋10×(100＋200－x)＝5x＋4 500，当x＝0时取得最小值，故停靠点为A区．
综上，若停靠点为A区，所有员工步行到停靠点的路程和最小，那么停靠点位置应在A区．
12．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)
A．16 h B．20 h C．24 h D．26 h
答案　C
解析　由题意可知，当x＝0时，y＝192；当x＝22时，y＝48，
∴解得
则当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24.
13．一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过____小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效(　　)
(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1 h)
A．2.3 B．3.5
C．5.6 D．8.8
答案　A
解析　设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
则2 500×0.8x＝1 500，
即0.8x＝0.6，
所以lg 0.8x＝lg 0.6，即xlg 0.8＝lg 0.6，
x＝＝＝
≈≈2.3.
14．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要这样的玻璃板的块数为________．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
答案　7
解析　设至少需要x块玻璃板，
由题意知x<，
即x<，
两边取对数lgx即x·(lg 9－lg 10)<－lg 2，
即x·(1－2lg 3)>lg 2，
x>≈6.57，
∴x＝7.
15．为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝ 函数的图象如图所示．如果商场规定9：30顾客可
以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是(　　)
A．9：00 B．8：40
C．8：30 D．8：00
答案　A
解析　根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，
代入函数的解析式，可得1－a＝1，解得a＝1，所以y＝
令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或≤0.25，
解得0＜t≤2.5或t≥30，
所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00.
16．“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”．某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f(x)(单位：米)与生长年限x(单位：年)满足关系式f(x)＝(x≥0)，树木栽种时的高度为米，1年后，树木的高度达到米．
(1)求f(x)的解析式；
(2)问从栽种之日起，第几年树木生长最快？
解　(1)由已知得即
所以解得k＝－1，b＝4，
所以f(x)＝(x≥0)．
(2)令x∈N，g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝－＝.
问题化为当x∈N时，求函数g(x)的最大值．
又g(x)＝＝≤＝41(2－)．
当且仅当3x＝37－x，即x＝时，上式取等号，
又x∈N，所以g(3)＝g(4)＝，
故从栽种之日起，第4年与第5年树木生长最快．