4.4.2 对数函数的图象和性质(二)
学习目标 1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题.3.了解反函数的概念和图象特点．
一、与对数函数有关的定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝.
解 (1)要使函数式有意义，则lg(2－x)≥0，
∴∴x≤1.
故函数的定义域为(－∞，1]．
(2)要使函数式有意义，则log3(3x－2)≠0，
∴
∴x>，且x≠1.
故函数的定义域为∪(1，＋∞)．
(3)要使函数式有意义，则
解得x<4，且x≠3.
故函数的定义域为(－∞，3)∪(3，4)．
反思感悟 (1)对数函数的真数大于0.
(2)求定义域的常用方法是解不等式(组)，有时在解不等式时，还要考虑函数的单调性．
(3)有时求定义域比较特殊，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，每去掉一层对数符号都要考虑函数的单调性，最后求出x的取值范围．
跟踪训练1 求下列函数的定义域：
(1)y＝log(2x＋1)；(2)y＝.
解 (1)要使函数式有意义，则
解得x>－且x≠0，
∴函数的定义域为∪(0，＋∞)．
(2)要使函数式有意义，则
即解得x>，且x≠1.
∴函数的定义域为∪(1，＋∞)．
二、与对数函数有关的综合性问题
例2 已知函数f(x)＝log2(x＋1)－2.
(1)若f(x)>0，求x的取值范围；
(2)若x∈(－1，3]，求f(x)的值域．
解 (1)函数f(x)＝log2(x＋1)－2，
∵f(x)>0，即log2(x＋1)－2>0，
∴log2(x＋1)>2，∴x＋1>4，
∴x>3.∴x的取值范围是(3，＋∞)．
(2)∵x∈(－1，3]，∴x＋1∈(0，4]，
∴log2(x＋1)∈(－∞，2]，
∴log2(x＋1)－2∈(－∞，0]．
∴f(x)的值域为(－∞，0]．
反思感悟 求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋ln(x－1)的图象经过点(3，3ln 2)．
(1)求a的值，及f(x)的定义域；
(2)求关于x的不等式f(x)≤ln(2x)的解集．
解 (1)由题意可得ln(3a＋1)＋ln(3－1)＝3ln 2，即ln(3a＋1)＝2ln 2，所以3a＋1＝4，
解得a＝1，
则f(x)＝ln(x＋1)＋ln(x－1)．
由解得x＞1.
所以f(x)的定义域为(1，＋∞)．
(2)由(1)可得f(x)＝ln(x＋1)＋ln(x－1)＝ln(x2－1)，x＞1，
不等式f(x)≤ln(2x)可化为ln(x2－1)≤ln(2x)，
因为y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，
所以
解得1＜x≤1＋.
故不等式f(x)≤ln(2x)的解集为{x|1＜x≤1＋}．
三、反函数
问题 在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察两函数图象的关系．
提示
知识梳理
反函数：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．
例3 若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为( )
A．16 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 函数y＝2x的反函数是y＝log2x，
即f(x)＝log2x.
∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0.
反思感悟 互为反函数的函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数．
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
跟踪训练3 函数y＝log3x的反函数的定义域为( )
A．(0，＋∞) B.
C．(1，4) D．[－1，4]
答案 D
解析 由y＝log3x，可知y∈[－1，4]．
所以反函数的定义域为x∈[－1，4]．
1．知识清单：
(1)利用对数函数的单调性求函数的定义域．
(2)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集．
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(0，2) B．(0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 C
解析 若函数f(x)有意义，则
即解得x>2.
∴函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
2．函数y＝x＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．[－1，＋∞)
答案 C
3．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A. B. C．2 D．4
答案 B
解析 由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，
∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得，
即f(0)＋f(1)＝a，
即1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，解得a＝.
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________.
答案
解析 由题意得f(x)＝logax(a>0，且a≠1，x>0)，
因为f(x)的图象过点，所以loga＝，所以＝，所以a2＝2，所以a＝(负值舍去)．
1．已知函数f(x)＝log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵g(x)是f(x)的反函数，∴g(x)＝2x，∴g(2)＝22＝4，则f(g(2))＝f(4)＝log24＝2.
2．若点(a，b)在函数y＝lg x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )
A. B．(10a，1－b)
C. D．(a2，2b)
答案 D
解析 因为点(a，b)在函数y＝lg x的图象上，所以b＝lg a．当x＝时，有y＝lg ＝－lg a＝－b，所以点不在此函数的图象上，A不正确；当x＝10a时，有y＝lg(10a)＝1＋lg a＝1＋b，所以点(10a，1－b)不在此函数的图象上，B不正确；当x＝时，有y＝lg ＝1－lg a＝1－b，所以点不在此函数的图象上，C不正确；当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2，2b)在此函数的图象上，D正确．
3．下列三个数：a＝ln ，b＝－log3，c＝，大小顺序正确的是( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
答案 B
解析 ∵0＝log31>b＝－log3＝log3>a＝ln ，c＝>0，∴c>b>a.
4．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为( )
A．－log2x B．log2(－x)
C．－log2(－x) D．logx2
答案 C
解析 当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x)．
又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－log2(－x)．
5．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
答案 C
解析 设经过n年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则150×(1＋8%)n＞200，则n＞≈≈3.8，取n＝4，则经过4年后是2022年．
6．(多选)任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f >恒成立，则f(x)称为[a，b]上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是( )
A．y＝2x B．y＝log2x
C．y＝－x2 D．y＝
答案 BCD
7．函数f(x)＝的定义域为________．
答案 (0，1)∪(1，2]
解析 由得0
∴函数f(x)＝的定义域为(0，1)∪(1，2]．
8．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
答案 4
解析 ∵a>1，∴f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增，
∴loga(2a)－logaa＝，即loga2＝，∴＝2，a＝4.
9．已知f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；
(3)求f()的值．
解 (1)由得－2＜x＜2，
所以函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}．
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
因为函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，关于原点对称，
又f(－x)＝lg[2＋(－x)]＋lg[2－(－x)]＝lg(2－x)＋lg(2＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)为偶函数．
(3)f()＝lg(2＋)＋lg(2－)＝lg[(2＋)(2－)]＝lg 1＝0.
10．已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．
求证：(1)函数f(x)是偶函数；
(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
证明 (1)函数f(x)的定义域是R，
f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)设x1，x2为区间(0，＋∞)内的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋x)－log2(1＋x)＝log2.
由于0所以0<<1，
所以log2<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
11．已知函数f(x)＝，x∈，则f(x)的值域是( )
A. B. C. [0，2] D.
答案 A
解析 因为函数f(x)＝在上单调递减，所以函数f(x)的最小值为f ＝＝，函数的最大值为f ＝＝2，所以函数的值域为.
12．函数f(x)＝lg|x|为( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
答案 D
解析 已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数；当x>0时，f(x)＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减．
13．函数f(x)＝lg(＋x)的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
答案 A
解析 易知该函数的定义域为R，又f(x)＋f(－x)＝lg(＋x)＋lg(－x)＝lg[(＋x)·(－x)]＝lg 1＝0，∴f(x)＝－f(－x)，
∴f(x)为奇函数．
14.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为________．
答案
解析 设B(x，2logax)，∵BC平行于x轴，∴C(x′，2logax)，即logax′＝2logax，∴x′＝x2，
∴正方形ABCD的边长＝|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2.
由已知，得AB垂直于x轴，∴A(x，3logax)，正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝.
15．已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________________．
答案 ∪(2，＋∞)
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示，
由于f(2)＝f ，故结合图象可知02.
16．已知函数f(x)＝ 的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋解 (1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称，
∵>0，
∴(x－1)(1－ax)>0，
令(x－1)(1－ax)＝0，
得x1＝1，x2＝，∴＝－1，a＝－1，
经验证，a＝－1满足题意．
(2)∵f(x)＋＝＋
＝，
∴当x>1时，<－1，
又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋∴m≥－1.
即实数m的取值范围是[－1，＋∞)．4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用．
导语
同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数．请同学们看下面的问题1.
一、对数函数的图象和性质
问题1 请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和的函数图象．
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y＝log2x … …
… …
提示 (1)－2 －1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5
(2)描点、连线．
问题2 通过观察函数y＝log2x和的图象，分析性质，并完成下表：
函数 y＝log2x
定义域 x∈(0，＋∞) x∈(0，＋∞)
值域 R R
单调性 增函数 减函数
最值 无最值 无最值
奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数
特殊点 (1,0) (1,0)
y的变 化情况 当01时，y>0 当00； 当x>1时，y<0
对称性 y＝log2x和的图象关于x轴对称
问题3 为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a＝3,4，，，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？
提示
知识梳理
对数函数的图象和性质
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
最值 无最大、最小值
奇偶性 非奇非偶函数
共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点 当x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称
注意点：
(1)函数图象只出现在y轴右侧．
(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)．
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴．
(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．
例1 (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
答案 B
解析 作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________.
答案 －2 2
解析 ∵函数的图象恒过定点(3,2)，
∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，
得2＝loga(3＋b)＋c.
又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，
∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
(3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
解 因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝log5|x|＝
所以函数f(x)＝log5|x|的图象如图所示．
延伸探究
1．在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象．
解 因为f(x)＝log5|x|，所以g(x)＝log5|x－1|，
如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的．
2．在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)＝|logax|的图象．
解 因为a＝5，所以h(x)＝|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示．
反思感悟 对数型函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为( )
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)是偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，
当x>0时，f(x)＝logax＋1单调递增；
当x<0时，f(x)＝loga(－x)＋1单调递减，
又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，
结合选项可知选C.
(2)画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间．
解 函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示．
由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间是(0，＋∞)．
二、利用单调性比较对数值的大小
例2 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)；
(4)log50.4，log60.4.
解 (1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<2，
所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32所以log23>log0.32.
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
则有logaπ>loga3.14；
当0则有logaπ综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14；
当0(4)在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图象，再作出直线x＝0.4(图略)，观察图象可得log50.4反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
跟踪训练2 比较大小：
(1)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)；
(2)log3π，log2，log3.
解 (1)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1<5.9，所以loga5.1当0又5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9.
综上，当a>1时，loga5.1当0loga5.9.
(2)∵log2＝log23，
又1又log3＝log32<，log3π>1，
∴log3π>log2>log3.
三、利用单调性解对数不等式
例3 解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)；
(3)logx>1.
解 (1)由题意可得解得0所以原不等式的解集为{x|0(2)当a>1时，原不等式等价于解得x>4.
当0解得综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0(3)当x>1时，logx>logxx，所以x<，无解；
当0logxx，所以综上，原不等式的解集为.
反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
跟踪训练3 (1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合；
(2)已知log0.7(2x)解 (1)∵log3x<1＝log33，
又函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，
∴x满足的条件为即0∴x的取值集合为{x|0(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)解得x>1.
∴x的取值范围是(1，＋∞)．
1．知识清单：
(1)对数函数的图象及性质．
(2)利用对数函数的图象及性质比较大小．
(3)利用单调性解对数不等式．
2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与01．函数y＝loga(x－1)(0答案 A
解析 ∵0又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的，故A正确．
2．若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 ∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，
∴a>b>c.
3．不等式的解集为( )
A．(－∞，3) B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可得解得4．若loga<1，则实数a的取值范围是___________．
答案 ∪(1，＋∞)．
解析 当a>1时，满足条件；
当0综上，实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
1. 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是( )
A．1C．c答案 B
解析 令函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y＝1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)(图略)，从而得出c1，b>1，d<1，c<1，∴c2．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 B
解析 由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，即23．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )
A．bC．c答案 B
解析 ∵a＝log37，∴1∵b＝21.1，∴b>2.
∵c＝0.83.1，∴04．函数f(x)＝logax(0A．0 B．1 C．2 D．a
答案 C
解析 ∵0∴f(x)＝logax在[a2，a]上单调递减，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
5．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( )
答案 B
解析 由f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误；
又当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，所以B正确．
6．(多选)已知a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是( )
答案 AB
解析 ∵g(x)＝－logbx＝＝logax，
∴f(x)和g(x)的单调性相同，
结合选项可知A，B正确．
7．函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点________．
答案 (5,2)
解析 令x－4＝1得x＝5，此时y＝loga1＋2＝2，
所以函数y＝loga(x－4)＋2恒过定点(5,2)．
8．若正实数x，y满足x＋y＝1，则log2x＋log2y的最大值为________．
答案 －2
解析 因为正实数x，y满足x＋y＝1，则0＜xy≤2＝，当且仅当x＝y＝时取“＝”，
因为函数f(t)＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，于是得log2x＋log2y＝log2(xy)≤log2＝－2，
所以当x＝y＝时，log2x＋log2y的最大值为－2.
9．比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
解 (1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，
又0.3<2，所以ln 0.3(2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以loga3.1当0又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.
综上所述，当a>1时，loga3.1当0loga5.2.
(3)因为0>log0.23>log0.24，所以<，
即log30.2(4)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，又π>3，
所以log3π>log33＝1.
同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
10．已知f(x)＝|lg x|，且>a>b>1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小．
解 先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|的图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
由>a>b>1得f >f(a)>f(b)，
又f ＝＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)．
∴f(c)>f(a)>f(b)．
11．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2C．x1答案 A
解析 分别作出这三个函数的大致图象，如图所示．
由图可知，x212．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
答案 D
解析 由f(x)的图象可知0∴g(x)的图象应为D.
13．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)C．f(a＋1)≥f(b＋2) D．f(a＋1)>f(b＋2)
答案 D
解析 因为函数f(x)是偶函数，所以b＝0，
又函数在(－∞，0)上单调递增，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，则0因为f(a＋1)＝loga|a＋1|，f(b＋2)＝loga2，
且1所以f(a＋1)>f(b＋2)．
14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f ＝0，则不等式 的解集为________________________．
答案 ∪(2，＋∞)
解析 ∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，
由f ＝0，得f ＝0，则函数的大致图象如图所示．
∴或，
解得x>2或0∴原不等式的解集为∪(2，＋∞)．
15．已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是________．
答案
解析 要使函数f(x)的值域为R，
则必须满足
即所以－≤a<.
16．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
解 由x2－logmx<0，得x2要使x2∵当x＝时，y＝x2＝，
∴只要当x＝时，y＝logm≥＝即可，
∴，即≤m.又0即实数m的取值范围是.