2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 5.1.1 任意角（学案+课时对点练 教师版含解析）

5.1.1　任意角
学习目标　1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题．
导语
同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课．
一、任意角的概念
问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示　角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
知识梳理
1．角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示
如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点：O.
3．角的分类
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
4.任意角
我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
5．相反角
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α.
例1　若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)
A．120° B．－120°
C．－60° D．60°
答案　B
解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，
即为－×360°＝－120°.
反思感悟　正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角．正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样．
跟踪训练1　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
答案　B
解析　钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
二、象限角
问题2　现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？
提示　我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．
注意点：
(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限．
(2)每一个象限都有正角和负角．
(3)无法比较两个象限角的大小．
例2　(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°下列四个角中，属于第二象限角的是(　　)
A．160° B．480°
C．－960° D．1 530°
答案　ABC
解析　A中，160°很显然是第二象限角；
B中，480°＝120°＋360°是第二象限角；
C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
D中，1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．
反思感悟　正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练2　(多选)下列叙述不正确的是(　　)
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．钝角是第二象限角
C．第二象限角比第一象限角大
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
答案　ACD
解析　直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确．
三、终边相同的角
问题3　给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？
提示　给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°．
知识梳理
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
例3　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
解　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
反思感悟　终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．
(2)终边相同的角相差360°的整数倍．
跟踪训练3　若角2α与240°角的终边相同，则α等于(　　)
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
答案　B
解析　角2α与240°角的终边相同，
则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，
则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示
例4　已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
反思感悟　(1)象限角的判定方法
①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
(2)表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
跟踪训练4　已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
1．知识清单：
(1)正角、负角、零角的概念．
(2)终边相同的角的表示．
(3)象限角、区域角的表示．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.
1．“α是锐角”是“α是第一象限角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为α是锐角能推出α是第一象限角，
但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，
所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．
2．2 022°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
解析　2 022°＝5×360°＋222°，
所以2 022°角的终边与222°角的终边相同，为第三象限角．
3．与－460°角终边相同的角可以表示成(　　)
A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z
答案　C
解析　因为－460°＝260°＋(－2)×360°，
故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_____________．
答案　{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}
解析　观察图形可知，角α的集合是
{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}．
1．如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么α(　　)
A．是第三象限角 B．是第四象限角
C．是第三或第四象限角 D．不是象限角
答案　D
解析　点P(0，－3)在y轴负半轴上，故α的终边为y轴的负半轴．
2．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
解析　可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
3．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是(　　)
A．80° B．－80° C．960° D．－960°
答案　D
解析　40÷60＝，360°×＝240°.
由于时针、分针都是顺时针旋转，
∴时针走过2小时40分，分针转过的角度为－2×360°－240°＝－960°.
4．下面各组角中，终边相同的是(　　)
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
答案　B
解析　因为－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，
所以－330°与750°终边相同．
5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
答案　C
解析　如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．
6．(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　)
A．－200° B．100° C．220° D．420°
答案　AB
解析　－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角．
7．1 112°角是第________象限角．
答案　一
解析　∵1 112°＝360°×3＋32°，∴1 112°的终边与32°的终边相同，均为第一象限角．
8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
答案　120°，300°
解析　与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.
∵所求角在0°～360°范围内，
∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，k∈Z，
解得≤k≤，k∈Z，
∴k＝1或2.
当k＝1时，β＝120°；
当k＝2时，β＝300°.
9．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
解　(1)α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
当n＝－1时，θ＝250°－360°＝－110°；
当n＝－2时，θ＝250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
10．在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：
(1){α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．
解　(1) 根据任意角的定义，画出集合{α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}对应的区域如图阴影部分(含边界)所示．
(2)根据任意角的定义，画出集合{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}对应的区域如图阴影部分(含边界)所示．
11．(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　AC
解析　当k＝2m＋1(m∈Z)时，
α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，
故α为第三象限角；
当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，
故α为第一象限角．
故α的终边落在第一或第三象限．
12．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
答案　D
解析　终边在坐标轴上的角为90°的整数倍，
所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
13．已知α为锐角，则2α为(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．小于180°的正角
答案　D
解析　因为α为锐角，
所以0°<α<90°，则0°<2α<180°.
14．若α为△ABC的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α＝________.
答案　120°或30°
解析　∵4α＝120°＋k·360°，k∈Z，
∴α＝30°＋k·90°，k∈Z，
又∵0°<α<180°，
∴当k＝1时，α＝120°；当k＝0时，α＝30°.
15．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　)
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
C．α－β＝180°＋k·360°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
答案　B
解析　方法一　(特值法)令α＝30°，β＝150°，
则α＋β＝180°.
方法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，
即α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z.
16．若α是第二象限角，试分别确定2α，，的终边所在位置．
解　∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上．
方法一　∵45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，∴的终边位于第一或第三象限．
∵30°＋k·120°<<60°＋k·120°(k∈Z)，
当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一、第二或第四象限．
方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示．
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一或第三象限．
将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示．
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一、第二或第四象限．