第2课时 单调性与最值
学习目标 1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题．
导语
同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题．
一、正弦函数、余弦函数的单调性
问题 你能作出正弦函数y＝sin x，x∈的函数图象吗？
提示
知识梳理
1．正弦函数的单调性
在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1.
2．余弦函数的单调性
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1.
注意点：
(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限．
(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间．
(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小．
二、利用单调性比较大小
例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)cos ，cos ；
(2)cos 1，sin 1；
(3)sin 164°与cos 110°.
解 (1)cos ＝cos ，cos ＝cos ，
因为0<<<π，又y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos >cos ，即cos >cos .
(2)因为cos 1＝sin，又0<－1<1<，且y＝sin x在上单调递增，
所以sin
(3)sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°，
cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°.
因为y＝sin x在上单调递增，
所以－sin 20°即cos 110°反思感悟 比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1 (1)下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°答案 A
解析 因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比较sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小．因为y＝sin x在上单调递增，所以sin 11°即sin 11°(2)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )
A．sin αC．cos αcos β
答案 B
解析 因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α＋β>，所以0<－β<α<，所以cos α
三、求正弦函数、余弦函数的单调区间
例2 求函数y＝2sin的单调区间．
解 令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增(减)时，
函数y＝2sin也单调递增(减)．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)．
延伸探究
1．求函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调区间．
解 由例题知f(x)＝2sin的单调递增区间为，k∈Z，
又∵x∈[0,2π]，
∴0≤x≤或≤x≤2π，
同理函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为.
∴函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为.
2．求函数y＝sin的单调递增区间．
解 y＝sin＝－sin，
令z＝x－，又y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
反思感悟 求正弦、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，同上．
跟踪训练2 (1)函数y＝sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为________________．
答案 ，
解析 y＝sin＝－sin，
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
又x∈[0,2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，
∴原函数的单调递减区间为，.
(2)求函数y＝2cos的单调区间．
解 令2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴单调递减区间为(k∈Z)．
∴函数y＝2cos的单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)．
四、正弦函数、余弦函数的最值(值域)
知识梳理
1．正弦函数：当且仅当x＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ(k∈Z)时取得最小值－1.
2．余弦函数：当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1.
例3 若x是△ABC中的最小内角，则y＝sin x的值域为( )
A．[－1,1] B．(0,1]
C. D.
答案 C
解析 在△ABC中，可知A＋B＋C＝π，
因为x是△ABC中的最小内角，所以3x≤π，可得0又由函数y＝sin x在区间上单调递增，
且sin 0＝0，sin ＝，所以sin x∈，即函数y＝sin x的值域为.
反思感悟 三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝Asin x(或y＝Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asin x(或y＝Acos x)型的函数求值．
跟踪训练3 求函数y＝cos，x∈的值域．
解 由y＝cos，x∈，
可得x＋∈，
因为函数y＝cos x在区间上单调递减，
所以函数的值域为.
1．知识清单：
(1)正弦、余弦函数的单调区间．
(2)比较三角函数值的大小．
(3)正弦、余弦函数的最值(值域)．
2．方法归纳：整体代换、换元法．
3．常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围．
1．函数y＝－cos x在区间上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．先增后减
答案 C
解析 因为y＝cos x在区间上先增后减，
所以y＝－cos x在区间上先减后增．
2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
答案 C
解析 ∵y＝2－sin x，∴当sin x＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．
3．函数f(x)＝2sin在区间上的最大值为( )
A．－2 B．1 C. D．2
答案 C
解析 当x∈时，x－∈，
≤sin≤，所以1≤2sin≤，
所以函数f(x)＝2sin在区间上的最大值为.
4．函数f(x)＝cos的单调递减区间是 __________________________.
答案 (k∈Z)
解析 令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即f(x)＝cos的单调递减区间是(k∈Z)．
1．下列命题中正确的是( )
A．y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B．y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C．y＝cos x在上单调递减
D．y＝sin x在上单调递增
答案 D
解析 对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；
对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为，k∈Z，故B错误，D正确．
2．y＝2sin的值域是( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．[－1,1]
答案 A
解析 因为sin∈[－1,1]，
所以y∈[－2,2]．
3．“0＜x＜”是“sin x＜”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为当0＜x＜时，有sin x＜，所以充分性满足；
反之，若sin x＜，取sin x＝－，则x＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝＋2kπ(k∈Z)，都不在内，故必要性不满足．
所以“0＜x＜”是“sin x＜”的充分不必要条件．
4．已知函数y＝sin x与y＝cos x，在下列区间内同为单调递增的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵y＝sin x的单调递增区间为
，k∈Z，
y＝cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
结合选项，可知当k＝1时，为正弦函数与余弦函数的单调递增区间的交集，
即能使函数y＝sin x与函数y＝cos x同时单调递增的是(闭区间或开区间均可).
5．已知函数f(x)＝sin在x0处取得最大值，则x0可能是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 当x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)取最大值．
6．(多选)下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin
B．cos 400°>cos
C．sin 3>sin 2
D．sin >cos
答案 BD
解析 y＝sin x在上单调递增，又－<－，
∴sincos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立；
y＝sin x在上单调递减，
又<2<3<π，∴sin 2>sin 3，故C不成立；
sin ＝－sin ，
cos ＝－cos ＝－sin＝－sin .
∵0<<<，且y＝sin x在上单调递增．
∴sin cos ，故D成立．
7．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________．
答案 (－π，0]
解析 因为y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π8.函数f(x)＝cos的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为___________________．
答案 ，k∈Z
解析 由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π.
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
9．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
解 (1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得－≤x≤－(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)，
即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
10．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
解 (1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
所以当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，
当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
11．使cos x＝1－m有意义的m的取值范围为( )
A．m≥0
B．0≤m≤2
C．－1D．m<－1或m>1
答案 B
解析 因为－1≤cos x≤1，所以－1≤1－m≤1，
所以0≤m≤2.
12．f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在上单调递减，则ω的值为( )
A．2 B. C. D.
答案 D
解析 当x＝时，函数f(x)取得最大值，则sin ＝1，所以＝2kπ＋(k∈Z)，所以ω＝6k＋，k∈Z，又ω＞0，结合选项ω＝符合题意．
13．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A>sin B，则( )
A．cos C>0 B．cos C<0
C．cos C＝0 D．cos C≥0
答案 B
解析 因为角A，B均为锐角，
所以0cos A>sin B cos A>cos A<－B A＋B< π－C< C>，
而C为三角形的内角，所以14．已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是_______.
答案
解析 函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，
当－∵当x＝0时，ωx＋＝，
由于函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，
∴解得ω≤，
∵ω>0，∴0<ω≤，
因此，ω的取值范围是.
15．对于函数f(x)＝下列说法中正确的是( )
A．该函数的值域是[－1,1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π答案 D
解析 画出函数f(x)的图象如图中实线部分所示，由图象容易看出，该函数的值域是；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin α)>f(cos β)．
证明 由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增．
又α，β是锐角三角形的两个内角，
则有α＋β>，
即>α>－β>0，
因为y＝sin x在上单调递增，
所以sin α>sin＝cos β，
且sin α∈(0,1)，cos β∈(0,1)，
所以f(sin α)>f(cos β)．第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
学习目标 1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体性质.2.能够解决简单的函数性质的综合问题．
导语
同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题．整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想．
一、形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
问题1 求二次函数的最值，需要明确哪些方面？
提示 开口方向，对称轴，函数的定义域．
问题2 同角三角函数的平方关系是什么？
提示 sin2α＋cos2α＝1.
例1 函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．
答案 [－4,0]
解析 因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
又－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，
所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4，0]．
延伸探究
1．把本例中“x∈R”变为“x∈”，求函数的最大值和最小值及取得最值时的x的值．
解 由例题解答可知y＝－(sin x－1)2，因为x∈，所以≤sin x≤1，所以当sin x＝1，即x＝时，ymax＝0；当sin x＝，即x＝时，ymin＝－.
2．本例函数变为y＝sin2x＋2cos x－2，x∈R，求函数的值域．
解 因为y＝sin2x＋2cos x－2＝1－cos2x＋2cos x－2＝－cos2x＋2cos x－1＝－(cos x－1)2，又－1≤cos x≤1，所以函数的值域为[－4,0]．
反思感悟 求y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数最值(值域)的方法
形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．若f(x)＝asin2x＋bcos x＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值．
跟踪训练1 函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
答案 1
解析 由题意得f(x)＝1－cos2x＋cos x－，令cos x＝t，则t∈[0,1]，则y＝
－t2＋t＋＝－2＋1，则当t＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
二、正弦函数、余弦函数的对称性
问题3 正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？
提示 有，(kπ，0)(k∈Z)．
问题4 正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？
提示 是轴对称图形，方程为x＝＋kπ(k∈Z)．
问题5 类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？
提示 对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为(k∈Z)．
例2 函数y＝sin的图象的对称轴是直线________，对称中心是________．
答案 x＝＋(k∈Z) (k∈Z)
解析 要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，
故函数y＝sin的图象的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．
∵函数y＝sin的图象与x轴的交点为对称中心，令y＝0，即sin＝0，∴2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)．
故函数y＝sin的图象的对称中心是(k∈Z)．
反思感悟 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想．
跟踪训练2 求函数y＝2sin的对称轴、对称中心．
解 y＝2sin＝－2sin，
令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以函数y＝2sin的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，
对称中心的横坐标满足2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.
所以函数y＝2sin的对称中心为，k∈Z.
三、函数性质的综合应用
例3 若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上单调递增，则y＝f(x)的解析式可以是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
答案 A
解析 对于A选项，周期为π，
sin＝sin ＝1，
所以y＝sin的图象关于直线x＝对称；
令－≤2x－≤，得－≤x≤，
所以函数y＝sin在上单调递增，故A选项符合题意．
反思感悟 研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合．整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等．
跟踪训练3 (多选)已知函数f(x)＝2sin，则( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)在区间(0，π)上有两个零点
答案 ABD
解析 对于A，函数y＝f的最小正周期T＝＝π，故A正确；
对于B，∵ f ＝2sin＝2，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；
对于C，∵ f ＝2sin＝2sin ＝1，故f(x)的图象不经过点，也不是其对称中心，故C错误；
对于D，令f＝0(01．知识清单：
(1)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题．
(2)正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心．
(3)函数性质的综合运用．
2．方法归纳：整体代换、换元法．
3．常见误区：二次函数的最值问题．
1．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则φ可以是( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 因为函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，所以2×＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)．结合选项，当k＝0时，φ＝－.
2．已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A．4 B．4－2
C．6 D．4＋2
答案 C
解析 ∵函数y＝4cos x的定义域为，∴函数在上单调递减．当x＝时，y＝
4cos ＝4×＝2，即函数的最大值b＝2；当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6.
3．已知直线x＝和x＝是曲线f(x)＝sin(ωx＋φ)(－π<φ≤π)的两条对称轴，且函数f(x)在上单调递减，则φ的值是( )
A．－ B．0 C. D．π
答案 A
解析 由f(x)在上单调递减可知，f 是最小值，由两条对称轴为直线x＝和x＝可知，直线x＝0也是对称轴，且f(0)＝－1为最小值，故sin φ＝－1.又－π<φ≤π，解得φ＝－.
4．函数y＝cos2x＋sin x的最大值为________．
答案
解析 因为y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x，
令t＝sin x，t∈[－1,1]，
则y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
所以当t＝时，ymax＝.
1．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案 B
解析 选项C中，函数y＝2sin的周期为T＝＝4π，故排除C；将x＝依次代入A，B，D求得函数值分别为0,2，，且函数y＝Asin(ωx＋φ)在对称轴处取最值．
2．设函数f(x)＝cos的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
答案 B
解析 因为函数f(x)＝cos 的最小正周期为，
所以＝，解得ω＝10，
所以f(x)＝cos，令10x－＝kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，结合选项当k＝－1时，x＝－.
3．函数y＝sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为( )
A．π B．2π C．1 D．2
答案 C
解析 函数y＝sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为，函数的周期T＝＝2，则＝＝1.
4．下列函数中周期为π，且在上单调递增的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
答案 D
解析 周期为π，故排除A，B；
令t＝2x，当x∈时，t∈[π，2π]，
又y＝cos t在[π，2π]上单调递增，
所以选项D中y＝cos 2x符合题意．
5．如果函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时，φ的值为( )
A．± B. C．－ D．±
答案 D
解析 由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，
可得2π＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，当|φ|取最小值时，k＝1，即φ＝－或k＝2，即φ＝，故|φ|取最小值时，φ的值为±.
6．(多选)已知函数f(x)＝sin，下列四个结论中，正确的有( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)的图象关于点对称
D．函数f(x)在上单调递增
答案 AD
解析 对于A，函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，可知A正确；
对于B，当x＝时，2x－＝0，又x＝0不是y＝sin x的对称轴，可知B错误；
对于C，当x＝时，2x－＝，又不是y＝sin x的对称中心，可知C错误；
对于D，当x∈时，2x－∈，
当x∈时，y＝sin x单调递增，可知D正确．
7．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
答案
解析 因为x∈，所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝22＋，
所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.
8．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则f ＝______，ω的最小值为________．
答案 1
解析 ∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立，
∴当x＝时，f(x)取得最大值1.
即f ＝cos＝1，
∴ω－＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k＋，k∈Z.
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f(x)的图象关于点对称，且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x)；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解 (1)依题意T＝π，∴ω＝2，
f(x)＝sin(2x＋φ)，
又f(x)的图象关于点对称，
∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|≤，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a.当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围．
解 －1≤sin x≤1，令t＝sin x，则－1≤t≤1.f(x)＝0有实数解，即t2－t－a＝0在[－1,1]内有实数解．
a＝t2－t，t∈[－1,1]，
设h(t)＝t2－t＝2－，t∈[－1,1]，
当t＝时，h(t)min＝－，
当t＝－1时，h(t)max＝2，
∴a的取值范围是.
11．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)，若f(x)关于x＝对称，则f(x)的一个单调递增区间可以是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵f(x)关于x＝对称，
则＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝－2sin.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
结合选项，当k＝0时，得≤x≤.
即f(x)的一个单调递增区间可以是.
12．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，对任意x∈R都有f(x)≤f ，并且f(x)在区间上不单调，则ω的最小值是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
答案 D
解析 由题意，得f 是函数f(x)的最大值，
∴＋＝2kπ＋，k∈Z，
即ω＝6k＋1，k∈Z.
∵ω>0，∴k∈N.
当k＝0时，ω＝1，f(x)＝sin在上单调递增，不符合题意；
当k＝1时，ω＝7，f(x)＝sin符合题意．
∴ω的最小值为7.
13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是( )
A．f(1)C．f(2)答案 B
解析 因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，得ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，
又f(x)关于中心对称，
∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，
又|φ|∈，
∴当k＝0时，φ＝－，则f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得x∈，k∈Z.
故f(x)在上单调递增．
又f(2)＝f ，且0<－2<1都在区间中，
故可得f(0)14．函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，设g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1，则g＝______.
答案 1
解析 ∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f(x)＝3sin(ωx＋φ)的图象的对称轴过函数g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1的图象的对称中心，
∴g＝1.
15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足|x0|≤，则称f(x)为“近轴函数”．若函数y＝2sin(2x－φ)是“近轴函数”，则φ的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.
答案 C
解析 y＝2sin(2x－φ)靠近原点的对称轴为x＝x0，
则2x0－φ＝± x0＝±，
要为近轴函数，则|x0|≤，∵＞，
∴φ＞0，x0＝－，
φ＜0，x0＝＋，
∴或
解得φ∈∪.
16．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．
解 (1)由余弦函数的单调性，得2kπ＋π<2x＋<2kπ＋2π，k∈Z，则＋kπ(2)函数f＝2cos的单调递增区间为
，k∈Z，
单调递减区间为，k∈Z，
所以函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减，
且f ＝0，f ＝2，f ＝－，
所以当0≤k<2时，函数y＝k与函数y＝f(x)的图象有两个公共点，
即当0≤k<2时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根．5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
学习目标 1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．
导语
同学们，在生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习．我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质．
一、正弦函数、余弦函数的周期
问题1 正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？
提示 能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律．我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0,2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象．②诱导公式一，sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，对任意的k∈Z都成立．
知识梳理
1．函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
注意点：
(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．
(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期．
(3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可．
(4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期．
例1 求下列三角函数的周期：
(1)y＝7sin x，x∈R；
(2)y＝sin 2x，x∈R；
(3)y＝sin，x∈R；
(4)y＝|cos x|，x∈R.
解 (1)因为7sin(x＋2π)＝7sin x，由周期函数的定义知，y＝7sin x的周期为2π.
(2)因为sin 2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin 2x，由周期函数的定义知，y＝sin 2x的周期为π.
(3)因为sin
＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.
(4)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π.
反思感悟 求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．
跟踪训练1 求下列三角函数的最小正周期：
(1)y＝|sin x|；
(2)y＝cos 4x；
(3)y＝3sin；
(4)y＝2cos.
解 (1)由y＝|sin x|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，
得f(x)＝|sin x|的最小正周期为π(或通过图象判断)．
(2)由y＝cos 4x，T＝＝＝.
(3)由y＝3sin，T＝＝＝4π.
(4)由y＝2cos，T＝＝＝π.
二、正弦函数、余弦函数的奇偶性
问题2 继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？
提示 正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称．
知识梳理
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
例2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(3)f(x)＝x2cos.
解 (1)f(x)＝sin＝－cos x，x∈R.
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－cos＝－cos x＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin是偶函数．
(2)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域为R，
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，
所以函数f(x)＝|sin x|＋cos x是偶函数．
(3)f(x)＝x2cos＝－x2sin x，x∈R，
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x2cos为奇函数．
反思感悟 判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin xcos x；
(2)f(x)＝＋.
解 (1)函数的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)
＝－sin xcos x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin xcos x为奇函数．
(2)由得cos x＝1，
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用
问题3 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？
提示 通过研究一个周期内的函数图象和性质，可推导出整个函数具有的性质．
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 f ＝f ＝f ＝f
＝f ＝f ＝sin ＝.
延伸探究
1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f 的值为________．
答案 －
解析 f ＝f ＝f ＝f
＝f ＝－f ＝－sin ＝－.
2．若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f ＝－f(x)，f ＝1，则f 的值为________．
答案 1
解析 ∵f ＝－f(x)，
∴f(x＋π)＝－f ＝－[－f(x)]＝f(x)，∴T＝π，
∴f ＝f ＝f ＝f ＝1.
反思感悟 三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个．
跟踪训练3 函数f(x)＝sin(ω≠0)，则f(x)是________(填“奇函数”或“偶函数”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________.
答案 偶函数 ±2
解析 f(x)＝sin＝－cos ωx.
∴f(－x)＝－cos(－ωx)＝－cos ωx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，
又T＝π，∴＝π，∴ω＝±2.
1．知识清单：
(1)周期函数的概念，三角函数的周期．
(2)三角函数的奇偶性．
(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用．
2．方法归纳：定义法、公式法、数形结合．
3．常见误区：函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝.
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案 A
解析 由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
2．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos(－4x)
答案 D
解析 y＝cos(－4x)＝cos 4x.
T＝＝.
3．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
答案 B
解析 ∵f(x)＝sin＝－sin
＝－cos 2x，x∈R，
又T＝＝π，且f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
4．已知f(x)为奇函数，且周期为，若f ＝－1，则f ＝________.
答案 1
解析 ∵T＝，又f(x)为奇函数，
∴f ＝f ＝f
＝－f ＝－(－1)＝1.
1．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为( )
A. B．π
C．2π D．4π
答案 D
解析 由题意得T＝＝4π.
2．函数y＝4sin(2x－π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
答案 B
解析 因为y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，所以其图象关于原点对称．
3．图象为如图的函数可能是( )
A．y＝x·cos x B．y＝x·sin x
C．y＝x·|cos x| D．y＝x·2x
答案 A
解析 根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，
而y＝x·sin x是偶函数，y＝x·2x非奇非偶，
由此可排除B，D；
当x＞0时，y＝x·|cos x|＞0，由此可排除C；
故选A.
4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f 等于( )
A．1 B. C．－1 D．－
答案 A
解析 ∵函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，
∴周期T＝＝π，解得ω＝2，
即f(x)＝sin，
∴f ＝sin＝sin＝sin ＝1.
5．函数y＝f(x)＝xsin x的部分图象是( )
答案 A
解析 ∵f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，故选A.
6．(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝sin 2x
C．y＝sin D．y＝cos x
答案 AC
解析 A中，由y＝|cos x|的图象知，y＝|cos x|是周期为π的偶函数，所以A正确；
B中，函数为奇函数，所以B不正确；
C中，y＝sin＝cos 2x，T＝π，所以C正确；
D中，函数y＝cos x，T＝4π，所以D不正确．
7．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
答案 －9
解析 令g(x)＝x3cos x，
∴g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cos x＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1，
∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
8．奇函数f(x)满足f ＝f(x)，当x∈时，f(x)＝cos x，则f 的值为________．
答案 －
解析 ∵f ＝f(x)，∴T＝，
∴f ＝f ＝f
＝－f ＝－cos＝－cos ＝－.
9．已知f(x)是周期为π的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求f ，f .
解 ∵T＝π，且f(x)为偶函数，
∴f ＝f ＝f ＝1－sin ＝1－，
f ＝f ＝f
＝f ＝1－sin ＝.
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2cos；
(2)f(x)＝cos x－x3sin x.
解 (1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
∵f(x)＝2cos＝2cos
＝－2sin x，
又f(－x)＝－2sin＝2sin x＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
∵f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)
＝cos x－x3sin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
11．如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为( )
A．3 B．6
C．12 D．24
答案 B
解析 因为函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，由＝，解得ω＝6.
12．已知k∈Z，则“函数f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数时，θ＝＋kπ，k∈Z；
当θ＝＋2kπ，k∈Z时，
f(x)＝sin＝cos 2x为偶函数；
综上，“函数f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的必要不充分条件．
13．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f 的值等于( )
A．1 B. C．0 D．－
答案 B
解析 f ＝f
＝f ＝sin ＝.
14．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 023)＝________.
答案
解析 由题意得f(x＋6)＝＝f(x)，
∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(6×337＋1)
＝f(1)＝.
15．已知函数f(x)＝sin ωx在上恰有4个零点，则正整数ω的值为( )
A．2或3 B．3或4
C．4或5 D．5或6
答案 C
解析 因为函数f(x)＝sin ωx在上恰有4个零点，
所以·≤<2·，
解得4≤ω<，
所以正整数ω的值为4或5.
16．已知函数f(x)＝cos x，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)的值．
解 因为f(1)＝cos ＝，f(2)＝cos ＝－，
f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos ＝－，
f(5)＝cos ＝，f(6)＝cos 2π＝1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
即每连续六项的和均为0.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)
＝f(2 023)＝f(1)＝cos ＝.