第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
导语
同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系．
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题1 请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式．
提示 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
tan(α＋β)＝.
问题2 当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？
提示 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α)＝.
知识梳理
1．二倍角的正弦公式
sin 2α＝2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α.
2．二倍角的余弦公式
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，其中α∈R，简记作C2α.
3．二倍角的正切公式
tan 2α＝，简记作T2α.
注意点：
(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．
(2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想．
(3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)．
(4)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)；
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；
降幂公式：sin αcos α＝sin 2α；cos2α＝；sin2α＝.
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α.
例1 求下列各式的值：
(1)sin2－cos2；
(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解 (1)原式＝－＝－cos
＝－cos＝cos ＝.
(2)原式＝＝2×
＝2×＝2.
(3)原式＝
＝
＝
＝＝＝.
反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)；
(3)cos4－sin4.
解 (1)原式＝×2sin cos ＝×sin ＝.
(2)原式＝×＝×tan 45°＝.
(3)原式＝
＝cos2－sin2
＝cos ＝.
二、给值求值
例2 (教材221页例5改编)已知cos ＝，0<α<2π，求sin ，cos ，tan 的值．
解 由0<α<2π，得0<<，所以sin ＝，
所以sin ＝2sin cos ＝2××＝；
cos ＝cos2－sin2＝2－2＝－；
tan ＝＝＝－.
反思感悟 解决给值求值问题的方法
(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2.
②cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos.
跟踪训练2 已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝.
(1)求的值；
(2)求的值．
解 由sin θ＋cos θ＝，①
两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0，
∵θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，
sin θ－cos θ＝＝＝，②
由①②得sin θ＝，cos θ＝－.
(1)
＝
＝＝.
(2)＝＝＝2sin θcos θ＝－.
三、倍角公式的综合运用
例3 已知△ABC的三个内角为A，B，C，f(B)＝4cos Bsin2＋cos 2B－2cos B.
(1)若f(B)＝2，求B的大小；
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)f(B)＝4cos B·＋cos 2B－2cos B
＝2cos B(1＋sin B)＋cos 2B－2cos B
＝2cos Bsin B＋cos 2B
＝sin 2B＋cos 2B＝2sin，
因为f(B)＝2，所以2sin＝2，
即sin＝1.
所以2B＋＝＋2kπ，k∈Z.
又因为0
(2)由题意知f(B)－m>2恒成立，
即2sin>2＋m恒成立．
因为0所以<2B＋<，
所以2sin∈[－2,2]，
所以2＋m<－2，所以m<－4，
故实数m的取值范围是(－∞，－4)．
反思感悟 要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断．尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正．
跟踪训练3 若α∈(0，π)，cos α，sin α是一元二次方程x2＋x－＝0的两个实根，则cos 2α等于( )
A. B．± C．－ D.
答案 A
解析 ∵cos α，sin α是一元二次方程x2＋x－＝0的两个实根，
∴cos α＋sin α＝－，
cos α·sin α＝－.
又α∈(0，π)，cos α·sin α＝－<0，
∴sin α>0，cos α<0，
∴cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－
＝－
＝－＝－，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
＝×＝.
1．知识清单：
(1)二倍角公式的推导．
(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围、实际问题中隐含的条件．
1．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
答案 B
解析 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－；
sin215°＋cos215°＝1，故选B.
2．若sin ＝，则cos α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 因为sin ＝，
所以cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝.
3．sin 2α＝－，则cos2的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 cos2＝
＝＝＝＝.
4．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是 ．
答案
解析 ∵sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcos α＝－sin α.
由α∈知sin α≠0，
∴cos α＝－，∴α＝，
∴sin α＝，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
1．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )
A. B. C. D．1＋
答案 C
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°
＝1＋sin 30°＝1＋＝.
2．若tan α＝3，则的值等于( )
A．2 B. 3
C．4 D．6
答案 D
解析 ＝＝2tan α＝6.
3．已知sin(15°＋α)＝，则sin(240°－2α)等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 D
解析 由已知可得sin(240°－2α)＝sin[270°－(30°＋2α)]＝－cos(30°＋2α)＝2sin2(15°＋α)－1＝2×2－1＝－.
4．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则 等于( )
A．4 B.＋1
C．2 D.－1
答案 C
解析 由题意可知2sin 18°＝m＝，
所以m2＝4sin218°，
则＝
＝
＝
＝2.
5．已知α是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且cos α＝，则tan 2α等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 因为α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，所以x<0，
因为|OP|＝，cos α＝＝，
所以x＝－3，所以tan α＝－，
所以tan 2α＝＝＝.
6．(多选)下列各式中，值为的是( )
A.
B．cos2－sin2
C．cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45°
D.
答案 AB
解析 选项A，＝＝sin 60°＝；
选项B，cos2－sin2＝cos ＝；
选项C，cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝；
选项D，＝×＝tan 30°＝×＝.
7．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的余弦值是 ．
答案
解析 设等腰三角形的底角为α ，则顶角为π－2α.
∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝.
8.＋的值为 ．
答案 4
解析 原式＝
＝
＝
＝＝4.
9．化简：(3π<α<4π)．
解 因为3π<α<4π，
所以<<2π，<<π，<<，
则cos >0，cos <0，cos >0.
所以原式＝
＝
＝＝
＝＝2cos .
10．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．
解 原式＝
＝.
因为α为第二象限角，且sin α＝，
所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－，
所以原式＝＝－.
11．sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝
＝
＝.
12．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是( )
A. B．1
C. D．1＋
答案 A
解析 f(x)＝＋sin 2x
＝＋sin.
∵≤x≤，∴≤2x－≤，
∴f(x)max＝＋1＝.
13．“2sin x＝cos x＋1”是“tan ＝”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由tan ＝，得tan ＝＝＝＝，即2sin x＝1＋cos x成立，即必要性成立，
当x＝π时，满足2sin x＝cos x＋1，但tan 无意义，即充分性不成立，
则“2sin x＝cos x＋1”是“tan ＝”的必要不充分条件．
14．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则cos 2α的值为 ．
答案 －
解析 ∵sin α＋cos α＝，∴1＋2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.又∵α∈(0，π)，
∴sin α>0，cos α<0，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－.
15．若sincos＝－，则cos 4x＝ .
答案
解析 ∵sin＝－cos
＝－cos，
∴cos2＝，
∴＝，
∴cos＝－，
即sin 2x＝－，
∴cos 4x＝1－2sin22x＝.
16．已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
解 (1)由sin －2cos ＝0，
知cos ≠0，所以tan ＝2，
所以tan x＝＝＝－.
(2)由(1)知tan x＝－，
所以
＝
＝
＝
＝×
＝×
＝.第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．
导语
同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止，在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、余弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展．
一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
问题1 请同学们写出两角差的余弦公式．
提示 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
问题2 试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？
提示 我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开．即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos α·cos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式．
知识梳理
1．两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)．
2．两角和与差的正弦公式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)；
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)．
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”．
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序．
例1 (1)的值是( )
A. B. C．1 D.
答案 A
解析 原式＝
＝
＝
＝＝.
(2)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 方法一 原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°)
＝－cos 60°＝－.
方法二 原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°
＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40°
＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－.
反思感悟 探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式．
跟踪训练1 ＝ .
答案
解析
＝
＝
＝
＝sin 30°＝.
二、给值求值
例2 (教材218页例3改编)已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)的值．
解 因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，
所以cos α＝，sin β＝，
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
延伸探究
1．若本例条件不变，求sin(α－β)的值．
解 因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝，
sin β＝，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－.
2．若本例条件不变，求cos(α＋β)的值．
解 由以上可知cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
反思感悟 给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；
②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围．
跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．
解 因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
又因为cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝
＝＝，
cos(α＋β)＝－
＝－＝－.
所以cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝×－×
＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－.
三、给值求角
例3 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .
答案
解析 ∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
又∵0<α＋β<π，
∴α＋β＝.
延伸探究 若本例中sin α＝，其余条件不变，求α－β的值．
解 因为α，β均为锐角，
且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝，sin β＝，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－.
又因为α，β均为锐角，
所以－<α－β<，故α－β＝－.
反思感悟 解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．
跟踪训练3 已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
解 因为α和β均为钝角，
所以cos α＝－＝－，
cos β＝－＝－，π<α＋β<2π，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
所以α＋β＝.
1．知识清单：
(1)公式的推导．
(2)给角求值、给值求值、给值求角．
(3)公式的正用、逆用、变形用．
2．方法归纳：构造法．
3．常见误区：求值或求角时忽视角的范围．
1．sin 105°的值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
2．化简sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
3．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin 等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
4．sin 15°－cos 15°＝ .
答案 －
解析 sin 15°－cos 15°＝2sin(15°－60°)＝－2sin 45°＝－.
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．在△ABC中，sin A·sin BA．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
答案 B
解析 ∵在△ABC中，sin A·sin B∴cos(A＋B)>0，∴cos C<0，
则C为钝角，故△ABC是钝角三角形．
3．已知cos＝－(α为锐角)，则sin α等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵cos＝－(α为锐角)，
∴sin＝.
∴sin α＝sin
＝sin－cos
＝×－×＝.
4．若sin αcos －cos αsin ＝，α∈[0,2π)，则α等于( )
A. B.
C.或 D.或
答案 D
解析 sin αcos －cos αsin ＝sin＝，又α∈[0,2π)，
所以α＝或.
5．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β的值为( )
A．0 B.
C．0或 D．0或±
答案 A
解析 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，
两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0.
6．(多选)cos α－sin α化简的结果可以是( )
A.cos B．2cos
C.sin D．2sin
答案 BD
解析 cos α－sin α＝2
＝2
＝2cos＝2sin.
7．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
答案 －
解析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－.
8．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式 的值是 ．
答案 －1
解析 ＝sin 15°－cos 15°
＝2
＝2sin(15°－45°)
＝2sin(－30°)
＝－1.
9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．
解 ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，
∴sin β＝－，又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－，
∴sin＝sin βcos ＋cos βsin
＝×＋×＝－.
10．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解 (1)因为α，β∈，
所以α－β∈.
又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.
所以cos(α－β)＝＝.
sin α＝＝，
所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×＋×＝，
因为β∈，所以β＝.
11．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 A
解析 因为cos B＝，且0所以sin B＝，又A＝，C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin cos B＋cos sin B
＝×＋×＝.
12．已知α为钝角，且sin＝，则cos等于( )
A. B.
C．－ D.
答案 C
解析 ∵α为钝角，且sin＝，
∴cos＝－，
∴cos＝cos
＝coscos －sinsin
＝－×－×＝－.
13．设α∈，β∈，且tan α＝，则( )
A．2α－β＝0 B．2α＋β＝
C．2α＋β＝0 D．2α－β＝
答案 D
解析 ∵＝ sin α·cos β＝cos α＋cos α·sin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin，
∵－＜α－β＜，0＜－α＜，
∴α－β＝－α，
∴2α－β＝.
14．若方程sin x－cos x＝m－1有解，则m的取值范围是 ．
答案 [－1,3]
解析 sin x－cos x＝m－1，
即2＝m－1，
即2sin＝m－1，
∵sin∈[－1,1]．
∴－2≤m－1≤2，即－1≤m≤3.
15．“在△ABC中，cos Acos B＝ ＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是 ．
答案 b解析 由题意，得横线处的实数等于cos(A＋B)，即cos(π－C)，故当C是直角时，a＝
cos(A＋B)＝cos ＝0；当C是锐角时，－1cos(A＋B)<1，故b16．已知α，β∈，cos α＝，cos(α＋β)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求2α＋β的值．
解 (1)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，
又cos α＝，cos(α＋β)＝，
则sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
(2)cos(2α＋β)＝cos[(α＋β)＋α]
＝cos(α＋β)cos α－sin α·sin(α＋β)
＝×－×＝0.
由α，β∈，得2α＋β∈，
∴2α＋β的值为.5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
学习目标 1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.2.掌握两角差的余弦公式的应用．
导语
同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式．
一、两角差的余弦公式
问题1 已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标．
提示 P(cos α，sin α)．
问题2 观察下图，并阅读教材P215以及右下角的注解部分，分组讨论，你能得到哪些结论？
提示 A(1,0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cos β，sin β)，P1(cos α，sin α)．连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A1P1.
问题3 你还记得初中所学两点间的距离公式吗？
提示 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝，
由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2.
知识梳理
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α－β)．
注意点：
(1)该公式对任意角都能成立．
(2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和．
(3)公式的逆用仍然成立．
例1 (1)cos 15°的值是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
(2)求下列各式的值：
①cos cos ＋cos sin ；
②cos 105°＋sin 105°.
解 ①原式＝cos cos ＋cossin
＝cos cos ＋sin sin
＝cos＝cos ＝.
②原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.
反思感悟 两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°；
(3)sin ＋cos .
解 (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]
＝cos 45°＝.
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.
(3)原式＝2
＝2
＝2cos＝2cos ＝.
二、给值求值
问题4 正弦、余弦、正切在每个象限内的符号如何？
提示 正弦在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦在一、四象限为正，二、三象限为负；正切在一、三象限为正，二、四象限为负．
例2 (1)已知sin＝，则cos α＋sin α的值为( )
A．－ B. C．2 D．－1
答案 B
解析 cos α＋sin α＝2
＝2
＝2cos＝2sin
＝2sin＝.
(2)已知sin＝，且<α<，则cos α＝ .
答案
解析 因为sin＝，且<α<，
所以<α＋<π，
所以cos＝－＝－，
所以cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝－×＋×＝.
反思感悟 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α＋β)－β；
②β＝－；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
跟踪训练2 已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
解 因为α，β∈，
所以0<α＋β<π，
由cos(α＋β)＝－，
得sin(α＋β)＝，
又sin α＝，
所以cos α＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
三、给值求角
问题5 若0<α<，0<β<，你能求β－α的取值范围吗？
提示 －<β－α<.
例3 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解 由cos α＝，0<α<，得
sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝
＝＝.
∵β＝α－(α－β)，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
∵0<β<，∴β＝.
反思感悟 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
解 ∵α，β均为锐角，
∴sin α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
又sin α∴－<α－β<0.
故α－β＝－.
1．知识清单：
(1)两角差的余弦公式的推导．
(2)给角求值、给值求值、给值求角．
2．方法归纳：构造法．
3．常见误区：求角时忽视角的范围．
1．cos 20°等于( )
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
答案 B
解析 cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°·sin 10°.
2．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 B
解析 原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos 60°＝.
3．已知cos α＝，α∈，则cos的值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因为α∈，所以sin α＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＋×＝.
4．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝ .
答案
解析 因为0<α<，0<β<，α<β.
所以－<α－β<0.
又cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝－＝－.
又因为0<2α<π，cos 2α＝，
所以sin 2α＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×
＝－，
又0<α＋β<π，故α＋β＝.
1．sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°的值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos(70°－10°)＝cos 60°＝.
2．已知sin α＝，α∈，则cos等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 由题意可知cos α＝，
cos＝cos＝cos
＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＋×＝.
3．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
答案 B
4．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 ∵α为锐角，且cos α＝，
∴sin α＝＝.
∵β为第三象限角，且sin β＝－，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝－.
5．若0＜α＜＜β＜π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵cos β＝－，＜β＜π，∴sin β＝，
∵0＜α＜＜β＜π，sin(α＋β)＝，
∴＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－＝－，
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－×＋×＝.
6．(多选)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是( )
A．－ B．－ C. D.
答案 AC
解析 对比公式特征知，cos＝cos(x＋φ)，
所以φ＝－＋2kπ，
故φ＝－，都合适．
7.＝ .
答案
解析 原式＝
＝
＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝.
8．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos (A－B)＝ .
答案 －
解析 因为cos B＝－，且0所以所以sin B＝＝＝，
且0所以cos A＝＝＝，
所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B
＝×＋×＝－.
9.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β的值；
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．
解 (1)∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，，
∴sin α＝，sin β＝，
又∵α为锐角，
∴cos α＝＝.
(2)∵β为钝角，
∴由(1)知cos β＝－＝－，
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α
＝－×＋×＝.
10．已知0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，求cos的值．
解 由题设得＜＋α＜，＜－＜，
∴sin＝，sin＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sin·sin＝.
11．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
答案 C
解析 cos x＋cos
＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sin x＝
＝cos＝－1.
12．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是( )
A. B.
C．－ D．－
答案 C
解析 sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两式分别平方，然后相加即可．
13．在△ABC中，有关系式tan A＝成立，则△ABC为( )
A．等腰三角形
B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或A＝60°的三角形
D．不能确定
答案 B
解析 因为tan A＝＝，所以sin Asin C－sin Asin B＝cos Acos B－cos Acos C，所以cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos B＋sin Asin B，即cos(A－C)＝cos(A－B)，所以A－C＝A－B或A－C＋A－B＝0，所以C＝B(舍)或A＝60°，所以△ABC为A＝60°的三角形．
14．已知0＜α＜π，sin＝，则cos α＝ .
答案
解析 由0＜α＜π，则＜α＋＜，又sin＝＜，故＜α＋＜π，即位于第二象限，由同角三角函数关系得cos＝－＝－，
cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝.
15.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为9∶25，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为9∶25，可得小正方形的边长为，可得cos α－sin α＝①，sin β－cos β＝②.由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，所以①×②得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝
1－cos(α－β)，解得cos(α－β)＝.
16．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点.
(1)求
的值；
(2)已知－<β<0，且sin β＝－，求cos(α－β)的值．
解 由题意知tan α＝2.
(1)原式＝
＝tan α＝2.
(2)因为α是第一象限角，且终边过点，
所以sin α＝，cos α＝，
因为－<β<0，且sin β＝－，
所以cos β＝＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.第3课时 两角和与差的正切公式
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
导语
同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”．
一、两角和与差的正切公式
问题1 请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式．
提示 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
问题2 同角三角函数中的商数关系是什么？
提示 ＝tan α.
问题3 你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？
提示 tan(α＋β)＝
＝.
用－β来代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β)．
知识梳理
1．两角和的正切公式
tan(α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α＋β)．
2．两角差的正切公式
tan(α－β) ＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α－β)．
注意点：
(1)只有当α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立．
(2)公式的符号变化简记为：“分子同，分母反”．
例1 (1)tan 255°等于( )
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
答案 D
解析 tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°
＝tan(45°＋30°)＝
＝＝2＋.
(2)化简等于( )
A. B. C．3 D．1
答案 B
解析 ＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
反思感悟 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
跟踪训练1 化简求值：
(1)；
(2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
解 (1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.
(2)∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
二、给值求值(角)
问题4 根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？
提示 T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
tan αtan β＝1－.
T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)；
tan αtan β＝－1.
例2 已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－，即tan α＝－.
因为tan(π－β)＝－tan β，故tan β＝－.
所以tan(α－β)＝
＝＝－.
延伸探究 若本例条件不变，求tan(α＋β)的值．
解 因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－，
tan α＝－，又tan β＝－，
所以tan(α＋β)＝
＝＝－2.
反思感悟 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
跟踪训练2 如图，在平面直角坐标系Oxy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan(α＋β)的值；
(2)α＋2β的大小．
解 (1)由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝＝7，
tan β＝＝.
∴tan(α＋β)＝
＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝
＝＝，
∴tan(α＋2β)＝
＝＝－1.
∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
三、两角和与差的正切公式的综合应用
例3 设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 A
解析 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
反思感悟 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围．
跟踪训练3 (多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中正确的是( )
A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
答案 CD
解析 ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，
∴tan(A＋B)＝，∴选项A，B错误；
∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，
∴tan A·tan B＝，①
又tan A＋tan B＝，②
∴联立①②解得tan A＝tan B＝，
∴cos B＝sin A，故选项C，D正确．
1．知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导．
(2)公式的正用、逆用、变形用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：公式中加减符号易记错．
1．已知tan α＝－，则tan等于( )
A．－ B．－7 C. D．7
答案 D
解析 tan＝＝＝7.
2．tan α＝2，tan β＝3，则tan(α＋β)等于( )
A．1 B．5 C．－1 D．－5
答案 C
解析 tan(α＋β)＝＝＝－1.
3．已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 tan(α＋β)＝＝＝1，由α，β都是锐角可知α＋β＝.
4．计算：＝________.
答案 1
解析 原式＝＝tan 45°＝1.
1．与相等的是( )
A．tan 66° B．tan 24°
C．tan 42° D．tan 21°
答案 B
解析 原式＝＝tan(45°－21°)
＝tan 24°.
2．已知α∈，sin α＝－，则tan等于( )
A．－7 B．－
C. D．7
答案 B
解析 ∵α∈，sin α＝－，
∴cos α＝，∴tan α＝－.
∴tan＝＝＝－.
3．若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于( )
A. B．2
C．1＋ D．不确定
答案 B
解析 ∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝＝－1，
∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，
∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β
＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝2.
4．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A.m B.(1－m)
C.(m－1) D.(m＋1)
答案 B
解析 ∵28°＋32°＝60°，
∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝(1－m)．
5．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为sin α＝，且α为锐角，
所以cos α＝，tan α＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈，故α＋β＝.
6．(多选)已知cos α＝－，则tan等于( )
A．－ B．－7 C. D．7
答案 CD
解析 因为cos α＝－，
所以sin α＝±＝±，
所以tan α＝±.
当tan α＝时，tan＝＝；
当tan α＝－时，tan＝＝7.
7．已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝________.
答案 2
解析 ∵2tan θ－tan＝7，
∴2tan θ－＝7，
即2tan θ－2tan2θ－tan θ－1＝7－7tan θ，
即2tan2θ－8tan θ＋8＝0，
即2(tan θ－2)2＝0，解得tan θ＝2.
8．已知0＜α＜，sin α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________，＝________.
答案 3
解析 因为0＜α＜，sin α＝，
所以cos α＝＝＝，
所以tan α＝＝，又因为tan(α－β)＝－，
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝＝3，
所以＝＝＝＝.
9．已知α，β满足α＋β＝，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．
解 因为α＋β＝
所以tan(α＋β)＝tan ＝1，
又tan(α＋β)＝＝1，
得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
所以(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2.
10．已知tan＝2，tan β＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解 (1)∵tan＝2，
∴＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
(2)∵tan α＝，tan β＝，
∴原式＝
＝＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
11．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)等于( )
A. B. C．1 D.
答案 C
解析 因为tan β＝＝＝tan，
又α，β均为锐角，所以－<－α<，0<β<，可得β＝－α，
即α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan ＝1.
12．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝.
13．角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
答案 A
解析 ∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形．
14．已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝________.
答案
解析 ∵tan(α＋β)＝
＝＝，
tan(α＋β＋γ)＝
＝＝1，
∵α，β，γ∈，
∴α＋β∈(0，π)，
又tan(α＋β)＝>0，
∴α＋β∈，
∴α＋β＋γ∈(0，π)，
∴α＋β＋γ＝.
15．已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、三象限角，则tan 的值是________．
答案 －
解析 因为sin＝，且α－为第二象限角，
所以cos＝－＝－.
又cos＝－，且－β为第三象限角，
所以sin＝－＝－.
所以tan＝－，tan＝，
所以tan ＝tan
＝＝＝－.
16．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解 ∵tan β＝－，tan(α－β)＝，
∴tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝＝＝1.
∵tan α＝>0，tan β＝－<0，
∴α∈，β∈，∴α－β∈(－π，0)．
又∵tan(α－β)＝>0，
∴α－β∈，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
又tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－.