第2课时 简单的三角恒等变换(二)
学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题．
导语
同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sin x＋cos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响，今天，我们就和李善兰先生，一起来探究辅助角公式的意义吧．
一、三角恒等变换与三角函数
问题1 请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±cos x，sin x±
cos x，cos x±sin x.
提示 sin x±cos x＝sin，sin x±cos x＝2sin，cos x±sin x＝2sin.
问题2 一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？
提示 第一步：提常数，提出，
得到；
第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ＝，sin φ＝，
得到(cos φsin x＋sin φcos x)；
第三步：化简、逆用公式得asin x＋bcos x
＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
知识梳理
辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).
注意点：
(1)该函数的最大值为，最小值为－.
(2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－φ)．
例1 已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
解 (1)f(x)＝
＝cos2x－sin2x
＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值，
此时x的取值集合为.
反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝sin(x＋φ)或y＝cos(x－φ)的形式，以便研究函数的性质．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，得f(x)＝－
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且f ＝－，f ＝－，f ＝，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
二、三角恒等变换在几何中的应用
例2 (教材227页例10改编)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．
解 如图，连接OC，
设∠COB＝θ，
则0°<θ<45°，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ
＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ
＝(sin 2θ＋cos 2θ)－＝cos(2θ－45°)－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S(矩形ABCD)max＝(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
反思感悟 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想．
跟踪训练2 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？
解 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，
则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α
＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin＋R.
因为0<α<，所以<α＋<，
所以当α＋＝，即α＝时，l的最大值为R＋R＝(＋1)R，故当α＝时，△OAB的周长最长．
三、三角恒等变换在实际问题中的应用
例3 如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ)．求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域．
解 连接OM(图略)，在Rt△OPN中，OP＝2，∠POA＝θ，故NP＝2tan θ.
根据平面几何知识可知，MB＝MP，
∠BOM＝∠BOP＝＝－.
在Rt△BOM中，OB＝2，∠BOM＝－，
故BM＝2tan.
所以f(θ)＝NP＋2BM＝2tan θ＋4tan.
显然θ∈，
所以函数f(θ)的定义域为.
反思感悟 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．
跟踪训练3 在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝ ________.
答案
解析 由题意得5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，
所以cos θ－sin θ＝，
又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，
所以cos θ＋sin θ＝，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.
1．知识清单：
(1)辅助角公式．
(2)三角恒等变换的综合问题．
(3)三角函数在实际问题中的应用．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：易忽视实际问题中的定义域．
1．已知sin x＋cos x＝，则cos等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵sin x＋cos x＝2sin＝，
∴sin＝，
则cos＝sin＝.
2．若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)的最大值为2
C．函数f(x)的一个对称中心为
D．函数f(x)在上单调递增
答案 D
解析 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值为，故A，B错误；由f ＝sin＝≠0，故C错误；由π
3．当x∈时，关于x的方程sin x－cos x－m＝0有解，则实数m的取值范围为( )
A．(－2，) B．[－2，]
C．(－，) D．[－，]
答案 B
解析 由题意知，关于x的方程sin x－cos x－m＝0，即sin x－cos x＝m在x∈上有解，则函数y＝sin x－cos x＝2sin的图象与
直线y＝m在上有交点，如图，
由图象易得，－2≤m≤.
4．函数f(x)＝3sin x＋5sin的最大值是____．
答案 7
解析 f(x)＝3sin x＋5＝sin x＋cos x＝sin(x＋φ)＝7sin(x＋φ)，所以f(x)max＝7.
1.cos 15°－4sin215°cos 15°等于( )
A. B. C．1 D.
答案 D
解析 cos 15°－4sin215°cos 15°
＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°
＝cos 15°－sin 15°
＝－2
＝－2sin(－45°)＝.
2.等于( )
A. B．1 C. D.
答案 A
解析 ＝＝＝＝.
3．若sin α－cos α＝，则cos等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 ∵sin α－cos α＝2
＝－2cos＝，∴cos＝－.
4．函数f(x)＝sin x＋cos x的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为f(x)＝sin x＋cos x＝sin，根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x＝－时，f ＝0，即函数f(x)的一个对称中心为.
5．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是( )
A．[2,6] B．[－6,6]
C．(2,6) D．[2,4]
答案 A
解析 ∵sin x＋cos x＝4－m，
∴sin x＋cos x＝，
∴sin sin x＋cos cos x＝，
∴cos＝.
∵－1≤cos≤1，∴－1≤≤1，
∴2≤m≤6.
6．(多选)已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最大值为2
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)关于直线x＝－对称
D．f(x)在上单调递增
答案 BCD
解析 ∵f(x)＝sin 2x＋
＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋，
∴f(x)max＝＋＝，最小正周期T＝＝π.
当x＝－时，sin＝－1，
∴直线x＝－为对称轴．
当x∈时，2x－∈，
∴f(x)在上单调递增，
综上有B，C，D正确，A不正确．
7．已知函数f(x)＝2sin x＋3cos x，x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)的最大值是________．
答案 2
解析 因为f(x)＝2sin x＋3cos x＝sin(x＋φ)，
所以f(x)max＝，f(x)min＝－，
因为x1，x2∈R，
所以f(x1)－f(x2)的最大值为f(x1)max－f(x2)min＝－(－)＝2.
8.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为 上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围为 ________.
答案
解析 设∠POQ＝θ，则PQ＝sin θ，OQ
＝cos θ，∴S△POQ＝sin θcos θ＝sin 2θ，由sin 2θ>，得sin 2θ>.又2θ∈(0，π)，∴<2θ<，则<θ<，∴∠POQ的取值范围为.
9．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x.
(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值，以及此时x的取值．
解 f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.
(1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为＝.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为3；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值为0.
10．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈，求函数的值域．
解 (1)因为f(x)＝(sin x＋cos x)2－2sin2x
＝sin2x＋2sin xcos x＋cos2x－2sin2x
＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，2x∈[0，π]，
所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以函数f(x)的值域是.
11．函数f(x)＝sin－sin 的值域为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 f(x)＝sin－sin
＝sin－cos＝sin，
又0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴≤sin≤1，
∴≤sin≤，
∴函数f(x)＝sin的值域为.
12．若不等式4sin2x＋4sin xcos x＋5≤m在上有解，则实数m的最小值为( )
A．11 B．5 C．－5 D．－11
答案 B
解析 设y＝4sin2x＋4sin xcos x＋5＝2(1－cos 2x)＋2sin 2x＋5＝4sin＋7.
因为x∈，所以2x－∈，
所以y＝4sin＋7∈[5,11]，
又y≤m有解，故实数m的最小值为5.
13．若函数f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|的最大值是8，则m等于( )
A．3 B．13 C．3或－3 D．－3或13
答案 C
解析 ∵f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|，
∴f(x)＝|5sin(x＋φ)＋m|，
∵－5≤5sin(x＋φ)≤5，
∴当m>0时，f(x)max＝|5＋m|＝8，
解得m＝3；
当m<0时，f(x)max＝|－5＋m|＝8，
解得m＝－3.
14．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，由x∈[0，π]，
又ω>0，
则可令t＝ωx＋∈，
又函数y＝2sin t在t∈上有两个零点，如图，
则2π≤ωπ＋<3π，解得ω∈.
15.如图，已知OPQ是半径为5，圆心角为θ(tan θ＝2)的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．当矩形ABCD的周长最大时，BC边的长为______．
答案
解析 由得
设∠COP＝α，则AD＝BC＝OCsin α＝5sin α，
OB＝OCcos α＝5cos α，
在Rt△OAD中，∠AOD＝θ，
∴OA＝＝sin α，
∴CD＝AB＝OB－OA＝5cos α－sin α，
∴矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝
2×＝5
＝5sin，
当α＋θ＝时，矩形ABCD的周长取最大值5，
此时BC＝5sin α＝5sin＝5cos θ＝.
16.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m.
(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
解 (1)连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，所以2θ∈(0，π)，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
(2)由(1)知AB＝20sin θ，
AD＝40cos θ，
所以AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ
＝40sin，
又θ∈，
所以θ＋∈，
当θ＋＝，即θ＝时，(AB＋BC＋CD)max＝40 m，
此时AO＝DO＝10 m，
即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远．5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换(一)
学习目标 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明．
导语
同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切，它们都属于三角变换．对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换．
一、半角公式
问题1 余弦的二倍角展开有几种形式？请写出．
提示 三种形式：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
知识梳理
半角公式
sin ＝±，
cos ＝±，
tan ＝±.
注意点：
半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求的所在范围，然后根据所在的范围选用符号．
例1 已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值．
解 ∵π<α<，sin α＝－，
∴cos α＝－，且<<，
∴sin ＝＝，
cos ＝－＝－，
tan ＝＝－2.
反思感悟 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
跟踪训练1 已知sin α＝－，则tan ＝______.
答案 －或－2
解析 因为sin α＝－，所以cos α＝±.
若cos α＝，则tan ＝＝＝－；
若cos α＝－，则tan ＝＝＝－2.
二、和差化积、积化和差
问题2 请写出两角和、差的正弦、余弦公式．
提示 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
知识梳理
1．积化和差
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]；
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
2．和差化积
sin θ＋sin φ＝2sin cos ；
sin θ－sin φ＝2cos sin ；
cos θ＋cos φ＝2cos cos ；
cos θ－cos φ＝－2sin sin .
例2 求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值．
解 方法一 sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°
＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋[sin 70°＋sin(－30°)]
＝＋(cos 100°－cos 40°＋sin 70°)
＝＋(－2sin 70°sin 30°＋sin 70°)
＝＋(－sin 70°＋sin 70°)
＝.
方法二 sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°
＝(1－cos 40°)＋cos 50°(cos 50°＋sin 20°)
＝(1－cos 40°)＋cos 50°(sin 40°＋sin 20°)
＝(1－cos 40°)＋cos 50°·2sin 30°cos 10°
＝(1－cos 40°)＋cos 50°cos 10°
＝(1－cos 40°)＋(cos 60°＋cos 40°)
＝.
方法三 令A＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°，
B＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°.
则A＋B＝2＋sin 70°，
A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°)
＝－sin 70°－，
两式相加得2A＝，即A＝，
故sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝.
反思感悟 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式．或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想．
跟踪训练2 求下列各式的值：
(1)cos 29°cos 31°－cos 2°；
(2)cos ＋cos －2sin cos .
解 (1)cos 29°cos 31°－cos 2°
＝[cos(29°＋31°)＋cos(29°－31°)]－cos 2°
＝cos 60°＋cos(－2°)－cos 2°
＝.
(2)cos ＋cos －2sin cos
＝2cos ·cos －cos
＝2cos cos －cos
＝cos －cos
＝0.
三、三角函数式的化简、证明
例3 求证：＝sin 2α.
证明 因为左边＝
＝＝
＝＝cos αsin cos
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，
所以原式成立．
反思感悟 三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
跟踪训练3 化简：2＋.
解 原式
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|.
由于π<4<，
∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0，
∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
1．知识清单：
(1)半角公式．
(2)积化和差、和差化积．
(3)三角函数式的化简、证明．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：半角公式符号的判断．
1．已知cos α＝－，<α<π，则sin 等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 由<α<π可知<<，故sin ＝＝＝.
2．已知cos θ＝－，－180°<θ<－90°，则cos 等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 B
解析 由－180°<θ<－90°可知－90°<<－45°，故cos ＝＝.
3．化简的结果是( )
A．－cos 1 B．cos 1
C.cos 1 D．－cos 1
答案 C
解析 原式＝＝，因为0<1<，故原式＝cos 1.
4．化简：＝________.
答案 tan
解析 原式＝＝＝＝tan .
1．下列各式与tan α相等的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ＝＝＝tan α.
2．已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于( )
A．2－ B．2＋
C.－2 D．±(－2)
答案 C
解析 方法一 因为sin α＝，cos α＝，
所以tan ＝＝－2.
方法二 因为sin α＝>0，cos α＝>0，
所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，
所以tan >0，
故tan ＝＝＝－2.
3．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A．cC．a答案 C
解析 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，∵y＝sin x在0°≤x≤90°时上单调递增，∴a4．设－3π<α<－，化简的结果是( )
A．sin ＋cos B．－cos －sin
C．cos －sin D．sin －cos
答案 D
解析 ∵－3π<α<－，∴－<<－.
∴sin >0，cos <0，＝＝＝
＝sin －cos .
5．设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是( )
A. B．(0,1)
C. D.
答案 A
解析 直角三角形中两锐角为A和B，则A＋B＝C＝，则cos Acos B＝[cos(A－B)＋
cos(A＋B)]＝cos(A－B)，再结合A－B∈，可得cos(A－B)∈(0,1]，
∴cos(A－B)∈.
6．(多选)已知2sin α＝1＋cos α，则tan 的可能取值为( )
A. B．1 C．2 D．不存在
答案 AD
解析 由题意知4sin cos ＝1＋2cos2－1，故有2sin cos －cos2＝0，若2sin －cos ＝0，则tan ＝；若cos ＝0，则tan 不存在．
7．tan 20°＋4sin 20°＝________.
答案
解析 原式＝＋4sin 20°
＝＝
＝
＝＝.
8．sincos化为和差的结果是______．
答案 [cos(A＋B)＋sin(A－B)]
解析 sincos
＝
＝[cos(A＋B)＋sin(A－B)]．
9．已知<α<3π，试化简：＋cos .
解 因为<α<3π，所以<<，
所以cos α<0，sin <0.
故原式＝＋cos
＝＋cos＝＋cos
＝－sin ＋cos .
10．求证：＝.
证明 左边＝
＝
＝＝＝右边，
所以原等式成立．
11．sin 20°·cos 70°＋sin 10°·sin 50°的值为( )
A．－ B.
C. D．－
答案 B
解析 sin 20°·cos 70°＋sin 10°·sin 50°
＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)
＝－sin 50°＋cos 40°
＝－sin 50°＋sin 50°＝.
12．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 ∵cos α＋cos β＝，
∴2cos cos ＝.
∵α－β＝，∴＝，
∴cos ＝.
∴cos ＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
13．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 因为sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，所以2sin ·cos ＝×(－2)sin sin ，所以tan ＝.又α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以0<<，所以＝，即α－β＝.
14．化简：··＝_____________________________________.
答案 tan
解析 原式＝··
＝·
＝·
＝＝tan .
15.＋32cos212°的值为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 C
解析 原式＝＋16·(2cos212°－1)＋16
＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16＝16.
16．已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝.
证明 由已知，得sin A＋sin B＝－sin C，①
cos A＋cos B＝－cos C．②
所以2sin cos ＝－sin C，③
2cos cos ＝－cos C．④
因为当cos ＝0时，sin C＝cos C＝0不成立，
所以cos ≠0.
③÷④，得tan ＝tan C.
所以cos(A＋B)＝＝＝cos 2C.
①2＋②2，得2＋2cos(A－B)＝1，即cos(A－B)＝－，
所以cos2A＋cos2B＋cos2C
＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B＋1＋cos 2C)
＝＋[2cos(A＋B)cos(A－B)＋cos 2C]
＝＋＝.