第4课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(二)
学习目标 1.结合三角恒等变换中的有关公式，研究三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合性问题.2.构建三角函数模型，解决实际问题．
导语
同学们，大家有没有看过武侠玄幻之类的电影，大家是不是经常被里面武功盖世的男女主人公所吸引，显然，练就一身好武功，需要对每一个动作追求完美，在这个过程中需要付出常人所不能及的泪水与汗水，同学们，到目前为止，我们已经把三角函数中的每一个“动作”都已训练完毕，现在，我们要把这些“动作”组合在一起，去发挥它更大的作用．
一、函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题
问题1 如何利用辅助角公式对函数y＝asin x＋bcos x进行合并？
提示 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)．
例1 已知函数f(x)＝sin－4sin2ωx＋2(ω>0)，其图象与x轴的两个相邻交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移m个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调区间．
解 (1)f(x)＝sin－4sin2ωx＋2
＝sin 2ωx－cos 2ωx－4×＋2
＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝sin，
∵＝，∴T＝π，∴T＝＝π，解得ω＝1，
∴f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到g(x)的图象，
∴g(x)＝sin，
∵函数g(x)的图象经过点，
∴sin＝0，
即sin＝0，
∴2m－＝kπ，k∈Z，
∴m＝π＋，k∈Z，
∵m>0，∴当k＝0时，m取得最小值，
此时，g(x)＝sin.
令－≤x≤，则≤2x＋≤，
当≤2x＋≤或≤2x＋≤，
即当－≤x≤－或≤x≤时，函数g(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即－≤x≤时，函数g(x)单调递减，
∴g(x)在上的单调递增区间为，；单调递减区间为.
反思感悟 对于综合性问题，需要准备之前所学知识，熟悉诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二倍角公式等，熟悉三角函数的性质，函数图象的特点．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为.
(1)求ω的值；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)－k在区间上存在零点，求实数k的取值范围．
解 (1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－
＝sin 2ωx＋－
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为.
所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝π，
所以T＝＝＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，
得到y＝sin＝cos 2x的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x的图象，故g(x)＝cos x，
因为x∈，
当x＝时，函数g(x)取得最小值，g＝－；
当x＝0时，函数g(x)取得最大值，g(0)＝1，
故g(x)∈.
因为函数y＝g(x)－k在区间上存在零点，
所以k＝g(x)有解，
所以实数k的取值范围为.
二、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)解决实际问题
问题2 结合三角函数周期性的变换规律，你认为生活中哪些现象可以构造三角函数模型？
提示 转动的摩天轮、潮起潮落、每天的气温变化等．
例2 建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调．如图是该市夏季一天的气温(单位：℃)随时间(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，该曲线近似地满足函数关系y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)．
(1)求函数y＝f(t)的解析式；
(2)请根据(1)的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
解 (1)由题图知，T＝2(14－2)＝24，
所以T＝＝24，解得ω＝.
由图知，b＝＝24，A＝＝8，
所以f(t)＝8sin＋24.
将点(2,16)代入函数解析式得，
24＋8sin＝16，
得＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
即φ＝2kπ－(k∈Z)，
又因为|φ|<π，得φ＝－.
所以f(t)＝24＋8sin.
(2)依题意，令24＋8sin>28，
可得sin>，
所以2kπ＋
解得24k＋10令k＝0，得10故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭．
反思感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行
(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论．
(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化．
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解．
(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解．
(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案．
跟踪训练2 潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是海水受日月的引力．潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象．一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐．某观测站通过长时间的观测，其发现潮汐的涨落规律和函数图象f(x)＝Asin(ωx＋φ)基本一致且周期为4π，其中x为时间，f(x)为水深．当x＝时，海水上涨至最高5米．
(1)求函数的解析式，并作出函数f(x)在[0,4π]内的简图；
(2)求海水水深持续加大的时间区间．
解 (1)由T＝＝4π，得ω＝，又A＝5，
当x＝时，sin＝1，
解得φ＝，
故函数f(x)＝5sin，
应用五点作图法分别取x＝0，，，，，4π，
求出对应的函数值，并描点和绘制函数图象，如图所示．
(2)求海水水深持续加大的时间区间，
即求f(x)的单调递增区间．
令z＝x＋，
函数y＝5sin z的单调递增区间为，k∈Z，
即－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z －＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)．
故海水水深持续加大的时间区间为
(k∈Z)．
1．知识清单：
(1)三角函数的综合应用．
(2)构造三角函数模型解决实际问题．
2．方法归纳：辅助角公式、待定系数法．
3．常见误区：易忽视实际问题中自变量的取值范围．
1．函数y＝3sin的图象的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.
C. D．(3,0)
答案 C
解析 由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，令k＝0，则x＝－，故是函数y＝3sin的图象的一个对称中心．
2．已知奇函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<2π)满足f ＝f ，则ω的取值可能是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
3．若将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 A
解析 将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，
可得y＝sin 2＝sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数的单调递增区间是(k∈Z)．
4．将函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R，a≠0)的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则＝________.
答案
解析 因为将函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R，a≠0)的图象向左平移个单位长度，得到偶函数图象，所以函数f(x)＝asin x＋bcos x的对称轴为直线x＝，所以f ＝asin ＋bcos ＝f(0)＝b，因为a≠0，所以＝.
1．若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是( )
A. B. C. D．－
答案 A
解析 令x＝0得f(0)＝2sin＝±2，
∴sin＝±1，把φ＝代入，符合上式．
2．将函数f(x)＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
答案 B
解析 由题意得g(x)＝cos
＝cos，
∴T＝＝π.
3．若将函数y＝sin的图象向左平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 将函数y＝sin的图象向左平移φ个单位长度，可得到y＝sin的图象．
由所得图象关于y轴对称，可知2φ－＝＋kπ(k∈Z)，
解得φ＝＋(k∈Z)，
故φ的最小正值是.
4．关于函数f(x)＝sin(x＋φ)(x∈R)，下列命题正确的是( )
A．存在φ，使f(x)是偶函数
B．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
C．存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数
D．对任意的φ，f(x)都不是奇函数
答案 A
解析 对于A，当φ＝＋kπ，k∈Z时，函数f(x)
＝sin(x＋φ)是偶函数，所以A正确；
对于B，当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数，所以B错误；
对于C，由选项A, B的分析，不存在φ∈R，使函数f(x)＝sin(x＋φ)既是奇函数，又是偶函数，所以C错误；
对于D，当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数，所以D错误．
5.函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示，已知g(0)＝g＝，函数y＝f(x)的图象可由y＝g(x)的图象向右平移个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin 2x B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝－2sin 2x D．f(x)＝2sin
答案 A
解析 由图象可知g(x)的最小正周期T＝4×＝π，∴ω＝＝2.
又∵g(x)在x＝时取最小值，
∴2×＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)．
又∵0<φ<2π，∴φ＝，∴g(x)＝Asin.
又∵图象过点(0，)，∴Asin ＝，∴A＝2.
∴g(x)＝2sin，
把g(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象，
∴f(x)＝2sin＝2sin 2x.
6．(多选)已知函数f(x)＝sin，下列说法正确的是( )
A．f(x)关于点对称
B．f(x)关于直线x＝－对称
C．f(x)的图象向左平移个单位长度后可得到f(x)＝sin 2x的图象
D．f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后可得到f(x)的图象
答案 ABD
解析 对于A，∵f ＝sin＝0，
∴f(x)关于点对称，故A正确；
对于B，∵f ＝sin＝－1，
∴f(x)关于直线x＝－对称，故B正确；
对于C，f(x)的图象向左平移个单位长度后得
y＝sin＝sin，故C错误；
对于D，f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得y＝sin 2＝sin，故D正确．
7．f(x)＝sin x＋acos x关于点对称，则a的值为________．
答案 －
解析 ∵为f(x)的对称中心，
∴f ＝0，即sin ＋acos ＝0，
即＋a＝0，∴a＝－.
8．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
答案
解析 依题意知f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，
∴f(x)的图象关于直线x＝对称，
即关于直线x＝对称，
∴ω＋＝＋2kπ，k∈Z，又－即0<ω<12，∴ω＝.
9．已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若将函数f(x)图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域．
解 (1)因为f(x)＝cos＋2sin·sin＝cos＋sin＝
cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin，所以最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)可知f(x)＝sin，
依题意变换之后g(x)＝sin，
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以g(x)在区间上的值域为.
10．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解 (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.
又当t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；
当t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝，
∴函数解析式为y＝cos t＋1(0≤t≤24)．
(2)∵当y>1时，才对冲浪爱好者开放，
∴y＝cos t＋1>1，即cos t>0，
则2kπ－解得12k－3又0≤t≤24，∴0≤t<3或9∴在规定时间内冲浪爱好者只有6个小时可以进行活动，即911．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
答案 A
解析 由图表可得函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的最大值为15，最小值为9，故k＝＝12，A＝15－12＝3，由于当函数取得最大值时，相邻的两个t值分别为t＝3和t＝15，
故函数的周期等于15－3＝12＝，解得ω＝，
故函数的解析式为y＝12＋3sin，
又当t＝0时，函数值等于12，
∴12＋3sin φ＝12，∴sin φ＝0，
∴φ＝kπ，k∈Z，
又当t＝3时，函数值约等于15，
即12＋3sin＝15，
∴k＝0，∴φ＝0.
故函数的解析式为y＝12＋3sin t，t∈[0,24]．
12．设f(x)＝sin 3x－cos 3x，把y＝f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，恰好得到函数g(x)＝－sin 3x＋cos 3x的图象，则φ的值可以为( )
A. B. C. D．π
答案 D
解析 由题意，可知f(x)＝sin，
g(x)＝
＝sin，
则3φ－＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，
当k＝1时，φ＝π.
13．将函数f(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝f(x)＋g(x)，x∈的最小值为________．
答案
解析 由题意得g(x)＝sin，
∴y＝f(x)＋g(x)＝sin x＋sin＝sin x＋sin xcos －cos xsin ＝sin x－cos x
＝sin.
∵x∈，∴x－∈，
∴当x－＝，即x＝π时，ymin＝.
14．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上单调递增”的一个函数是________．
答案 y＝sin(答案不唯一)
解析 设y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
由①知T＝π＝，ω＝2，
由②③知当x＝时，f(x)取最大值，
故y＝Asin＝A，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，φ可取－，此时y＝Asin.
故函数可为y＝sin.
15．若函数f(x)＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在上有零点，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵函数f(x)＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在上有零点，
∴方程a－1＝sin x＋cos x－2sin xcos x在上有解，
设t＝sin x＋cos x＝sin，
∵x∈，∴x＋∈，
∴t∈，∵t2＝1＋2sin xcos x，
∴y＝sin x＋cos x－2sin xcos x＝t－t2＋1
＝－2＋，t∈[－，0]，
当t＝0时，y取得最大值1；当t＝－时，y取得最小值－－1，
故可得－－1≤a－1≤1，∴－≤a≤2.
16.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，O是坐标原点，OP落在x轴非负半轴上，点Q在第一象限，C是扇形弧上的一点，四边形ABCD是扇形的内接矩形．
(1)当C是扇形弧上的四等分点(靠近Q)时，求点C的纵坐标；
(2)当C在扇形弧上运动时，求矩形ABCD面积的最大值．
解 (1)根据题意，得当C是扇形弧上的四等分点(靠近Q)时，∠POC＝，
所以点C的纵坐标y＝sin ＝.
(2)设∠COP＝θ，矩形的面积为S，
则S＝AB·BC＝(OB－OA)·BC
＝sin θ＝sin θcos θ－sin2θ
＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，
所以当θ＝时，Smax＝－＝.第3课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(一)
学习目标 1.会通过函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式.2.结合正弦函数的性质，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质．
导语
同学们，大家有没有听说过一个成语“可见一斑”，大家知道这是什么意思吗？对，它比喻见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？大家知道，三角函数是周期函数，故如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不是可以“可见一斑”了？
一、已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
问题1 确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，就要确定三角函数的哪些参数？
提示 A，ω，φ的值．其中A影响的是函数的最大、最小值，ω影响的是函数的周期．
问题2 观察下图，你能说说这个图象有什么特点吗？
提示 这是一个周期上的函数图象，周期为π，最大值是3，最小值是－3.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质．由此，我们可以推出整个函数的性质．
例1 已知问题2中函数的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
解 方法一 (逐一定参法)
由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，
∴φ＝，
∴y＝3sin.
方法二 (待定系数法)
由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
方法三 (图象变换法)
由A＝3，T＝π，点在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
∴y＝3sin 2，即y＝3sin.
反思感悟 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．
解 由最低点M，得A＝2.
在x轴上两相邻交点之间的距离为，
故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.
由点M在图象上得
2sin＝－2，即sin＝－1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
又φ∈，∴φ＝，
故f(x)＝2sin.
二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质
问题3 你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质吗？
提示 可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可．
知识梳理
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质
名称 性质
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称性 对称中心
对称轴 x＝＋
奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
例2 已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
解 (1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；
令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z)．
(3)当sin＝－1，
即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为，
此时x的取值集合是.
反思感悟 (1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数．
(2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧
①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上具有单调性，求φ和ω的值．
解 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，
即sin φ＝1或－1.
∵0≤φ<π，∴φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，
即ω＋＝kπ，k∈Z，
解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上具有单调性，∴T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω>0，∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
1．知识清单：
(1)由图象求三角函数的解析式．
(2)三角函数的性质的综合问题．
(3)三角函数的实际应用．
2．方法归纳：特殊点法、数形结合法．
3．常见误区：求φ值时递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别．
1．函数y＝sin的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
答案 B
2．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f ＝f ，则f 等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
答案 D
解析 由f ＝f 得，直线x＝是函数图象的对称轴，解得f ＝±3.
3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 B
解析 由图象可知A＝1，＝－，故T＝π，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，由图象可知当x＝时，sin＝1，所以φ＝.
4．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.
答案 2
解析 由题意得＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，解得ω＝2.
1．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的最值点，则ω等于( )
A．2 B. C．1 D.
答案 A
解析 由题意知＝x2－x1＝－＝，所以T＝π，ω＝2.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
答案 A
解析 由题图可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2.由函数图象经过点可得2sin＝2，
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.
3．已知函数f(x)＝cos－cos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 C
解析 由题意可得，函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，设平移量为θ，得到函数g(x)＝2sin，又g(x)为奇函数，所以2θ－＝kπ，k∈Z，即θ＝＋，k∈Z，当k＝0时，θ＝.
4．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 B
解析 ∵由题中图象可知x0＋－x0＝，∴T＝，∴＝.∴ω＝4.
5．若将函数y＝3sin的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 将函数y＝3sin的图象向左平移个单位长度得y＝3sin
＝3sin，
令2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)，
当k＝1时，x＝－＋＝，
所以平移后图象的一个对称中心为.
6．(多选)设函数f(x)＝cos 2x－sin 2x，则下列选项正确的是( )
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)在[a，b]上单调递减，那么b－a的最大值是
C．f(x)满足f ＝f
D．y＝f(x)的图象可以由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
答案 ABD
解析 ∵f(x)＝cos 2x－sin 2x
＝2＝2cos，
对于A，T＝＝π，故A正确；
对于B，当2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)时，y＝f(x)单调递减，故单调递减区间为，k∈Z，b－a的最大值是－＝，故B正确；
对于C, f ＝2cos
＝2cos＝－2sin 2x，
f ＝2cos＝2cos＝2sin 2x，即x＝不是y＝f(x)的对称轴，故C错误；
对于D，y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2cos 2＝2cos＝2cos，故D正确．
7．若f(x)＝cos是奇函数，则φ＝________.
答案
解析 由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|<，故当k＝0时，得φ＝.
8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.
答案
解析 由图象可得A＝，周期为4×＝π，所以ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f(0)＝sin φ＝sin ＝.
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示．
(1)求出函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求出函数y＝g(x)的单调递增区间及对称中心．
解 (1)由图象得解得
又＝2π，∴T＝4π，∴ω＝＝，
由f ＝6，得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，又|φ|<，
∴φ＝，
综上，f(x)＝4sin＋2.
(2)根据题意可得g(x)＝4sin＋2，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
∴对称中心为，k∈Z.
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为.
(1)求函数的解析式；
(2)若将此函数的图象向左平移个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
解 (1)因为一个最低点的坐标为，所以A＝2，
又因为＝T，所以最小正周期T＝π，
所以ω＝＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)，
因为点在函数图象上，
所以2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝－，
所以函数的解析式为y＝2sin.
(2)将y＝2sin向左平移个单位长度后得到函数y＝2sin＝2sin，
再向上平移2个单位长度得到g(x)＝2sin＋2，
因为x∈，
所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以g(x)∈[1,4]，
故函数g(x)在上的值域为[1,4]．
11．将函数y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则sin 2φ等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 由题意得变换平移后得到函数y＝sin，
由条件可知y＝sin为奇函数，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，
所以sin 2φ＝sin＝sin＝－.
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)等于( )
A. B．2＋2
C.＋2 D.－2
答案 A
解析 由f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的图象可知，A＝2，T＝8，故ω＝＝，
又f(0)＝0且|φ|<，则可得出φ＝0，
故f(x)＝2sin x.
又根据函数的对称性可知f(1)＝f(3)＝－f(5)＝
－f(7)＝，f(2)＝－f(6)＝2，f(4)＝f(8)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0,
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)
＝252×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)]＋f(2 017)＋f(2 018)＋…＋f(2 022)
＝f(2 017)＋f(2 018)＋…＋f(2022)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝＋2＋＋0－－2＝.
13．将函数f(x)＝sin＋1的图象向右平移________个单位长度后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象．( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设图象对应的函数为y＝Asin(ωx＋φ)＋b，
根据函数的图象可得A＝1.5－1＝0.5，＝T＝4－0，
则ω＝，b＝＝1，
即y＝sin＋1，
将(0,1)代入可得sin φ＋1＝1，解得φ＝0，
故所给的图为y＝sin x＋1的图象，
故将函数f(x)＝sin＋1的图象向右平移个单位长度后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象．
14．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________________．
答案 y＝2sin
解析 由题意可知(0,1)，(2,1)关于对称轴对称，且对称轴x＝1，可知第二组数据错误，函数在x＝1处取得最大值；由(2,1)，(3，－1)关于对称，可知函数的周期为T＝4×＝6，故ω＝，A＝2，φ＝，所以y＝2sin.
15．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f ＝f ＝－f ，则f(x)的最小正周期为________．
答案 π
解析 由f(x)在区间上具有单调性，
且f ＝－f 知，为函数f(x)的对称中心．
由f ＝f 知，函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝＝.
设函数f(x)的最小正周期为T，
则T≥－，即T≥，
所以－＝，
解得T＝π.
16．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
解 (1)由题中的图象知，A＝2，＝－＝，
所以T＝π，ω＝＝2，
因为图象过点，
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<，
所以φ＝，
故函数解析式为f(x)＝2sin.
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(3)由题意得g(x)＝2sin在上的图象如图所示，
由函数的图象可知，当m∈时，方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，
故实数m的取值范围是[，2)．第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象(二)
学习目标 1.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
一、y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系
问题1 根据上节课所学，你能由函数y＝sin x经过平移变换、伸缩变换变换成函数y＝Asin(ωx＋φ)吗？
提示 可以，一般地，先把函数y＝sin x的图象向左或向右平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)．
问题2 在函数的变换过程中，一定是先平移再伸缩吗？如果能先伸缩，那么平移的单位长度一样吗？
提示 平移变换与伸缩变换没有先后顺序，但是两种变换下的平移的单位长度不一样，先伸缩时的平移的单位长度为.
知识梳理
由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图．
注意点：
(1)两种变换仅影响平移的单位长度，其余参数不受影响．
(2)若相应变换的函数名称不同，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩．
例1 由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．
答案
解析 y＝3sin x
y＝3siny＝3sin.
y＝3sin x
y＝3sin x
y＝3sin ＝3sin.
反思感悟 先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的关键．
跟踪训练1 将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝Asin x的图象，试求ω和φ的值．
解 将函数y＝Asin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝Asin的图象，再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝Asin的图象，即为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，
所以f(x)＝Asin，
所以ω＝，φ＝.
二、“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
问题3 用“五点法”作函数y＝sin x的图象时，找哪五个关键点？
提示 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
例2 (教材237页例1改编)用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的简图．
解 令X＝3x＋，则x＝，列表如下：
X 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
描点连线，画图如下．
延伸探究 本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？
解 因为x∈，所以3x＋∈，
列表如下：
3x＋ π 2π
x 0
y 1 2 0 －2 0 1
描点连线，画图如下．
反思感悟 “五点法”作图的实质
(1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
(2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表．
ωx＋φ 0 π 2π
x － － － － －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
(3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值．
跟踪训练2 已知函数y＝sin，x∈R.
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解 (1)列表：
2x＋ 0 π 2π
x －
y＝sin 0 0 － 0
描点、连线，如图所示．
(2)将函数y＝sin x的图象先向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin的图象．
1．知识清单：
(1)平移变换．
(2)伸缩变换．
(3)图象的画法．
2．方法归纳：五点法、数形结合法．
3．常见误区：忽视先平移和先伸缩作图时平移的量不一样．
1．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos 2x B．y＝1＋cos 2x
C．y＝1＋sin D．y＝cos 2x－1
答案 B
解析 将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 2，即y＝sin＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos 2x.
2．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是( )
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝1，C符合；当0<|a|<1时，T>2π，且最小值为正数，A符合；当|a|>1时，T<2π，且最小值为负数，B符合，排除A，B，C.D项中，图中a>1，∴T<2π，而由图象知T>2π，矛盾，故选D.
3．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，然后把所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A．y＝2sin，x∈R
B．y＝2sin，x∈R
C．y＝2sin，x∈R
D．y＝sin，x∈R
答案 B
解析 将y＝sin x图象上的所有的点向左平移个单位长度得到y＝sin.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin，把所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变)，得到的图象所表示的函数是y＝2sin.
4．将函数f(x)＝cos 2x的图象的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g＝________.
答案 －2
解析 将函数f(x)＝cos 2x的图象的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，
所得图象对应的解析式为y＝2cos 2x，
则g(x)＝2cos 2＝2cos，
故g＝2cos＝－2.
1．将函数f(x)＝sin x的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝sin
B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin
D．g(x)＝sin
答案 D
解析 将f(x)＝sin x图象上各点横坐标变为原来的，得y＝sin 2x，再向左平移个单位长度后得g(x)＝sin 2＝sin.
2．函数y＝sin 2x的图象可由函数y＝cos的图象( )
A．向左平移个单位长度得到
B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到
D．向右平移个单位长度得到
答案 D
解析 函数y＝sin 2x＝cos
＝cos 2的图象，可由函数y＝cos
＝cos 2的图象向右平移＋＝个单位长度得到．
3．为了得到函数y＝sin＋1的图象，可将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
答案 A
解析 为了得到函数y＝sin＋1的图象，可将函数y＝sin 2x的图象先向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，然后再将所得图象向上平移1个单位长度即可．
4．函数y＝sin在区间上的简图是( )
答案 A
解析 当x＝0时，y＝sin＝－<0，故排除B，D；当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，排除C.
5．若函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的值可能为( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
答案 A
解析 因为y＝sin向右平移个单位长度后得到y＝sin，
又y＝sin与y＝cos ωx＝sin的图象重合，
所以－＋＝＋2kπ，k∈Z，
所以ω＝－12k－1，k∈Z，
所以ω可取－1，此时k＝0.
6．(多选)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到曲线C2
B．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到曲线C2
C．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
答案 AD
解析 y＝sin＝sin＝cos，所以将曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得y＝cos，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到曲线y＝cos；
或将曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，
得到y＝cos 2＝cos.
7．已知函数y＝sin 2x的图象上每个点向左平移φ个单位长度得到函数y＝sin的图象，则φ的值为________．
答案
解析 把函数y＝sin 2x的图象上每个点向左平移φ个单位长度，
得到函数y＝sin＝sin(2x＋2φ)的图象，
∴2φ＝，
则φ＝.
8．把函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，则函数y＝f(x)的解析式为________________．
答案 f(x)＝－cos 2x
解析 把y＝2sin x的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin的图象，然后把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得y＝2sin的图象，再将所得图象上各点的纵坐标缩小为原来的，横坐标不变，可得y＝sin＝－cos 2x的图象，所以f(x)的解析式为f(x)＝－cos 2x.
9．已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
解 列表如下：
2x－ － 0 π
x 0 π
f(x) 1 0 －1 0
描点连线，图象如图．
10．已知函数f(x)＝sin.
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样的变换得到？
解 (1)列表如下：
2x－ 0 π 2π
x
f(x) 0 1 0 －1 0
描点连线，图象如图所示．
(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(3)先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，即可得到f(x)的图象．
11．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 令4x－＝，得x＝，
∴该点坐标为.
12．要得到函数y＝2cossin－1的图象，需将y＝sin x＋cos x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 C
解析 y＝2cossin－1
＝2cossin－1
＝2coscos－1
＝cos，
又y＝sin x＋cos x＝
siny＝sin＝
cos，故选C.
13．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，最后向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
答案 A
解析 由题意，y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y＝cos x＋1；再向左平移1个单位长度，所得图象的解析式为y＝cos(x＋1)＋1；最后向下平移1个单位长度，所得图象的解析式为y＝cos(x＋1)，显然点在此函数图象上．
14．下列函数中：①y＝－sin 2x；②y＝cos 2x；③y＝3sin，其图象仅通过向左(或向右)平移就能与函数f(x)＝sin 2x的图象重合的是________．(填上符合要求的函数对应的序号)
答案 ①②
解析 y＝－sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝－sin 2＝sin 2x，故①符合要求；
y＝cos 2x＝sin的图象向右平移个单位长度，可得到y＝sin＝sin 2x，故②符合要求；
对于③，y＝3sin，无论向左还是向右，纵坐标不变，故不符合条件．
15．已知函数f(x)＝sin x，函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)得到．若函数g(x)在上恰有5个零点，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 将函数f(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)，
得到g(x)＝sin的图象．
若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，
则ωx－∈，所以4π<ωπ－≤5π，得<ω≤.
故ω的取值范围是.
16．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a解 (1)因为ω>0，根据题意有
解得0<ω≤.
所以ω的取值范围是.
(2)由f(x)＝2sin 2x可得，
g(x)＝2sin 2＋1＝2sin＋1，
g(x)＝0 sin＝－
x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相邻间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，
则b－a的最小值为14×＋15×＝.第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象(一)
学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响.2.会利用图象的变换解决简单的问题．
导语 如图是观缆车的示意图，设缆车转轮半径长为A，角速度为ω rad/s.点P0表示座椅的初始位置．此时∠xOP0＝φ.当转轮转动t s后，点P0到达点P的位置，于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，由正弦函数的定义，得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y＝Asin(ωt＋φ)．
这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？
一、φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
问题1 你能在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝sin的函数图象吗？
提示 我们分别在这两条曲线上选取纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，在上述移动的过程中，线段AB的长度保持不变．可以发现，y＝sin的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上的点的横坐标加，这说明y＝sin的图象可以看作是把正弦函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
知识梳理
φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
例1 函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
解 函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
延伸探究
1．函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝sin的图象经过怎样的变换而得到的？
解 函数y＝sin x的图象，可以看作是由y＝sin上所有的点向左平移个单位长度而得到的．
2．函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin(－x)的图象经过怎样的变换而得到的？
解 因为y＝sin＝sin，故是由y＝sin(－x)的图象向右平移个单位长度得到的．
3．求函数y＝sin 2x向右平移个单位长度后的函数解析式．
解 函数y＝sin 2x向右平移个单位长度可得y＝sin 2，即y＝sin.
4．由函数y＝sin的图象经过怎么样的变换，可以得到y＝cos x的图象？
解 因为y＝sin＝cos＝cos＝cos，故只需将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x的图象．
反思感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度．
跟踪训练1 (1)要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 C
解析 因为y＝sin＝sin 2，
所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，
就可得到函数y＝sin 2＝sin的图象．
(2)为了得到y＝sin的图象只需将函数y＝cos x的图象________________而得到．
答案 向右平移个单位长度
解析 y＝sin＝cos
＝cos＝cos，
只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即可得到y＝sin的图象．
二、ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
问题2 观察下图，你能发现什么？
提示 由图象我们可以看到，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝sin x的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明y＝sin x的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．
问题3 借助多媒体，在同一坐标系下画出y＝sin和y＝sin的函数图象如图所示，结合问题2，你能得到什么？
提示 可以发现，对于同一个y值，y＝sin的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin的图象上的点的横坐标的，这说明y＝sin的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的．
知识梳理
ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
例2 为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
答案 B
解析 ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．
反思感悟 在研究 ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到y＝sin(ωx＋φ)．
跟踪训练2 函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
答案
解析 函数y＝cos xy＝cos x，所以ω＝.
三、A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
问题4 借助多媒体，在同一坐标系下画出y＝sin和y＝3sin的图象，如图所示，你能发现什么？
提示 可以发现对于同一x值，y＝3sin的图象上的点的纵坐标总是等于y＝sin的图象上对应点纵坐标的3倍．
知识梳理
A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
例3 函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
答案 伸长 3
解析 A＝3>1，故函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
反思感悟 在研究A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(ωx＋φ)纵坐标(横坐标不变)变成原来的A倍即可得到y＝Asin(ωx＋φ)．
跟踪训练3 为了得到函数y＝cos x的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有点的( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
答案 D
解析 将y＝cos x图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到y＝cos x.
1．知识清单：
(1)平移变换．
(2)伸缩变换．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：探究平移变换时，需要保证x的系数为1.
1．函数y＝cos的图象经过怎样的平移可得到函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 D
解析 因为y＝cos＝cos 2，
所以y＝cos的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝cos 2x.
2．为了得到函数y＝4sin，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin，x∈R的图象上所有点的( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
答案 A
3．将函数y＝sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin x D．y＝sin 4x
答案 A
解析 将函数y＝sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y＝sin＝sin.
4．函数y＝sin的图象可由y＝cos的图象________________得到．
答案 向右平移个单位长度
1．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 B
解析 函数y＝sin＝sin 2，所以将y＝sin＝sin 2的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin 2＝sin的图象．
2．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案 D
解析 函数y＝2sin的最小正周期为π，所以将函数y＝2sin的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝2sin＝2sin的图象．
3．将函数y＝sin图象上的横坐标进行怎样的变换，得到y＝sin的图象( )
A．伸长了2倍 B．伸长了倍
C．缩短了倍 D．缩短了2倍
答案 A
4．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案 A
解析 y＝sin 2x
y＝sin＝sin＝－sin(π－2x)
＝－sin 2x.
因为－sin(－2x)＝sin 2x，所以所得图象对应的函数是奇函数．
5．为了得到函数y＝sin的图象，需将函数y＝sin的图象上所有点的( )
A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
C．横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．纵坐标变为原来的，横坐标不变
答案 C
解析 只需将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin的图象．
6．(多选)下列四种变换方式，其中能将y＝sin x的图象变为y＝sin的图象的是( )
A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的
B．横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度
C．横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的
答案 AB
解析 对于A，将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin的图象，再将横坐标缩短为原来的，可得y＝sin的图象，故A正确；
对于B，将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得y＝sin 2x的图象，再向左平移个单位长度，可得y＝sin的图象，故B正确；
对于C，将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得y＝sin 2x的图象，再向左平移个单位长度，可得y＝sin 2＝cos 2x的图象，故C错误；
对于D，将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin的图象，再将横坐标缩短为原来的，可得y＝sin的图象，故D错误．
7．将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为________．
答案
解析 将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，
所得函数解析式为y＝sin 4
＝sin，
所以φ的值为.
8．函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象．
答案 y＝sin
解析 y＝sin的图象y＝sin的图象．
9．已知函数y＝sin，该函数的图象由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到．
解 第一步：把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；
第二步：把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；
第三步：将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短为原来的(横坐标不变)，得到函数y＝sin的图象．
10．把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
解 将y＝2sin的图象的纵坐标伸长为原来的，得到y＝3sin；
再将其横坐标缩短到原来的，
得到y＝3sin；
再将其图象上的各点向左平移个单位长度，
得到y＝3sin＝3cos x，
故f(x)＝3cos x.
11．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B. C．0 D．－
答案 B
解析 得到的偶函数解析式为y＝sin＝sin，显然φ＝.
12．要得到函数y＝2cos的图象，只需将函数y＝sin 2x－cos 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 B
解析 只需将y＝sin 2x－cos 2x＝2sin的图象向左平移个单位长度就可得到y＝2sin＝2sin＝2cos的图象．
13．函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
A. B．2 C．1 D.
答案 C
解析 依题意得，函数f
＝sin ω(ω>0)的图象过点，
则f ＝sin ω＝sin ωπ＝0(ω>0)，
所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*，
因此正数ω的最小值是1.
14．将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为________．
答案 y＝sin x
解析 y＝sin 2x的图象
y＝sin 2＝sin x的图象
y＝sin x的图象，
即所得图象的函数解析式为y＝sin x.
15．已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．若g＝，则f 的值为 ________.
答案
解析 ∵f(x)的最小正周期为π，
∴＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝Asin 2x，
将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x，
∵g＝，
∴g＝Asin＝A＝，
∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x，
∴f ＝2sin ＝2×＝.
16．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象．
(1)写出函数f(x)的解析式；
(2)求实数a和正整数n，使得F(x)＝f(x)－a在上恰有2 022个零点．
解 (1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图象，
再向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝sin 2＝sin的图象，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)因为F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 022个零点，
故函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上有2 022个交点，
当x∈[0，π]时，2x＋∈，
①当a>1或a<－1时，函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上无交点；
②当a＝1或a＝－1时，函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，此时要使得函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上有2 022个交点，则n＝2 022；
③当－1④当a＝时，函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，π]上有3个交点，此时要使得函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上有2 022个交点，则n值不存在，
综上，当a＝1或a＝－1时，n＝2 022；当－1