人教新课标A版 必修一 3.1.2用二分法求方程的近似解
一、单选题
1．关于用二分法求近似解的精确度 的说法，正确的是（ ）
A． 越大，零点的精确度越高 B． 越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是 D．重复计算次数与 无关
【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】由精确度 的定义知， 越大，零点的精确度越低．
故答案为：B.
【分析】二分法中精确度ε 是控制的高低的， ε 越大，零点的精确度越低．
2．（2019高一上·屯溪期中）若函数 的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】解：由函数 为增函数，由参考数据可得 ,且 ,
所以当精确度 时,可以将 作为函数 零点的近似值,也即方程 根的近似值．
故答案为：C．
【分析】先研究函数 ，再利用函数的单调性，结合二分法求函数零点，由参考数据可得 ,且 ,可得解．
3．（2018高一上·湖南月考） 是我们熟悉的无理数，在用二分法求 的近似值的过程中，可以构造函数 ，我们知道 ，所以 ，要使 的近似值满足精确度为0.1，则对区间 至少二等分的次数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】设对区间（1，2）至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为 ，第2次二等分后区间长为 ，第3次二等分后区间长为 ，则第n次二等分后区间长为 ，依题意得 ＜0.1，即2n＞10∴n≥4，即n=4为所求．
故答案为：B．
【分析】利用二分法结合已知条件得出对区间 至少二等分的次数。
4．（2018高一上·珠海期末）某同学用二分法求方程 的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在 之间，他用二分法操作了7次得到了方程 的近似解，那么该近似解的精确度应该为（ ）
A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.0001
【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】令 ，则用计算器作出 的对应值表：
由表格数据知，用二分法操作 次可将 作为得到方程 的近似解， ， 近似解的精确度应该为0.01，故答案为：B.
【分析】根据题意构造函数f(x) 利用计算器对应图表，代入数值求出结果即可。
5．（2018高一上·湘东月考）下列函数图象与 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有D不能满足此条件， 故答案为：D．
【分析】根据题意由图像利用二分法的定义，结合选项的函数图象即可得出结果。
6．（2017高三上·重庆期中）函数f（x）=ex+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ex+x﹣2在区间（0，1）内单调递增，
∵f（0）=1+1﹣3=﹣1＜0，且f（1）=e+1﹣3＞0，∴f（0）f（1）＜0，
∴函数f（x）=ex+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点，
故答案为：B
【分析】利用二分法的定义可得函数f（x）=ex+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点。
7．（2017高一下·惠来期末）方程ex=2﹣x的根位于（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：设f（x）=ex+x﹣2，则f（0）=1﹣2=﹣1＜0，
f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，
所以根据零点存在性定理，在区间（0，1）上函数f（x）存在一个零点，
即程ex=2﹣x的根位于（0，1）．
故选B．
【分析】设函数f（x）=ex+x﹣2，根据根的存在性定理进行判断即可．
8．在利用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中，若f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，则方程的根会出现在下列哪一区间内（ ）
A．（1，1.5） B．（1.5，1.75）
C．（1.75，2） D．不能确定
【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】∵f（1.5） f（1.75）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.5，1.75）．
故选B．
【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，它们异号，依据是零点存在定理即可得出结论．
二、填空题
9．用二分法求方程 在区间 内的近似解，经过 次二分后精确度能达到 .
【答案】7
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】区间 的长度为1，当7次二分后区间长度为 .
故答案为:7.
【分析】二分法求方程的近似解时,每一次将区间减半,从而由精确度得到次数.
10．（2018高一上·荆州月考）用二分法研究函数 的零点时，第一次经计算 ， ，第二次应计算 的值．
【答案】
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】由二分法的解题步骤可得，第一次经计算得 ， ，得到函数 在 上存在零点，第二次应计算区间 的中点值，即需要求 的值．
故答案为： ．
【分析】由已知判断函数 在 上存在零点，再利用二分法，即可求出第二次应计算的值.
11．（2017高一下·南通期中）函数 的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是 ．
【答案】（0，3）
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，
解得：0＜a＜3，
故实数a的取值范围是（0，3），
故答案为：（0，3）
【分析】由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．
12．（2017高一上·石家庄期末）已知函数f（x）=2x+ x﹣5在区间（n，n+1）（n∈N+）内有零点，则n= ．
【答案】2
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：由f（2）=4+ ﹣5=﹣ ＜0，f（3）=8+ ﹣5＞0及零点定理知，
f（x）的零点在区间（2，3）上，两端点为连续整数，
∴零点所在的一个区间（n，n+1）（k∈Z）是（2，3）
∴n=2，
故答案为：2．
【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．
三、解答题
13．已知函数f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1．
（1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）若f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f（x）=0的一个近似解（精确到0.1）．
f（1）=﹣1 f（1.5）=1 f（1.25）=﹣0.40625
f（1.375）=0.18359 f（1.3125）=﹣0.13818 f（1.34375）=0.01581
【答案】解：（1）证明：∵f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1，
∴f（1）=﹣1＜0，f（2）=7＞0，
∴f（1） f（2）=﹣7＜0
且f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1在（1，2）内连续，
所以f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）由（1）知，f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1在（1，2）内存在零点，
由表知，f（1）=﹣1，f（1.5）=1，
∴f（1） f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1，1.5）上，
∵f（1.25）=﹣0.40625，∴f（1.25） f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.5）上，
∵f（1.375）=0.18359，∴f（1.25） f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.375）上，
∵f（1.3125）=﹣0.13818，∴f（1.3125） f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.375）上，
∵f（1.34375）=0.01581，∴f（1.3125） f（1.34375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.34375）上，
由于|1.34375﹣1.3125|=0.03125＜0.1，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3，
所以f（x）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3．
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【分析】（1）根据函数零点存在定理即可判断，
（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确答案．
14．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．请你设计一个方案，能够迅速查出故障所在.
【答案】解：如图所示，
首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m左右，查7次就可以了
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【分析】这是二分法在实际问题中的应用.由精确度得到次数.
15．（2017高一上·上海期中）设正有理数a1是 的一个近似值，令a2=1+ ，求证：
（1） 介于a1与a2之间；
（2）a2比a1更接近于 ．
【答案】（1）证明：a2﹣ =1+ ﹣ = ，
∵若a1＞ ，∴a1﹣ ＞0，而1﹣ ＜0，
∴a2＜
∵若a1＜ ，∴a1﹣ ＜0，而1﹣ ＜0，
∴a2＞ ，
故 介于a1与a2之间；
（2）证明：|a2﹣ |﹣|a1﹣ |= ﹣|a1﹣ |=|a1﹣ |× ，
∵a1＞0， ﹣2＜0，|a1﹣ |＞0，
∴|a2﹣ |﹣|a1﹣ |＜0
∴|a2﹣ |＜|a1﹣ |
∴a2比a1更接近于
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【分析】（1）利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到结论，（2）利用作差法，判断即可得到a2比a1更接近于 .
16．已知函数f（x）=ex+4x﹣3．
（Ⅰ）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的零点，并用二分法求函数f（x）零点的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e0.25≈1.3，e0.375≈1.45）；
（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，试求实数a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ex+4x﹣3，得f′（x）=ex+4＞0，
f（x）在[0，1]上单调递增，
∵f（0）=﹣2，f（1）=e+1＞0，f（0） f（1）＜00，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一零点，
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下
由上表可知区间[0.25，0.5]的长度为0.25，所以该区间的中点x2=0.375，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个零点的近似值．
∴函数f（x）零点的近似值x≈0.375
（Ⅱ）当x≥1时，由f（x）≥ax，即，
令则
∵x≥1，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）min=g（1）=e+1，
∴a的取值范围是a≤e+1．
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【分析】对第（Ⅰ）问要先根据题意判断函数在相应区间上的单调性，再有端点的函数值对比即可获得解的唯一性，然后再根据二分法的步骤逐次进行范围缩小，再结合所给信息即可获得问题的解答；
对第（Ⅱ）首先将恒成立问题游离参数，转化为求函数的最小值问题即可．
1 / 1人教新课标A版 必修一 3.1.2用二分法求方程的近似解
一、单选题
1．关于用二分法求近似解的精确度 的说法，正确的是（ ）
A． 越大，零点的精确度越高 B． 越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是 D．重复计算次数与 无关
2．（2019高一上·屯溪期中）若函数 的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2018高一上·湖南月考） 是我们熟悉的无理数，在用二分法求 的近似值的过程中，可以构造函数 ，我们知道 ，所以 ，要使 的近似值满足精确度为0.1，则对区间 至少二等分的次数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2018高一上·珠海期末）某同学用二分法求方程 的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在 之间，他用二分法操作了7次得到了方程 的近似解，那么该近似解的精确度应该为（ ）
A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.0001
5．（2018高一上·湘东月考）下列函数图象与 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2017高三上·重庆期中）函数f（x）=ex+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2017高一下·惠来期末）方程ex=2﹣x的根位于（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
8．在利用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中，若f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，则方程的根会出现在下列哪一区间内（ ）
A．（1，1.5） B．（1.5，1.75）
C．（1.75，2） D．不能确定
二、填空题
9．用二分法求方程 在区间 内的近似解，经过 次二分后精确度能达到 .
10．（2018高一上·荆州月考）用二分法研究函数 的零点时，第一次经计算 ， ，第二次应计算 的值．
11．（2017高一下·南通期中）函数 的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是 ．
12．（2017高一上·石家庄期末）已知函数f（x）=2x+ x﹣5在区间（n，n+1）（n∈N+）内有零点，则n= ．
三、解答题
13．已知函数f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1．
（1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）若f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f（x）=0的一个近似解（精确到0.1）．
f（1）=﹣1 f（1.5）=1 f（1.25）=﹣0.40625
f（1.375）=0.18359 f（1.3125）=﹣0.13818 f（1.34375）=0.01581
14．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．请你设计一个方案，能够迅速查出故障所在.
15．（2017高一上·上海期中）设正有理数a1是 的一个近似值，令a2=1+ ，求证：
（1） 介于a1与a2之间；
（2）a2比a1更接近于 ．
16．已知函数f（x）=ex+4x﹣3．
（Ⅰ）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的零点，并用二分法求函数f（x）零点的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e0.25≈1.3，e0.375≈1.45）；
（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，试求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】由精确度 的定义知， 越大，零点的精确度越低．
故答案为：B.
【分析】二分法中精确度ε 是控制的高低的， ε 越大，零点的精确度越低．
2．【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】解：由函数 为增函数，由参考数据可得 ,且 ,
所以当精确度 时,可以将 作为函数 零点的近似值,也即方程 根的近似值．
故答案为：C．
【分析】先研究函数 ，再利用函数的单调性，结合二分法求函数零点，由参考数据可得 ,且 ,可得解．
3．【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】设对区间（1，2）至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为 ，第2次二等分后区间长为 ，第3次二等分后区间长为 ，则第n次二等分后区间长为 ，依题意得 ＜0.1，即2n＞10∴n≥4，即n=4为所求．
故答案为：B．
【分析】利用二分法结合已知条件得出对区间 至少二等分的次数。
4．【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】令 ，则用计算器作出 的对应值表：
由表格数据知，用二分法操作 次可将 作为得到方程 的近似解， ， 近似解的精确度应该为0.01，故答案为：B.
【分析】根据题意构造函数f(x) 利用计算器对应图表，代入数值求出结果即可。
5．【答案】D
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有D不能满足此条件， 故答案为：D．
【分析】根据题意由图像利用二分法的定义，结合选项的函数图象即可得出结果。
6．【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ex+x﹣2在区间（0，1）内单调递增，
∵f（0）=1+1﹣3=﹣1＜0，且f（1）=e+1﹣3＞0，∴f（0）f（1）＜0，
∴函数f（x）=ex+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点，
故答案为：B
【分析】利用二分法的定义可得函数f（x）=ex+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点。
7．【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：设f（x）=ex+x﹣2，则f（0）=1﹣2=﹣1＜0，
f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，
所以根据零点存在性定理，在区间（0，1）上函数f（x）存在一个零点，
即程ex=2﹣x的根位于（0，1）．
故选B．
【分析】设函数f（x）=ex+x﹣2，根据根的存在性定理进行判断即可．
8．【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】∵f（1.5） f（1.75）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.5，1.75）．
故选B．
【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，它们异号，依据是零点存在定理即可得出结论．
9．【答案】7
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】区间 的长度为1，当7次二分后区间长度为 .
故答案为:7.
【分析】二分法求方程的近似解时,每一次将区间减半,从而由精确度得到次数.
10．【答案】
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】由二分法的解题步骤可得，第一次经计算得 ， ，得到函数 在 上存在零点，第二次应计算区间 的中点值，即需要求 的值．
故答案为： ．
【分析】由已知判断函数 在 上存在零点，再利用二分法，即可求出第二次应计算的值.
11．【答案】（0，3）
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，
解得：0＜a＜3，
故实数a的取值范围是（0，3），
故答案为：（0，3）
【分析】由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．
12．【答案】2
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：由f（2）=4+ ﹣5=﹣ ＜0，f（3）=8+ ﹣5＞0及零点定理知，
f（x）的零点在区间（2，3）上，两端点为连续整数，
∴零点所在的一个区间（n，n+1）（k∈Z）是（2，3）
∴n=2，
故答案为：2．
【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．
13．【答案】解：（1）证明：∵f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1，
∴f（1）=﹣1＜0，f（2）=7＞0，
∴f（1） f（2）=﹣7＜0
且f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1在（1，2）内连续，
所以f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）由（1）知，f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1在（1，2）内存在零点，
由表知，f（1）=﹣1，f（1.5）=1，
∴f（1） f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1，1.5）上，
∵f（1.25）=﹣0.40625，∴f（1.25） f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.5）上，
∵f（1.375）=0.18359，∴f（1.25） f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.375）上，
∵f（1.3125）=﹣0.13818，∴f（1.3125） f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.375）上，
∵f（1.34375）=0.01581，∴f（1.3125） f（1.34375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.34375）上，
由于|1.34375﹣1.3125|=0.03125＜0.1，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3，
所以f（x）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3．
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【分析】（1）根据函数零点存在定理即可判断，
（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确答案．
14．【答案】解：如图所示，
首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m左右，查7次就可以了
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【分析】这是二分法在实际问题中的应用.由精确度得到次数.
15．【答案】（1）证明：a2﹣ =1+ ﹣ = ，
∵若a1＞ ，∴a1﹣ ＞0，而1﹣ ＜0，
∴a2＜
∵若a1＜ ，∴a1﹣ ＜0，而1﹣ ＜0，
∴a2＞ ，
故 介于a1与a2之间；
（2）证明：|a2﹣ |﹣|a1﹣ |= ﹣|a1﹣ |=|a1﹣ |× ，
∵a1＞0， ﹣2＜0，|a1﹣ |＞0，
∴|a2﹣ |﹣|a1﹣ |＜0
∴|a2﹣ |＜|a1﹣ |
∴a2比a1更接近于
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【分析】（1）利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到结论，（2）利用作差法，判断即可得到a2比a1更接近于 .
16．【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ex+4x﹣3，得f′（x）=ex+4＞0，
f（x）在[0，1]上单调递增，
∵f（0）=﹣2，f（1）=e+1＞0，f（0） f（1）＜00，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一零点，
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下
由上表可知区间[0.25，0.5]的长度为0.25，所以该区间的中点x2=0.375，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个零点的近似值．
∴函数f（x）零点的近似值x≈0.375
（Ⅱ）当x≥1时，由f（x）≥ax，即，
令则
∵x≥1，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）min=g（1）=e+1，
∴a的取值范围是a≤e+1．
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【分析】对第（Ⅰ）问要先根据题意判断函数在相应区间上的单调性，再有端点的函数值对比即可获得解的唯一性，然后再根据二分法的步骤逐次进行范围缩小，再结合所给信息即可获得问题的解答；
对第（Ⅱ）首先将恒成立问题游离参数，转化为求函数的最小值问题即可．
1 / 1
