人教版八年级上册11.2.1 三角形内角 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
11.2.1三角形的内角和
想一想
我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于180。，怎样验证这个结论呢？同学们有什么方法呢？
1 .用量角器度量的方法
2.用拼图法
3.用数学知识推理
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用量角器量一量，算一算，三角形的三个内角和等于多少度？
请每个同学都取出准备好的三角形纸板，沿三角形纸板的边画一个与它等大的三角形，然后在三角形纸板的每一个内角都标上号，并剪下来。移动其中两个角试着拼拼看（固定其中一个角）。将三角形的三个内角拼合在一起,会得到一个180°的平角吗
请启动教师的拼图工具
动一动
通过实验得到：三角形的内角和等于180°
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请启动教师的量角器
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想一想：如何用数学知识推理呢？先回答以下问题
1.图（1）中直线l与△ABC的边BC有什么关系 （观察动画演示后回答）。
图（2）中直线l与△ABC的边AB有什么关系
（观察动画演示后回答）。
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2.由此图你能想出说明“三角形的内角和等于180度”这个结论正确的方法吗
A
B
C
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l
1
2
已知：△ABC（如图）。
求证： ∠ A+ ∠ B+ ∠ C= 180。
证明方法一：如图，过点A 作直线l∥BC。
∵ l∥BC，
∴ ∠ 1= ∠B
同理：∠ 2=∠ C。
∵ ∠ 1， ∠ 2，∠ 3能拼成平角，
∴ ∠ 1+ ∠ 2+∠ 3=180。
∴ ∠B+ ∠ C+∠BAC=180。
想一想： 你还能想出其他方法吗？
C
A
B
3
（两直线平行，内错角相等。）
（平角定义）
（等量代换）
注： 像直线l一样为解题需要而添的线称为辅助线，一般用虚线表示。
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A
B
C
l
1
2
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
证明放法二：延长BC,过点C画直线l ∥AB
∵ l ∥AB
∴ ∠1＝∠A （ ）
∠2＝∠B （ ）
∵ ∠ACB﹢∠1﹢∠2＝180°（ ）
∴ ∠ACB ﹢ ∠A ﹢ ∠B ＝ 180°
平角的定义
聪明的你还另有解题方法吗？
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A
B
C
证明方法三:
过BC边上任一点P作PE ∥AB,交AC与点E,作PD ∥AC,交AB与点D.
∵PD∥AC，
∴ ∠ A= ∠BDP
∠C= ∠DPB
同理: ∠B= ∠EPC
∠BDP= ∠DPE
∴ ∠ A= ∠ DEP
∴ ∠ A+ ∠ B +∠C
= ∠DPE+ ∠ EPC+ ∠ DPB
=180 °
(两直线平行,同位角相等.)
(等量代换)
(等量代换)
D E
P
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C
A
B
3
证明方法四:
过点A作AF ∥BC,
∴ ∠B＝∠FAB
∵AF∥BC
∴ ∠FAC＋∠C ＝ 180 °
即∠B+∠BAC+ ∠C
= (∠FAB+ ∠BAC)+ ∠C
＝∠FAC＋∠C
= 180 °
(两直线平行,内错角相等.)
(两直线平行,同旁内角互补.)
F
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（口答）下列各组角是同一个三角形的内角吗？为什么？
（2）60°， 40°， 90°
（3）30°， 60°， 50°
（1）3°， 150°， 27°
（ 是 ）
（ 不是）
（ 不是）
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在△ABC 中
（1）若∠A = 45°, ∠C = 35°, 则∠B= ＿
（2）若∠B = 20 °, ∠A = ∠C , 则∠C= ＿
（3）若∠A :∠B :∠C=2 : 3 : 4 , 则∠A= ＿
100 °
80 °
40 °
试着填一填：
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拓展延伸
如图，已知△ABC中，∠A=90。
求解：∠B+∠C=？
解：∵ ∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角。
∴∠A+ ∠B+ ∠C=180。（三角形内角和定理）
又∵ ∠A=90。，
∴90。+∠B+∠C=180。
∠B+∠C=90。
通过以上练习你发现直角三角形的两锐角有什么关系？
推论：直角三角形的两个锐角互余。
B
A
C
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例1、如图，在△A BC中，∠ABC=40°, ∠B=75°,AD是△A BC的角平分线。求∠AOB的度数。
解：由∠BAC= 40°, AD是△A BC
的角平分线，得,
∠BAD=1/2 ∠BAC=20°。
在△A BC中，
∠ADB=180 °–∠B –∠BAD
=180°–75°–20 °
= 85°
C
A
B
D
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例2、 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求下面各题.
（1）∠DAC＝＿ ∠DAB＝＿ 　　　　　∠EBC＝＿ ∠CAB ＝ ＿
（2）从C岛看A 、 B两岛的视角∠ C是多少
50°
80°
40°
A
D
B
C
E
北
北
30 °
分析:在△A BC中, （1）题中已求得∠CAB ＝ 30 °,求∠C,根据三角形内角和 ,只要先求出∠ABC即可.
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解题方法一：∵ AD∥BE
∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180°
∴ ∠ABE ＝ 180°－∠DAB
＝ 180°－ 80°
＝100°
在△ABC中， ∠C ＝ 180°－∠CAB－∠ABC
＝ 180° － 30 ° － 60 °
＝90°
A
D
B
C
E
北
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在△AMC中 ∠AMC=90°,
∠MAC= 50°
∴∠1= 90°- 50° = 40°(直角三角形的两个锐互余。) ∵ AD∥BE
∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
∴ ∠BNC =90° 同理得 ∠2 = 50° ∴ ∠ACB = 180 ° - ∠1 - ∠2=180 °- 40°- 50° = 90°
解题方法二：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N
∟
M
1
2
A
50°
40°
D
B
C
E
北
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解题方法三：如图，
过点C画MN∥AD ∥ BE,
∵ MN∥ AD，
∴∠DAC=∠CAN
（ ）
同理 ∠EBC=∠BCN
∵ ∠ACB=∠ACN+ ∠BCN
∴ ∠ACB= ∠EBC+ ∠DAC（ ）
又∵ ∠DAC=50。 ， ∠ EBC=40。。
∴ ∠ACB=∠ACN+ ∠BCN
= ∠EBC+ ∠DAC
=50。+40。 =90。
M
N
D 北 C 北 E
B
A
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
两直线平行，内错角相等
等量代换
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如图，从A处观测C处时仰角∠CAD=
30°，从B处观测C处时仰角∠CBD= 45°
从C处观测A、B两处时视角 ∠ACB是多少？
练一练
A
B
C
D
解：在△ACD中 ∠CAD ＝30。 ∠D ＝90。
∴ ∠ACD =180。 -30 。 -90。=6 0。
在△BCD中 ∠CBD = 45 。 ∠D ＝90 。
∴ ∠BCD = 180。- 90。-45。=45。
∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0。- 45。
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2. 如图，一种滑翔伞是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°，∠B＝∠D＝40°。求∠C的度数。
D
40 °
40 °
150°
A
B
C
1
2
解：在△ABC中 ∠B+∠1+∠BAC=180°
在△ACD中 ∠D+∠2+∠DAC=180°
∴∠B+∠D+∠1+∠2+∠BAC+∠CAD=360 °
即 ∠B+∠D+ ∠BCD +∠BAD= 360 °
40 °+40 °+ ∠BCD +150 ° = 360 °
∴ ∠BCD = 360 °- 40 °- 40 °- 150 °=130 °
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另解： 由题意得 ∠BAC＝∠DAC＝75°
∠ACD = ∠ BCD
在△ABC中
∠BCA ＝180 °- ∠BAC - ∠B ＝180 °- 75 ° - 40°
＝ 65 °
∴ ∠ACD = ∠ BCD = 65 °
∴ ∠BCD = ∠ACD + ∠ BCD =130 °
你还有别的方法来求∠BCD的度数吗？
40 °
40 °
150°
A
B
C
D
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今天你学到了什么？
本节课通过度量，拼图，推理三种方法证明了三角形的内角和定理——三角形的内角和等于180。,并应用了三角形内角和定理计算了一些题.你还有什么疑问吗？
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下课了!
谢谢，再见!